基于動態改變權重粒子群算法的球度誤差評定

胡 捷， 崔長彩， 黃富貴

（華僑大學機電及自動化學院，福建 廈門 361021）

隨著現代工業和新興制造技術的飛速發展，球類零件的應用日趨廣泛。尤其是在航空技術、精密機械和儀器儀表的制造應用領域，高精度球類零件的要求不斷上升，其精度的高低對產品的質量、性能及使用壽命至關重要。球面的形狀誤差就是球度誤差，因此，對球度誤差的快速精確地評定具有重要的科學價值和實際意義。

多年來一直有學者致力于球度誤差評定方法的研究，可將其概括為傳統算法和智能優化法兩類。傳統的算法大多數都是采用點對點的搜索策略,即在參數空間先隨機選取一個測量點，然后在滿足給定的非線性約束條件下，通過使用一些轉換規則對其它測量點進行輪流處理。但是點對點的搜索策略在多峰搜索空間易陷入局部最優[1]。

20世紀90年代以來, 包括遺傳算法(GA)[2]、粒子群算法(PSO)[3]和免疫算法(IEC)[4]等多種智能優化算法開始得到不同領域人們的廣泛關注。本文采用了一種改進的粒子群優化算法即動態改變權重粒子群算法來對球度誤差進行評定，克服了基本PSO算法容易陷入局部最優的不足，并且快速精確，實驗證實了該算法在球度誤差評定的有效性。

1 球度誤差評價的數學模型

國家標準對球度公差及球度誤差的評定沒有做出明確的規定，而把球面視作為一般的曲面。球度公差是指實際被測球對理想球的允許變動量。球度公差帶是指包絡一系列直徑為公差值的球的兩包絡球面之間的區域，這一系列的球心應位于理想球面上，球度公差帶也就是半徑為公差值的兩同心球面之間的區域[5]。

球度誤差是指實際被測球對其理想球的變動量，理想球的位置應符合最小條件。在滿足被測零件功能要求的前提下，球度誤差可以選用不同的評定方法確定。根據理想球的球心選取位置的不同，球度誤差評定方法可以分為：最小包容區域法、最小外接球法、最大內接球法以及最小二乘球法等[6]。

建立空間直角坐標系，設理想球的球心為O，其位置由參數a，b，c確定，理想球的半徑為R，則理想球的方程為

實際被測球面 M上的被測點坐標為Mi( xi, yi, zi)， i = 1 ,2,3,…,N ，N為被測點的個數。則被測點 Mi(xi, yi, zi)到理想球心 O (a,b,c)的距離di可表示為

被測點Mi到球心的最大距離為

到球心的最小距離為

1.1 最小包容區域法(MZS)

當由兩同心球面包容實際被測球面M時，則這兩個同心球面之間的區域就是最小包容區域U（簡稱最小區域）。該方法稱為球度誤差的最小區域判別法，這樣的兩個同心球叫做最小區域球，它們的外球半徑dimax與內球半徑dimin之差fMZ即為符合定義的球度誤差值。

根據最小條件由此定義可知球度誤差

1.2 最小外接球法(MCS)

最小外接球是指外接于實際被測球面（外表面）的可能最小球，即最大半徑為所有理想外接球半徑的最小值。按最小外接球法評定球度誤差實際上是尋找包容實際被測球面并且最大徑向距離最小的球心位置。

最小外接球半徑

1.3 最大內接球法(MIS)

最大內接球是指內接于世界被測球面（內表面）的可能的最大球，即最小半徑為所有理想內接球半徑的最大值。按最大內接球法評定球度誤差實際上是找尋內接于實際被測球面并且最小徑向距離最大的球心位置。

最大內接球半徑

可知球度誤差

1.4 最小二乘球法(LSM)

最小二乘球法是要找到理想球面使得被測輪廓面上個點Mi到該球球心的距離的平方和最小，即殘余誤差平方和e2i最小

即

則球度誤差

2 球度誤差評價算法

2.1 基本粒子群算法

假設用 Xi=(xi1,xi2, xi3,… ,xid)表示第i個粒子，其中d是粒子的維數，它經歷過的位置（有最好的適應值）表示為 Pb =(pi1 ,pi2, pi3,… , pid)，整個群體經歷過的最好位置表示為Gb=(pg1,pg2, pg3,…,pgd)，粒 子i的 速 度 用Vi=(vi1,vi2, vi3,…,vid)表示。PSO算法初始化一群隨機粒子，然后粒子群就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索找到最優解。在每一次迭代中粒子群通過跟蹤兩個“極值”來更新自己。對于每一代個體，在找到兩個最優值時，粒子根據如下公式來更新自己的速度和位置[7]，即

