專用車輛系統結構振動特性分析

孫志春，周志立，李 言，謝基龍，謝云葉

(1.西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048;2.濟寧職業技術學院，山東濟寧272037;3.河南科技大學車輛與動力工程學院，河南洛陽454900;4.北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京100044)

由大量的剛體和控制單元組成的機械和車輛多體系統的動態問題可用相關的多體系統軟件進行有效的研究分析。但隨著車輛高速化、重載化以及結構輕量化的不斷發展，越來越要求能準確合理可靠地處理系統中的彈性體結構，并對其進行非線性動力學分析;在此基礎上建立剛柔耦合的車輛系統動力學模型，對車輛系統的結構振動進行更為精確、快速的計算分析。在已發展和建立起來的多個基于物體小彈性變形的多體分析方法中，變形可表示為隨空間振型和時間變化的模態坐標的線性組合，振型可通過解析解或有限元方法獲得。

進行多體系統仿真分析，應首先建立多體系統運動方程的矩陣。對于可將物體模擬為具有解析解的簡單彈性體情況，理論已比較完善［1，2］。而對形狀復雜且無解析解的彈性體，可采用有限元方法計算的結果，來獲取彈性體特征的描述信息并形成多體系統軟件中表示彈性體的標準信息［3，4，5］，為構成系統方程的矩陣做準備。

由于車輛多體系統動力學分析受自由度數目的限制，直接用有限元模型處理其中的彈性體，會導致系統自由度太多，不宜于多體系統的建模與求解。因此，文章采用超單元法來縮減處理某專用車輛多體系統中彈性底架，建立有“動特征”的底架彈性體模型，使得求解的自由度數大為減少又不失精確性。在此基礎上，通過引入車輛系統中的其他非線性因素建立了該種車輛的剛柔耦合動力學模型，并計算分析了車輛系統的結構振動特性，及運行速度等參數對車輛結構振動的影響。

1 車輛多體系統中彈性體運動學分析原理

在多體系統中的任一彈性體可通過連接元件與其它物體連接。各物體間的作用力和力矩由這些連接元件表示，同時還應考慮作用于表面的面力和由重力等因素引起的體積力。為說明彈性體的運動狀態，在此使用三種廣義坐標系(見圖1)。第一種是慣性坐標系{OI，eI}(OI是原點，eI是慣性坐標系的單位矢量;以下類同)，來確定物體的方位。第二種是參考坐標系{Oi，ei}，它固定于彈性體上，相對上述慣性坐標系建立的。第三種是彈性變形坐標系{Pi，ei}，它相對于上述參考坐標系而建，可使用物體的有限元模型。

現考慮圖1中所示的任一彈性體i，在參考坐標系中求解所有的量。圖中狀態變量ri、Ai、vi和wi分別表示參考坐標系的位置、方向、線速度和角速度。對于固定于彈性體上的參考坐標系，相對于慣性坐標系做大的運動，可由位置矢量ri和方向矩陣Ai描述出來。而物體的相對變形可用相對于參考坐標系由矢量定義的任意材料點P的運動來描述。在小變形情況下，物體的運動和動態方程可相對于其初始狀態按一階泰勒展開式進行線性化處理。對于物體上各點的變形，可以通過相對坐標系的方向矩陣和位移矢量來計算。在上述基礎上，彈性變形坐標系相對于慣性坐標系的運動就可以描述出來。

圖1 彈性體坐標系Fig.1 Coordinate system of a elastic body in multibody system

2 車輛多體系統中彈性體變形有限元分析與運動方程

由于結構上的復雜性，對多數彈性體，很難用連續簡化模型來精確表示，所以用更一般的有限元程序計算求出標準信息，再由多體系統中的前處理器來讀取有限元軟件程序的計算結果并計算標準信息文件。眾多算例已經表明，對多體系統中具有復雜幾何形狀和復合材料特性的彈性體，用有限元法先行計算分析彈性體的模態等固有動態特性是可行的，以獲取多體系統中所需的振型等信息。

