基于二維簡化模型的諧波傳動啟動力矩分析

馬德軍，李若亭，王家梁，李曉飛

（裝甲兵工程學院 機械工程系，北京 100072）

0 引言

諧波傳動是美國學者C.W.Musser于上世紀50年代末提出的一種新型齒輪傳動機構[1]，它具有傳動比大、體積小、重量輕、噪聲小等優點。20世紀70年代，以S.A.Shuwalov為代表的前蘇聯學者對諧波傳動柔輪彎曲疲勞破壞及柔輪齒面的磨損失效進行了較為深入的分析研究[2]，提出了眾多強度校核公式, 被廣泛應用于諧波齒輪傳動裝置的實驗和研制過程中。20世紀80及90年代，為了提高諧波傳動柔輪剛度，國外學者從嚙合齒形設計及柔輪結構參數優化的思路出發，進行了一系列的探索。其中日本學者S．Ishikawa提出的“S齒形”[3]，其齒廓在負載情況下比普通漸開線齒形具有更大的嚙合面積，從而可以提高諧波傳動徑向剛度，減小因彈性變形而產生的彈性扭轉角。目前，諧波傳動正向著短長徑比、高傳動精度及高可靠性的方向發展，被許多發達國家廣泛應用于空間科學、航天技術、儀器儀表、汽車、機器人、精密光學設備等領域，具有廣闊的發展前景。

啟動力矩是指諧波齒輪傳動空載啟動時，波發生器輸入軸所需施加的力矩。影響啟動力矩的主要因素是各運動副間的摩擦系數，用數值模擬方法分析各主要運動副摩擦系數對啟動力矩影響的程度對諧波齒輪傳動設計及性能分析研究具有重要的指導意義。

1 建模及有限元分析

諧波傳動二維簡化模型能夠反映各運動副摩擦系數對啟動力矩的影響規律，它與三維模型相比，能夠提高計算效率、節約計算資源。本文在建立諧波傳動二維簡化模型的基礎上，通過商業有限元軟件ABAQUS[4]對啟動力矩進行有限元數值仿真。

1.1 諧波傳動二維簡化模型

以XB1-120-100型雙波諧波齒輪為研究對象進行分析，其減速比i=100，模數m=0.6mm，壓力角α=20°；柔輪齒數ZR=200，變位系數xR=3.86，齒頂高系數h*

R=0.5，頂隙系數c*R=0.5，齒寬BR=24mm；剛輪齒數ZG=202，變位系數xG=3.992，齒頂高系數

h*

G=0.5，頂隙系數c*G=0.5，齒寬BG=24mm。柔輪材料為30CrMnSiA，彈性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3；剛輪材料為45鋼，彈性模量E=206Gpa，泊松比v =0.3。

考慮到諧波齒輪傳動中帶有柔性軸承的凸輪式波發生器所涉及的接觸問題極為復雜，應用現有的有限元數值方法難以直接分析計算。因此，可對波發生器柔性軸承結構作簡化處理，將滾動體與軸承外圈固聯，而內圈與滾動體仍保持彈性接觸，據此獲得的二維簡化模型如圖1所示。

圖1 未裝配時諧波齒輪傳動二維簡化模型

由文獻[5]，柔性軸承外圈壁厚δWj=2.4mm，內圈壁厚δNj=1.8mm，滾動體直徑dg=12mm，滾動體個數N=22，凸輪長半軸直徑L1=90.1224mm，短半軸直徑L2=87.4776mm。軸承材料GCr15，彈性模量E=208Gpa，泊松比v=0.3；凸輪材料為40CrNiMoA，彈性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3。

諧波傳動過程中，各運動副潤滑狀態受工作溫度等因素的影響可發生變化，導致摩擦系數改變。對此可通過改變某一運動副的摩擦系數確定其對啟動力矩的影響，在此過程中其他運動副摩擦系數可設定為常用值，其中，凸輪與軸承內圈、軸承外圈與柔輪之間均為無潤滑緊密接觸，其常用摩擦系數取值為ftn=fwr=0.1；滾動體與軸承內圈的常用滾動摩擦系數取值為fwn=0.002，剛輪與柔輪摩擦系數取常用值fgr=0.05[6]。

1.2 有限元分析

為計算啟動力矩，首先對諧波傳動各組件進行裝配，定義凸輪與剛輪在平面內的三個自由度U1=U2=UR3=0。裝配完成后，對諧波傳動輸入軸施加位移邊界條件，使波發生器帶動柔輪在空載情況下旋轉一定角度，定義剛輪U1=U2=U3=0，凸輪 U1=U2=0、UR3=0.523（rad）。

