諧波傳動柔輪應力與位移二維簡化分析

李若亭，馬德軍，王家梁，李曉飛，孫亮亮

（裝甲兵工程學院 機械工程系，北京 100072）

0 引言

諧波齒輪傳動是二十世紀50年代末和60年代初問世的一種嶄新傳動[1]。它與一般齒輪傳動相比，具有傳動比大、體積小、重量輕、精度高及噪聲小等優(yōu)點。近幾十年來，諧波齒輪傳動技術被廣泛應用于儀器儀表、汽車、機器人、精密光學設備等各個領域[2]。普通諧波傳動的柔輪在變應力工況下易產(chǎn)生疲勞破壞，主要表現(xiàn)為疲勞斷裂，因而柔輪強度的研究是諧波齒輪傳動研究的重要方向，其中以柔輪變形與應力研究為重點[3]。隨著科學及計算機技術的發(fā)展，有限元法在諧波齒輪設計和應力分析中已顯示出巨大的優(yōu)越性，可以精確計算分析出柔輪齒根應力應變數(shù)值。本文應用ABAQUS軟件建立了諧波傳動平面簡化模型，通過對諧波傳動中凸輪式波發(fā)生器結(jié)構進行不同方式的等效處理，建立有柔性軸承以及無柔性軸承的模型分別進行了有限元數(shù)值計算，分析比較了兩種模型柔輪的應力及徑向變形規(guī)律，對諧波傳動分析研究有一定的指導意義。

1 建模及有限元分析

現(xiàn)以雙波諧波齒輪為研究對象進行分析，其減速比i=100，模數(shù)m=0.6mm，壓力角α=20°；柔輪齒數(shù)ZR=200，變位系數(shù)xR=3.86，齒頂高系數(shù)=0.5，頂隙系數(shù)=0.5；剛輪齒數(shù)ZG=202，變位系數(shù)xG=3.992，齒頂高系數(shù)=0.5，頂隙系數(shù)=0.5。剛輪材料為45鋼，其彈性模量E=206Gpa，泊松比μ=0.3，柔輪材料為30CrMnSiA，彈性模量E=210Gpa，泊松比 μ=0.3。

圖1 凸輪式波發(fā)生器諧波傳動示意圖

凸輪式波發(fā)生器通常由凸輪及柔性軸承組成，如圖1所示。其特點是徑向剛度好、形成的特征曲線穩(wěn)定性好、組件裝配簡單和易標準化。但是帶有柔性軸承的凸輪式波發(fā)生器接觸對多、建模復雜，應用現(xiàn)有的有限元數(shù)值方法難以直接分析計算。因此，建模過程中必須對波發(fā)生器的柔性軸承結(jié)構進行簡化或者省略處理[4]。以下在ABAQUS中分別建立有柔性軸承以及無柔性軸承兩組模型，為了提高計算效率，可用二維模型近似代替三維模型。

1.1 有柔性軸承的諧波傳動模型

實際建模中，考慮到柔性軸承滾動體與軸承內(nèi)外圈之間接觸復雜，為簡化模型，可對波發(fā)生器柔性軸承結(jié)構作等效處理，將滾動體與軸承外圈固聯(lián)，并簡化輸入軸鍵槽結(jié)構，如圖2所示。

圖2 未裝配情況下有柔性軸承的諧波傳動模型

由文獻[5]設計分析得，柔性軸承外圈壁厚δWj=2.4mm，內(nèi)圈壁厚δNj=1.8mm，滾動體直徑dg=12mm，滾動體個數(shù)N=22，凸輪長半軸直徑L1=90.1224mm，短半軸直徑L2=87.4776mm。凸輪材料為40CrNiMoA，彈性模量E=210Gpa，泊松比μ=0.3，軸承材料GCr15，彈性模量E=208Gpa，泊松比μ=0.3。凸輪與軸承內(nèi)圈、軸承外圈與柔輪之間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)ftn=fwr=0.1，滾動體與軸承內(nèi)圈接觸等效為滾動摩擦系數(shù)fwn=0.002，柔輪與剛輪齒面摩擦系數(shù)frg=0.05。

1.2 無柔性軸承的諧波傳動模型

在諧波傳動過程中，考慮到凸輪迫使柔輪發(fā)生變形，柔性軸承僅起到變滑動摩擦為滾動摩擦作用。為了提高計算效率，可以將波發(fā)生器結(jié)構進一步簡化，以柔性軸承的外廓線作為凸輪的輪廓線，如圖3所示。

