基于改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的少齒差行星齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

呂俊峰，陳小安，趙孟娜

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 4 00044;2.重慶理工大學(xué)重慶汽車學(xué)院，重慶 4 00054)

自20世紀(jì)20年代末德國(guó)出現(xiàn)漸開線少齒差行星傳動(dòng)以來，至今已有半個(gè)世紀(jì)。早期世界上許多著名學(xué)者對(duì)一齒差能否實(shí)現(xiàn)持否定態(tài)度，直到1949年前蘇聯(lián)H.A.斯克沃爾佐夫［1］在博士論文中從理論上解決了齒廓重迭干涉等難題并制成了實(shí)物后，才在全世界范圍內(nèi)開始了少齒差傳動(dòng)的研究制造。如今，少齒差行星齒輪傳動(dòng)以結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)比范圍大、效率較高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于重工業(yè)及軍事方面，但關(guān)于此類傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法仍然是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法沒有考慮各設(shè)計(jì)參數(shù)的模糊性和隨機(jī)性，且存在局部最優(yōu)現(xiàn)象，因此這種傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的結(jié)果常常與實(shí)際情況存在一定出入。近年來廣泛應(yīng)用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法能做到并行運(yùn)算，具有一定的泛化能力和較好的容錯(cuò)性，但卻存在著局部最小值域。本文所運(yùn)用的算法結(jié)合了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模擬退火各自的優(yōu)點(diǎn)，相比傳統(tǒng)的單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出了一種較為合理的尋找最優(yōu)解的少齒差行星齒輪傳動(dòng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)少齒差行星傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型

N形少齒差行星傳動(dòng)的簡(jiǎn)圖如圖1所示。其中1和2分別表示行星輪與中心輪，行星齒輪為外齒輪，中心輪為內(nèi)齒輪，它們之間的齒數(shù)差通常為1～4個(gè)。

當(dāng)這種少齒差行星齒輪傳動(dòng)用于減速時(shí)，是以系桿H為主動(dòng)件。由于行星輪相對(duì)中心輪有偏差，故在傳動(dòng)時(shí)，行星輪1不僅要作公轉(zhuǎn)還要作自傳，因此，就需要1個(gè)能夠傳遞兩平行軸之間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的聯(lián)軸器，即偏心輸出機(jī)構(gòu)V，以便把行星輪的自轉(zhuǎn)輸送出來。由于這種行星輪系是由1個(gè)中心齒輪K，1個(gè)系桿H和1個(gè)偏心輸出機(jī)構(gòu)V所構(gòu)成的，故通常成為K－H－V型行星機(jī)構(gòu)，簡(jiǎn)稱N型行星機(jī)構(gòu)。

與常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)一樣，目標(biāo)函數(shù)、約束條件和設(shè)計(jì)變量是模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素。

圖1 N形少齒差行星傳動(dòng)簡(jiǎn)圖

1.1 確定目標(biāo)函數(shù)

為滿足工業(yè)上對(duì)少齒差傳動(dòng)裝置體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)效率高和工作壽命長(zhǎng)的要求，通常取內(nèi)齒輪和行星輪體積之和最小為目標(biāo)函數(shù)，即

簡(jiǎn)化可得

式中:b為齒寬;m為模數(shù);z1和z2分別為行星輪和內(nèi)齒的齒數(shù)為齒頂高系數(shù);x1和x2是變位系數(shù)。

1.2 確定設(shè)計(jì)變量

由式(1)可知，設(shè)計(jì)少齒差行星齒輪傳動(dòng)需要確定的參數(shù)包括 b、m、z1、z2、、x1、x2。對(duì)于特定的某一N型齒行星齒輪傳動(dòng)，傳動(dòng)比i是給定的，因此只需選擇參數(shù)z1、z2中的1個(gè)。故可以確定設(shè)計(jì)變量為

1.3 約束性能

1.3.1 強(qiáng)度約束

漸開線少齒差行星齒輪傳動(dòng)中內(nèi)齒輪與行星輪曲率半徑接近，接觸面積大，接觸應(yīng)力小。一般來說，其齒面接觸強(qiáng)度安全裕度遠(yuǎn)高于齒根彎曲強(qiáng)度裕度，主要的失效形式為輪齒折斷。又因?yàn)辇X輪傳動(dòng)從完全許用到完全不許用有一定的過度，即彎曲強(qiáng)度有一定的模糊性，因此具有一定的隸屬函數(shù)，彎曲強(qiáng)度的模糊可靠度為