圖2 裝配后諧波傳動模型嚙合區有限元網格

本文采用四節點平面應變單元CPE4R對諧波傳動各組件進行結構化網格劃分，并對裝配和傳動過程中參與嚙合計算的輪齒齒側及齒根處的網格適當加密。裝配后網格劃分情況如圖2所示。

2 計算結果分析

2.1 滾動體與軸承內圈摩擦系數對啟動力矩的影響

當滾動體與軸承內圈摩擦系數取不同值，而其余運動副摩擦系數取常用值（fgr=0.05，ftn=fwr=0.1）時，計算所得諧波傳動啟動力矩TQ如表1所示。

表1 當fgr=0.05，ftn=fwr=0.1時，fwn與TQ的關系

圖3 當fgr=0.05，ftn=fwr=0.1時，fwn與TQ的關系曲線

由圖3可以看出，諧波傳動啟動力矩隨滾動體與軸承內圈間摩擦系數的增大而線性增大。當各運動副之間的摩擦系數取常用值（fgr=0.05，fwn=0.002，ftn=fwr=0.1）時，諧波傳動啟動力矩值為0.1128N·m，與XB-120-100系列諧波傳動標稱啟動力矩值（0.18N·m）相當。可見，滾動體與軸承內圈摩擦系數對諧波傳動啟動力矩構成顯著影響。

2.2 其余運動副摩擦系數對啟動力矩的影響

當剛輪與柔輪、凸輪與軸承內圈及軸承外圈與柔輪摩擦系數分別單獨改變，而其余運動副摩擦系數取常用值時，計算所得諧波傳動啟動力矩如表2～表4所示。

表2 當fwn=0.002，ftn=fwr=0.1時，fgr與TQ的關系

表4 當fgr=0.05，fwn=0.002，ftn=0.1時，fwr與TQ的關系

圖4 其余運動副摩擦系數與啟動力矩關系曲線

空載時，諧波傳動剛輪與柔輪嚙合齒面之間存在相對運動，但輪齒接觸面間法向力較小，因而摩擦力較小，其摩擦系數變化對諧波傳動啟動力矩基本無影響，如圖4(a)所示。凸輪與軸承內圈、軸承外圈與柔輪之間為緊密貼合，近乎無相對運動，啟動力矩基本不受摩擦系數變化的影響，如圖4(b)、(c)所示。因此可以確定諧波傳動中剛輪與柔輪、凸輪與柔輪及柔輪與外圈間摩擦系數的變化對啟動力矩幾乎無影響。

3 結論

本文利用有限元數值方法，分析了XB1-120-100型諧波傳動二維簡化模型各主要運動副摩擦系數對啟動力矩的影響。結果表明：當各運動副摩擦系數取常用值時，通過有限元數值計算得到的諧波傳動啟動力矩值為0.1128N·m，與XB1-120-100系列諧波傳動標稱啟動力矩值（0.18N·m）相當。諧波傳動啟動力矩值隨滾動體與軸承內圈間摩擦系數的增大而線性增大。實際應用中，為了減小諧波傳動啟動力矩，必須盡可能保持柔性軸承各部件之間良好的潤滑。空載時，諧波傳動剛輪與柔輪嚙合齒面間法向力較小，摩擦系數變化對啟動力矩幾乎無影響；凸輪與軸承內圈、軸承外圈與柔輪之間為緊密貼合，近乎無相對運動，

啟動力矩基本不受摩擦系數的影響。上述結果對諧波齒輪傳動設計及性能分析研究有一定的指導意義。

[1] C.M.Musser. The harmonic drive breakthrough in mechanical drive design[J]. Machine Design, 1960, 4(16):35-38.

[2] S.A.Shuvalov. Calculation of Forces Acting on Members of a Harmonic Gear Drive[J], Russian Engineering Journal,1979, 59(10): 5-9.

[3] Y.Kiyosawa, S.Ishikawa, Performance of Strain Wave Gearing Using a New Tooth Profile[C]. 1989 International Power Transmission and Gearing Conference: New Technologies for Power Transmissions of the 90's, ASME,New York, 1989: 607-612.

[4] Abaqus6.10/CAE User’s Manual, Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence, RI, USA., 2010.

[5] 范又功, 曹炳和. 諧波齒輪傳動技術手冊[M]. 北京: 國防工業出版社, 1995.

[6] 徐灝. 機械設計手冊(第二版)[M]. 北京: 機械工業出版社, 2004.