基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測方法

陳華友，李 翔，金 磊，姚夢杰

(安徽大學數學科學學院，合肥230601)

0 引言

傳統的預測方法都是使用單項預測方法對目標進行預測，但是這種預測是存在風險的，一旦單項預測方法選擇錯誤，就會使得最后的預測誤差較大，給我們的決策帶來麻煩。為了分散這種風險，Bates和Granger[1]首次提出組合預測方法的概念并進行了相關的研究。此外，現實生活中，由于客觀事物的復雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，在實際決策問題中，決策信息往往以區間數形式[2]來表達。為了綜合信息的這種不確定性，文獻[3]引進區間組合預測。

傳統的組合預測方法[4]-[5]大都局限在對于不同的單項預測方法賦予相應的固定加權系數，這便忽略了各單項預測方法在不同時點預測精度的不同，因此固定加權的組合預測方法也存在一定的缺陷。美國著名學者Yager提出了有序加權平均算子[6]和誘導有序加權平均算子[7](Induced Ordered Weighted Averaging Operator)的概念，文獻[8]建立了基于IOWA算子的組合預測模型，它根據不同時點預測精度的作為誘導變量給各單項預測值進行有序加權平均，這實際上是一種變權組合預測方法。

同時，我們注意到傳統的組合預測方法大都是以不斷改善擬合誤差平方和為基礎來建立模型，從而求出權系數，然而文獻[9]給出了研究組合預測的另一新途徑，即提出了基于相關性指標的最優組合預測模型的研究。本文在此基礎上，結合IOWA算子，針對預測值與實際值都以區間數形式給出的問題，從相關系數角度出發，對區間中點和區間半徑進行研究，建立基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型，并探討了權系數求解方法。從最后的實例分析結果可以看出，本文的模型可以提高預測的精度。

1 預備知識

定義1稱a={x|aL≤x≤aU,aL,aU∈R}為區間數，令ma=1 2(aL+aU)，ra=1 2(aU-aL)，則稱ma為a的區間中點，稱ra為a的區間半徑。此時區間數a也可記為a=[aL,aU]或用區間中點和區間半徑的表達形式a=(ma,ra)。

設區間數a=[aL,aU]=(ma,ra)，b=[bL,bU]=(mb,rb)，則a，b之間有如下二元運算關系：

（1）加法運算：

a+b=[aL+bL,aU+bU]=(ma+mb,ra+rb)

（2）減法運算：

a-b=[aL-bU,aU-bL]=(ma-mb,ra+rb)

（3）數乘運算：λa=[λaL,λaU]=(λma,λra)，其中λ≥0 。

定義2[8]設fw:Ωn→Ω 為n元函數,若fw(α1,α2,…,，其中是與fw有關的加權向量,滿足是(α1,α2,…αn)中按降序排列的第i個大的數，則稱函數fw是n維有序加權平均算子，簡記為OWA算子，Ω表示實數集。

定義2表明OWA算子對序列(α1,α2,…αn)排序過后的加權平均，其中( )w1,w2,…,wn只與序列按降序排列后的位置i有關，而與序列(α1,α2,…αn)無關。

定義3[6]設為n個二維數組，令，其中有關的加權向量，滿足ex(i)是u1,u2,…,un中按降序排列的第i個數的下標，則稱函數IOWAw是由u1,u2,…,un所產生的n維誘導有序加權算術平均算子，簡稱為IOWA算子，ui稱為ai的誘導值。

定義3表明IOWA算子是借助誘導序列(u1,u2,…,un)，先對誘導序列進行降序排列，再根據誘導序列排列后的第i大元素的對應原始序列中的元素αu-index(i)，對其賦予權系數wi進行有序加權平均。顯然，IOWA算子的權系數只與誘導值所在的位置有關，而與序列(α1,α2,…αn)無關。

2 基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型

定義4令:

則稱uit為第i種預測方法在第t時刻的預測精度，其中uit∈[0,1] ，i=1,2,…,p;t=1,2,…,N。

定義4可以得到時刻t下的一組預測精度的序列u1t,u2t,…,upt，將此序列與預測序列1t,2t,…,pt結合便可得到p個二維區間數組由定義2.3將序列u1t,u2t,…,upt作為誘導值序列，對區間預測序列1t,2t,…,pt進行如下的運算。

顯然，IOWA算子區間組合預測是根據不同時刻各種預測方法預測精度的不同而賦予不同的權系數。由于區間中點和區間半徑是反映區間數本質特征的兩個重要指標，兩個區間數相等當且僅當他們的中點和半徑分別相等。因此，兩個區間數序列的相關程度可以用區間數的中點和半徑序列的相關系數來度量，為此引入下面的定義：

定義6令：

則稱Rm為IOWA算子的區間組合預測值t中點序列{t,t=1,2,…,N}與實際區間觀察值中點序列{mt,t=1,2,…,N}的相關系數，稱Rr為它們相應的半徑序列{,t=1,2,…,N}與實際區間觀察值中點序列{rt,t=1,2,…,N}的 相 關 系 數 ，其 中

