二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模糊控制

焦靈俠，任海波，郭 敏

（1.西安工業(yè)大學(xué)北方信息工程學(xué)院 陜西 西安 710032；2.西北機(jī)電工程研究所 陜西 咸陽 712099；3.榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院，陜西 榆林 719000）

倒立擺是一種典型的高階非線性、多變量、強(qiáng)耦合、絕對(duì)不穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)裝置，它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉、易于調(diào)整等特點(diǎn)，作為這樣一個(gè)被控對(duì)象，只有有效的控制策略才能夠使其穩(wěn)定，同時(shí)它也是檢驗(yàn)各種控制理論的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。倒立擺系統(tǒng)涉及控制理論、計(jì)算機(jī)控制、機(jī)器人技術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域，并且結(jié)合了多種技術(shù)，因此可以看作是典型的被控對(duì)象供科研人員研究。倒立擺系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于雙足機(jī)器人行走及火箭穩(wěn)定發(fā)射及飛行方面，對(duì)于多級(jí)倒立擺和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的倒立擺進(jìn)行控制更是近年來各科學(xué)領(lǐng)域不斷研究，創(chuàng)新的問題之一，所以對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的研究具有深遠(yuǎn)的意義[1]。

1 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級(jí)倒立擺示意圖如圖1所示。

利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

拉格朗日方程為：L（q，q˙）=T（q，q˙）-V（q，q˙）

其中L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能，i=1，2，3…n，fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力。系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有3個(gè)，分別為x，θ1，θ2。系統(tǒng)的動(dòng)能：

圖1 二級(jí)倒立擺示意圖Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

表1 倒立擺參數(shù)定義Tab.1 Parameter defines of the inverted pendulum

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分別為小車的動(dòng)能， 擺桿 1 的動(dòng)能，擺桿2的動(dòng)能和質(zhì)量塊的動(dòng)能。

系統(tǒng)的動(dòng)能為：

系統(tǒng)的勢(shì)能為：

系統(tǒng)在θ1，θ2廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有：

將其在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，有：

帶入?yún)?shù)值，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

2 二級(jí)倒立擺的模糊控制

二級(jí)倒立擺的模糊控制[2]采用的控制思想是將多輸入/單輸出的模糊控制器，分解成一個(gè)較簡(jiǎn)單的多輸入/單輸出的模糊控制器。通過對(duì)模型的仿真，得到最合適的模糊控制參數(shù)，量化因子和比例因子ke、kec、ku。在仿真的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)實(shí)時(shí)控制程序，在實(shí)際的倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)時(shí)控制研究。

2.1 模糊控制器的設(shè)計(jì)

1）確定輸入變量和輸出變量

綜合誤差（小車的位移、上擺的擺角、下擺的擺角）E和綜合誤差變化率（小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度）EC作為輸入變量，電機(jī)的控制力u作為輸出變量[3]。

利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反饋矩陣 K：

綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

2）E、EC、u 隸屬度函數(shù)的設(shè)計(jì)

圖2 E和EC隸屬度函數(shù)曲線Fig.2 Membership function curves of E and EC

圖3 u的隸屬度函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小運(yùn)算規(guī)則。

4）模糊控制規(guī)則

根據(jù)輸入/輸出論域上的模糊語言變量劃分NB（負(fù)大），NM（負(fù)中），NS（負(fù)小），ZO（零），PS（正小），PM（正中），PB（正大），設(shè)計(jì)模糊推理規(guī)則如表2所示。

表2 模糊控制規(guī)則Tab.2 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

2.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制

經(jīng)過多次仿真，選定了合適的模糊控制器的參數(shù)[4-6]，得到了比較理想的曲線，當(dāng)ke=1.5、kec=1.5、ku=6時(shí)控制效果較好，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)能夠得到較好的穩(wěn)定，小車在0.1 cm位置附近來回振動(dòng)，下擺擺桿在平衡位置附近擺動(dòng)，上擺桿在平衡位置小幅度擺動(dòng)。

根據(jù)仿真結(jié)果，在實(shí)際的倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，設(shè)計(jì)的二級(jí)倒立擺實(shí)時(shí)控制程序如圖4所示。

實(shí)時(shí)控制曲線如圖7所示。

圖4 二級(jí)倒立擺的實(shí)時(shí)控制程序Fig.4 Real-time control program of two-stage pendulum

圖5 二級(jí)倒立擺內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.5 Internal structure of two-stage pendulum

圖6 實(shí)時(shí)控制內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.6 Internal structure of real-time control

圖7 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制曲線Fig.7 Real-time control curve of two-stage pendulum

3 結(jié) 論

從二級(jí)倒立擺的實(shí)時(shí)控制曲線上可以看出，小車位移偏離平衡位置的最大距離小于5 cm，上擺角的振動(dòng)幅值在0.04 rad范圍內(nèi)，下擺角振動(dòng)幅值在0.08 rad以內(nèi)，控制的效果比較理想，系統(tǒng)穩(wěn)定的響應(yīng)時(shí)間在5 s之內(nèi)。實(shí)時(shí)控制結(jié)果證明模糊控制控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性。

[1]張葛祥，李眾立，畢效輝.倒立擺和自動(dòng)控制技術(shù)研究[J].西南工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，16（3）：12-16.

ZHANG Ge-xiang，LI Zhung-li，BI Xiao-hui.Inverted pendulum and automatic control technology [J].Southwest Institute Sinica，2001，16 （3） ：12-16.

[2]曹承志，王楠.智能技術(shù)[M].北京：淸華大學(xué)出版社，2004.

[3]吳壽章.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[4]聞新，周露，李東江，等.MATLAB模糊邏輯工具箱的分析與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[5]李巖，姚旭東.二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)分析[J].沈陽工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，18（2）：86-92.

LI Yan，YAO Xudong.Analysis of double inverted pendulum control system[J].Shenyang Polytechnic University，1999，18（2）：86-92

[6]張龍.直線二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制研究[D].西安：西安建筑科技大學(xué)，2008.