其中:U(x)是隸屬函數(shù);F(x)是概率密度函數(shù)。

U(x)許用彎曲應(yīng)力模糊隸屬函數(shù)為降半階梯形分布其中a1、a2為許用應(yīng)力。

在K－H－V少齒差行星傳動(dòng)中，齒輪副彎曲應(yīng)力近似于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率函數(shù)密度為

對(duì)N型少齒差行星齒輪，齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算式為

其中:K為載荷系數(shù);YFa為齒形系數(shù);YSa為應(yīng)力修正系數(shù);Yδ為重合度系數(shù);Ft為圓周力;ψd為齒寬系數(shù);m為模數(shù)，z為齒數(shù)。

因?yàn)檩嘄X齒根彎曲應(yīng)力服從正態(tài)分布，根據(jù)式(5)，用變異系數(shù)法求彎曲應(yīng)力的均值、變異系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差:

取內(nèi)齒輪、行星輪強(qiáng)度的要求可靠度R0=0.995，所以彎曲強(qiáng)度模糊可靠性約束條件為:

通過式(2)～(9)，即可得R1和R2。

1.3.2 性能約束

1)為保證連續(xù)傳動(dòng)平穩(wěn)無沖擊，齒輪副的重合度εa＞1，即應(yīng)該滿足不等式

其中:αa1、αa2分別為行星輪和內(nèi)齒輪頂圓壓力角;α'是嚙合角。

2)應(yīng)保證不產(chǎn)生齒廓干涉，即應(yīng)該滿足不等式

其中a'為齒輪副嚙合中心距。

3)頂隙的約束條件為

式(12)中:ra1為行星輪齒頂圓半徑;rf2為內(nèi)齒輪齒根圓半徑;c*為頂隙系數(shù)。

1.3.3 幾何約束

為了避免切制內(nèi)齒輪時(shí)產(chǎn)生范成頂切和避免過渡曲線干涉，作為選擇齒輪加工刀具參數(shù)的約束條件，對(duì)設(shè)計(jì)變量確定模糊取值范圍:

ai，共有 12 個(gè)約束函數(shù)

2 基于模擬退火的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

在求解參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的前饋型BP網(wǎng)絡(luò)，即誤差逆?zhèn)鞑ゾW(wǎng)絡(luò)是最流行、最常用的。它具有簡(jiǎn)單、易行、計(jì)算量小、并行性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但是它的顯著缺點(diǎn)是學(xué)習(xí)算法的收斂速度慢、易陷入局部極值。而模擬退火算法在求解組合優(yōu)化問題時(shí)引入了統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的一些思想和概念，模擬其達(dá)到的最低能量狀態(tài)為系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)的解，并且可以通過“溫度”和“能量”的設(shè)置使網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行全局訓(xùn)練，但由于反復(fù)設(shè)置調(diào)整量，會(huì)使網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度很慢。因此提出一種新型的將模擬退火算法和BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)合起來的改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，可以保證在不降低網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速度的情況下找到全局極小點(diǎn)。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，共包括輸入層、隱藏層、輸出層。可設(shè)輸入向量為n維，輸出向量為m維，隱藏層有h個(gè)神經(jīng)元。輸入(隱藏)層的權(quán)矩陣為vij，表示輸入層中的第i個(gè)神經(jīng)元與隱藏層中的第j個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)值，i=1，2，…，n，j=1，2，…，h。輸出層的權(quán)矩陣為 wij，表示隱藏層中第i個(gè)神經(jīng)元與輸出層中的第j個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)值，i=1，2，…，h，j=1，2，…，m。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(X，Y)為樣本集的一個(gè)樣本，其中 X=(x1，x2，…，xn)，Y=(y1，y2，…，ym)。激勵(lì)函數(shù)為

該樣本對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸出為 O=(o1，o2，…，om)，隱藏層的輸出為 O'=(o'1，o'2，…，o'm)，其中