顯然Rm,Rr∈[0,1]，Rm和Rr越接近于1，則表明IOWA算子的區間組合預測值序列與實際區間觀測值序列之間的預測誤差就越小。

結合定義6以及上面的記號和運算式，可將區間中點序列相關系數Rm和半徑序列相關系數簡化為：顯然區間組合預測值與實際區間觀測值的中點序列和半徑序列的相關系數均是權向量W=(w1,w2,…,wp)T的函數，可分別記為Rm(W)和Rr(W)，為了使得區間組合預測結果與實際區間值更為接近，則應最大化相應的相關系數指標，即建立如下基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型：

其中I=(1 ,1,…,1)T為元素全為1的n維向量。

上述區間組合預測模型為多目標非線性規劃問題。為了求解該模型，本文引入參數ρ，將多目標非線性規劃問題轉化為單目標非線性規劃問題，得到如下最優化模型：

其中I=(1 ,1,…,1)T，參數ρ是對區間中點相關系數的重要性程度的度量。此模型為非線性規劃問題可以使用MATLAB優化工具箱進行求解。

3 實例分析

為了說明基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型的有效性，利用文獻[9]的數據，對本文提出的模型進行實例分析。表1給出了實際區間與各單項預測方法區間預測資料。

表1 實際區間值和各單項預測方法區間預測值

根據定義4，可以計算各單項預測方法各時點預測精度，結果見表2：

將上述表達式代入到單目標非線性規劃的區間最優化組合預測模型中，取ρ=0.5，再利用MATLAB軟件計算，可得基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型的最優權系數為:

w1=0.5042w2=0.4958w3=0.0000

為檢驗區間組合預測效果，本文引入4種誤差指標進行模型效果分析，4種誤差指標如下：

（1）平均區間中心位置誤差平方和

（2）平均區間長度誤差平方和

（3）平均區間誤差平方和MSEI=MSEP+MSEL

（4）平均區間相對誤差和

具體計算結果如表3所示。

從表3可以看出基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型的四項誤差指標均顯著小于各單項預測方法誤差指標，只有MSEL不夠顯著，但也并非最大，這表示此方法至少是非劣性的，綜合來看，基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型是能夠很好的提高預測精度的。下面討論ρ選取對最優化模型的權重系數的影響。表4給出ρ的靈敏度分析結果。

表2 各單項預測方法各時點預測精度

表3 各項區間組合預測誤差指標

表4 對ρ的靈敏度分析

從表4中可以看出隨著ρ的增加，權系數w1和w2的值主要集中在0.5附近，權系數w3全為0。這表明，預測最差的預測值是冗余的，它不參與組合預測。同時隨著ρ的增加，目標函數值在不斷增大且趨近于1。

類似地，下面的圖1給出ρ選取的不同值對四個誤差指標MSEP,MSEL,MSEI,MRIE的影響情況。

圖1 參數ρ選取的對不同誤差指標的靈敏度分析

顯然從圖1中可以看到MSEP以及MRIE隨著ρ的增加而減小，MSEL以及MSEI隨著ρ的增加而增大，當ρ接近于1時四項指標的變化較為劇烈，當ρ≤0.8時四項指標的變化都是較為平緩的，因此我們可以選取ρ≤0.8，這樣都會得到不錯的預測效果。

4 結束語

本文建立了基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測模型，并且從實例上驗證了模型的有效性，但是有關區間組合預測有效性理論的研究仍有待于進一步探討。即對于區間組合預測模型，如何定義的優性，非劣性區間組合預測方法及其相關冗余預測方法的判定等問題，仍需研究。

[1] Bates J.M.Granger C.W.J.Combination of Forecasts[J].Operations Research Quarterly,1969,20(4).

[2] Yoon K.The Propagation of Errors in Multiple-attribute Decision Analysis:A Practical Approach[J].Journal of the Operational Re?search Society,1989，（40）.

[3] 沈家驊,嚴振祥.基于區間分析的組合預測系數確定方法[J].武漢理工大學學報,2006,30(6).

[4] 唐小我，馬永開，曾勇，楊桂圓.現代組合預測和組合投資決策方法及其應用[M].北京：科學出版社，2003.

[5] 陳華友，侯定丕.基于標準差的預測有效度的組合預測模型[J].系統工程學報，2003,18(3).

[6] Yager R.R.,On Ordered Weighted Averaging Aggregation Operators in Multicriteria Decision Making[J].IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics,1988，（18）.

[7] Yager R R.Induced Aggregation Operators[J].Fuzzy Sets and Systems,2003，（137）.

[8] 陳華友.基于預測有效度的組合預測模型研究[J].預測，2001，20(3).

[9] 王應明.基于相關性的組合預測方法研究[J].預測，2002，21(2).

[10] 徐惠莉，吳柏林，江韶珊.區間時間序列預測準確度探討[J].數量經濟技術經濟研究，2008，25(1).