圖3 未裝配情況下無柔性軸承的諧波傳動模型

1.3 分析步設置及網(wǎng)格劃分

諧波齒輪傳動仿真可以分為裝配過程和波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)帶動柔輪的傳動過程。本文采用通用模塊（Standard），使用隱式算法定義兩步分析步：1）為諧波齒輪傳動組建的裝配，定義凸輪及剛輪在平面內(nèi)的三個自由度U1=U2=UR3=0；2）為凸輪轉(zhuǎn)動，定義剛輪U1=U2=U3=0，凸輪U1=U2=0、UR3=6.28（rad）[6]。

采用四節(jié)點平面應力單元CPS4R對輪齒進行智能網(wǎng)格劃分，并在裝配及傳動過程中參與嚙合計算的輪齒齒側(cè)及齒根處適當加密。裝配后模型嚙合區(qū)域網(wǎng)格劃分如圖4所示。

圖4 裝配后諧波傳動模型嚙合區(qū)有限元網(wǎng)格

2 計算結(jié)果比較分析

ABAQUS中的Visualization模塊通過彩色云圖顯示分析部件的應力及位移分布，能形象逼真的表現(xiàn)諧波齒輪傳動各部件的應力及位移分布情況。

2.1 柔輪應力結(jié)果比較分析

由ABAQUS有限元分析，計算出了各個節(jié)點變形后的Mises應力，兩組模型裝配后柔輪長軸方向Mises應力云圖，如圖5所示。

圖5 裝配后柔輪長軸方向Mises應力云圖

由圖5可以看出，有柔性軸承和無柔性軸承諧波傳動模型裝配后柔輪的應力分布一致，應力最大區(qū)域均位于柔輪長軸方向?qū)X根位置，與此同時，齒頂及齒面方向應力值較小。由于有柔性軸承模型在長軸方向為單個滾動體接觸，受力不均勻，所以齒根最大應力值稍大，為123Mpa；無柔性軸承模型凸輪與柔輪接觸，受力均勻，齒根最大應力值稍小，為113Mpa。總體而言，兩組模型柔輪齒根應力相差不大，數(shù)值近似相等。

2.2 柔輪徑向位移結(jié)果比較分析

圖6 裝配后柔輪長軸方向徑向位移云圖

圖6所示為諧波傳動模型裝配后柔輪長軸方向徑向位移云圖。由圖中可以看出，有柔性軸承和無柔性軸承諧波傳動模型的柔輪徑向位移云圖分布一致，位移最大區(qū)域均位于柔輪長軸方向，長軸附近輪齒不參與嚙合區(qū)域徑向位移則相對較小。由于柔性軸承徑向剛度較小，裝配后易產(chǎn)生徑向彈性變形，所以具有柔性軸承的模型其柔輪在裝配后相對于初始位置位移較小，最大徑向位移為0.64mm。與此同時，無柔性軸承模型的波發(fā)生器徑向剛度較大，幾乎沒有徑向彈性變形，因而柔輪位移量稍大，最大徑向位移為0.66mm。總體而言，兩組模型柔輪徑向位移計算結(jié)果相差不大，數(shù)值近似相等。

3 結(jié)論

利用有限元分析軟件ABAQUS，分別對凸輪式波發(fā)生器采取不同的簡化方式，建立了有柔性軸承以及無柔性軸承的諧波齒輪傳動模型，對裝配后柔輪應力及徑向位移進行了分析。結(jié)果表明，

無柔性軸承的諧波傳動模型相對于有柔性軸承模型的柔輪應力及徑向位移分布相同，數(shù)值近似相等。考慮到建模方便且計算成本較小，在使用有限元數(shù)值方法分析柔輪強度時完全可以采用無柔性軸承的模型代替有柔性軸承的模型。上述結(jié)果對諧波齒輪傳動有限元建模分析有一定的指導作用。

[1] C.M.Musser. The harmonic drive breakthrough in mechanical drive design[J]. Machine Design, 1960, 4(16):35-38.

[2] 沈允文, 葉慶泰. 諧波齒輪傳動的理論與設計[M]. 北京:機械工業(yè)出版社, 1985．

[3] 伊萬諾夫M H. 諧波齒輪傳動[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1987.

[4] F-E Rhéaume, H Champliaud, Z Liu. Understanding and modelling the torsional stiffness of harmonic drives through finite-element method[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2009, 223(2): 515-524.

[5] 范又功, 曹炳和. 諧波齒輪傳動技術手冊[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1995.

[6] 莊茁, 張帆. ABAQU非線性有限元分析與實例[M]. 北京: 科學出版社, 2005.