其中，ω為慣性權重， ()random 是介于(0,1)之間的隨機數，c1, c2是學習因子（或稱為加速度系數）。各個粒子的搜索速度會被一個最大速度Vmax限定，如果該粒子更新搜索速度超過該設定值，那么該速度就被限定為Vmax。

2.2 改進動態改變慣性權重的粒子群算法

基本PSO算法（本文簡稱為BPSO）在函數進入局部極值時，容易直接收斂到該極值點，很難跳出，為克服該不足，王啟付等人采用了動態改變慣性權重的方法[8]，即在優化迭代過程中，慣性權重值隨粒子的位置和目標函數的性質而變化，從而增強了搜索方向的啟發性，本文中簡稱為DWPSO。具體方法是在慣性權重計算中引入工程指數項e，即

考慮到粒子群在初期迭代中各粒子距離目標之間的距離很大，而到迭代后期處在目標距離附近很小的位置，本文對該算法進行了調整，添加了自適應最大速度限制策略。該策略公式為

改進后的DWPSO算法步驟如下：

（1）在搜索空間中采用隨機產生的速度和位置來初始化粒子群，確定V、X，迭代次數，隨機粒子數(m>20)，初始權重設定為ω =0.729，并取c1= c2=2.05；

（2）根據式(15)計算ω (t)，再計算 pg1、pgd；

（3）根據式(13)和式(14)進行迭代計算；

（4）如果已經滿足中止準則，如f (Xmin)小于某一閾值，則計算中止，否則轉步驟(2)。

3 實例分析

為了便于比較，本文采用了文獻[9-10]提供的兩組數據并使用本文中介紹的算法進行計算分析。根據球度誤差的特性，將算法參數設置為：粒子群規模數m=30；適應度函數為各自誤差 f，最大速度值Vmax=0.02；最大迭代次數設為500次。對兩組數據先后用DWPSO和BPSO分別基于4種模型進行評定，經多次計算結果相同。把在MZS模型下的DWPSO與文獻[9-10]給出的最小二乘法（LSM）、文獻[11]中的遺傳算法（GAM）以及文獻[12]中的一種改進粒子群算法（GHPSO）進行了分析比較，結果如表1 ～表4所示。圖1和圖2是在MZS模型下分別將兩組數據用DWPSO算法和BPSO算法進行處理時的收斂曲線對比圖，使用實線和虛線加以區別。

由上述圖表可以得出：

1）如表1和表3所示，通過對4種模型分別進行DWPSO和BPSO算法可知，由最小區域包容法模型所算得的球度誤差最小。根據被測產品的功能要求不同，可視具體情況選擇基于各個模型下的算法。

表1 第1組數據4種數學模型分別基于DWPSO和BPSO的計算結果比較

表2 第1組數據用4種不同算法的計算結果比較

表3 第2組數據4種數學模型分別基于DWPSO和BPSO的計算結果比較

表4 第2組數據用4種不同算法的計算結果比較

圖1 第1組數據的收斂曲線

圖2 第2組數據的收斂曲線

2）對MZS模型下的DWPSO和BPSO算法差別不大，但對于其他3組模型，DWPSO較之于BPSO球度誤差明顯更小。由兩幅收斂比較圖可看出，本文算法的迭代次數較之于BPSO明顯減少，收斂速度增快并且非常穩定。

3）根據表2和表4將基于MZS模型下的DWPSO算法結果與文獻中LSM和GA算法比較，可看出，結果優于后兩者。

4）文獻[12]中提及一種帶交叉因子的改進粒子群優化算法（GHPSO），并采用同樣來源的兩組數據進行處理分析，將DWPSO算法與其結果相比，兩者的優化程度相當，但本算法收斂速度同樣優于該算法，并且本文采用的DWPSO本身較之于GHPSO采用加入遺傳選擇和交叉操作更加簡單方便。

4 結 論

動態改變權重粒子群優化算法在基本粒子群優化算法的前提下，使得慣性權重值在優化迭代過程中隨粒子的位置和目標函數的性質而變化，增強了搜索方向的啟發性，使結果更為優化，收斂更為迅速。比起GA及其他改進的PSO算法，操作更加簡單，實用性強，效率高，能夠有效精確地對球度誤差進行評定。同時，若將球度誤差的目標函數加以變化，可以用于評定其他形位誤差。因此，動態改變權重粒子群優化算法對球度誤差以至于其他各類零件的形位誤差的評定具有一定的現實意義和參考價值。

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