每個(gè)樣本的誤差測(cè)度為

整個(gè)樣本集的誤差測(cè)度為∑E。

根據(jù)負(fù)梯度方向下降法，輸出層權(quán)值wij的調(diào)整量

式中α為學(xué)習(xí)效率。

隱藏層連接權(quán)值vij的調(diào)整量

2.2 模擬退火算法改進(jìn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

模擬退火算法最早的思想是由Metropolis在1953年提出的，1983年被Kirkpatrick等成功地引入了優(yōu)化領(lǐng)域，其基本思想是模擬高溫物體退火過程的方法來尋求優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。溫度更新函數(shù)可按照給定的溫度更新法則，利用如下冷卻方程對(duì)系統(tǒng)降溫:

其中:T(0)為初始溫度;t迭代步數(shù)。

結(jié)合這2種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，可將模擬退火算法引入BP網(wǎng)絡(luò)，生成一種新的算法，描述如下:

1)設(shè)定初始溫度T(0)，迭代次數(shù)t=0，M為循環(huán)次數(shù)。

2)輸入訓(xùn)練樣本，給定學(xué)習(xí)效率α，初始化各層權(quán)矩陣V和W。當(dāng)t＜M時(shí)，循環(huán)執(zhí)行t=t+1。選擇一個(gè)樣本，計(jì)算當(dāng)前能量E。

3)若E1＜E，則接受該修改。

4)若 E1≥E，并且 p=exp(－ΔE/T)＞random(0，1)，則接受這次修改，否則進(jìn)入下一次迭代計(jì)算。

5)若接受Δij，按式(21)進(jìn)行變換。

若不接受，則不重新生成調(diào)整量，按照式(19)和(20)得出的調(diào)整量作為本次權(quán)值的調(diào)整量，所有的樣本按上述方法進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)按照給定的冷卻方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降溫，直到冷卻至給定的終止溫度。

由上述算法可以看出，在模擬算法得出的調(diào)整量不被接受時(shí)，可以按單純BP網(wǎng)絡(luò)得出的調(diào)整量來調(diào)整權(quán)值，這樣就避免了反復(fù)計(jì)算調(diào)整量，提高了學(xué)習(xí)速度，可更加迅速地找到全局最小點(diǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)分析的是某挖掘機(jī)漸開線少齒差行星減速器，它的傳動(dòng)比 iz=60，輸入軸轉(zhuǎn)速 n1=1 200 r/min，輸入功率 P=4 000 W，每天工作8 h，工作平穩(wěn)。

該可靠模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于非對(duì)稱模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，因神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的約束條件要求是常規(guī)約束條件，所以要采用最優(yōu)化水平截集法求解，將模糊約束條件轉(zhuǎn)化為常規(guī)約束條件，就可以使用常規(guī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解。現(xiàn)在根據(jù)二級(jí)模糊綜合評(píng)判法，考慮設(shè)計(jì)水平、制造水平、材質(zhì)好壞、使用條件、維修費(fèi)用，確定最優(yōu)截集水平λ*=0.80。

將訓(xùn)練樣本輸入網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，模擬退火參數(shù)及網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)參數(shù)選擇:初始溫度為60℃，終止溫度為1℃，循環(huán)次數(shù)為10 000，系統(tǒng)最大誤差為0.01，單個(gè)樣本最大誤差為 0.001。運(yùn)行Matlab進(jìn)行計(jì)算，達(dá)到迭代次數(shù)或達(dá)到終止溫度時(shí)迭代停止。可以得到優(yōu)化參數(shù)，并根據(jù)得到的優(yōu)化參數(shù)計(jì)算齒輪體積。為了便于比較，將傳統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果、BP算法設(shè)計(jì)結(jié)果、改進(jìn)的模擬退火人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)果設(shè)計(jì)分別進(jìn)行了對(duì)比，如表1所示。

表1 各種方法計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語

通過對(duì)傳統(tǒng)模糊設(shè)計(jì)方法、傳統(tǒng)BP算法、改進(jìn)模擬退火神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)三者所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可發(fā)現(xiàn)本文提出的算法所得出的設(shè)計(jì)數(shù)值最小，算法的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都較低。這就說明本文的算法是一種進(jìn)行少齒差行星輪系參數(shù)設(shè)計(jì)的精度較高的設(shè)計(jì)方法。

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