2.1 車輛多體系統彈性體變形的有限元分析

由機械振動理論可知［8］，靜態振型和特征振型是相互正交的。由式(4)可見，彈性體變形既可通過靜態振型求解也可通過特征振型計算，可大大縮減計算自由度，方便彈性體的計算。而通用的有限元程序可處理任意形狀和材料特性的彈性體，因而結合有限元法，將大大拓寬多體系統的運用范圍。

2.2 彈性體運動方程

基于以上分析，結合約旦虛功原理和達朗伯原理，利用有限元分析可得出彈性體的運動方程。在有限元分析中，可通過求解下式(5)來計算結構特征值:

求出的nq個特征振型ΦJm可用矩陣ΦJ表示，即:ΦJ=［ΦJ，……，ΦJnq］。

根據以上有限元分析得出的特征振型矩陣ΦJ、質量矩陣MJ、剛度矩陣KJ以及幾何剛性矩陣KσJ完成下面的模態轉換:

進而可得出彈性體i的運動方程。另外，彈性體有限元坐標X可通過由有限元建立的一組對應的解耦廣義坐標Xj和振型矩陣:ΦJ變換得出，即:X=:，將其按泰勒展開，取前兩項:

把上面對彈性體的有限元分析結果(結構和特征信息)通過多體系統程序讀入，并經過轉換形成多體系統中所需的標準輸入數據文件，結合多體系統中其它因素的處理即可建立剛柔耦合的多體系統模型，進而進行動態仿真和計算分析。

3 車輛多體系統中彈性底架的模態分析

某型專用車輛中的底架是直接裝載貨物的承載部件，相對系統中的其他構件，其結構長，運行中彈性問題突出，因而需要把它考慮為彈性體。其為箱型鋼板焊接結構，在此采用四邊形板單元shell63對其進行有限元建模(有限元模型如圖2所示)。模型中各部分結構和尺寸完全按照其結構實際情況，網格劃分要求幾何形狀與原結構一致，并疏密結合，這樣既可以減少節點數、提高計算效率，又可以保證計算精度。

為在多體系統分析中能反映出底架的振動特性，須對其的固有動態特性進行詳細分析，因而有必要對底架有限元模型進行模態分析。在此采用蘭索斯法分析彈性構架的模態，計算其前20階模態，得到了各階固有頻率及振型。由于在實際運用中底架主要承受低頻載荷［9］，高頻率的振型對結構振動響應的影響很小，可以忽略。因此取其中前8階模態來做分析，結果見表1。

圖2 底架有限元模型Fig.2 Finite－element model of the chassis underframe

由于彈性底架結構比較復雜，同時考慮到系統動力學分析中對自由度數目的限制，用有限元超單元法［10］建立底架彈性體有動特征的模型，使描述底架的節點數和自由度數大為減少，但又不失計算結果的準確性，達到即縮減模型自由度又提高計算效率的目的。

在此采用Guyan縮減法將彈性矩陣問題縮減為一個較小主自由度集矩陣問題。由于縮減質量矩陣的精度取決于主自由度的位置和數目，所以對于較復雜的底架在手動選擇一部分主自由度的同時，也讓有限元程序自動選擇一些自由度，這樣可彌補可能被遺漏的模態點。這里將整個底架作為一個超單元來處理，共選取了236個主節點，共1416個主自由度。

對生成的底架超單元進行模態求解，得到的模態解與振型(也取前8階)見表1。比較用超單元與有限元模型計算出的底架模態結果，可見在前8階內彈性振型頻率最大相對誤差為0.83%。由此可見，用超單元法計算的底架模態結果精度是足夠高的，且通過實際應用表明能滿足車輛系統振動分析要求。

表1 底架有限元及超單元模型模態計算結果Table 1 Calculated modal results of the finite－element model and superelement of the chassis underframe

4 應用

基于上面的分析，將底架的彈性信息輸入到多體系統中實現對其的彈性模擬，在對所關心的因素進行合理處理后，建立了含有該底架彈性體的剛彈耦合的車輛多體系統動力學模型(見圖3)，并進行了計算分析，獲得了幾種典型運行速度下車輛系統的振動響應。在選取的參考點上，將不同速度下的模擬計算結果——垂向加速度(見圖4，在此僅列出60 km/h和80 km/h兩種速度下的歷程)與實驗結果進行比較(見表2，表中列出了五種速度下的結果)。表2中，g為重力加速度。

圖3 專用車輛系統剛柔耦合動力學模型Fig.3 Rigid－flexible coupling dynamics model of the special vehicle system

通過分析結果，可以看出在將底架作為彈性體考慮后，參考點處的模擬計算結果與實測結果基本吻合，誤差都沒有超過3.77%。因而，可以滿足工程需要，能對該車輛系統振動特性進行可靠分析。通過分析，還可以看出，在60 km/h～100 km/h之間振動加速度在90 km/h上下時有一極大值;主要原因是:在此速度上下運行時，線路形成的激擾頻率與車輛的底架一階固有頻率相接近，因而應避免在此速度上下運行。

圖4 不同速度下參考點處的振動響應Fig.4 Vibration responses on selected point under different velocities

表2 幾種速度下模擬計算值與實測值及其比較Table 2 Measured values，calculated values，and their relative errors under different velocities

5 結論

為精確和快速地分析車輛系統的振動特性，文章將多體系統與有限元理論相結合，研究分析了彈性體在多體系統中的運動學描述、變形和運動方程，以及用有限元法描述彈性體特征的方法，為在多體系統中精確和快速地處理彈性體奠定了理論基礎。

以上述分析原理為基礎，采用了超單元法對專用車輛系統中的底架進行處理，建立了有動特征的底架彈性體模型，使所描述底架的自由度減少，因而大大縮小了計算規模，同時又保證了結果的精確性。結合車輛中其他所關心因素的合理處理，建立了該種車輛系統的剛柔耦合動力學模型，并計算分析了典型速度下車輛系統的振動特性。

計算分析結果表明，在感興趣的頻率范圍內底架各彈性振型頻率的最大誤差為0.83%;且在參考點處，典型運行速度下，該車輛系統振動模擬結果與實測值接近，最大誤差不超過3.77%。因而，這種放處理方法的精度是十分高的，也是可靠的，能滿足工程系統結構振動分析的需要。振動加速度在90 km/h上下時有一極大值，為保證車輛運行安全，應避開此速度。

［1］Shabana AA，Wehage RA.A coordinate reduction technique for transient analysis of spatial structures with large angular rotations［J］.J.Struct.Mech，1983，11(3):401 －431

［2］O.Wallrapp.Flexible bodies in multibody system codes［J］.Vehicle system dynamics，1998，30:237 －256

［3］O.Wallrapp.Standardization of flexible body modeling in multibody system codes，Part I:Definition of standard input data［J］.Mechanics of structures and machines，1994，22(3):1994，283 －304

［4］李東平，曾慶元，婁 平.車輛多體系統動力學方程的有限元方法［J］，中國鐵道科學，2004，25(5):10:34－38

［5］謝云葉，謝基龍，楊廣雪，等.基于改進剩余柔度矩陣的自由界面模態綜合法［J］，北京交通大學學報:自然科學版，2008，32(4):28－32

［6］Ali H.Nayfeh and P.Frank Pai:Linear and nonlinear structural mechanics［M］.Published by John Wiley ＆ Sons，Inc.，Hoboken，New Jersey，2004

［7］O.Wallrapp，A.Eichberger，and J.Gerl.FEMBS － An interface between FEM codes and MBS codes.User Manual for ANSYS，NASTRAN，and ABAQUS，INTEC GmbH，Wessling，Report Version 3.0，January 1997

［8］W.S.Yoo and E.J.Haug.Dynamics of articulated structures，Part I:Theory［J］.Journal of structures and mechanics，1986，14(1):105 －126

［9］S.L.Grassie.Models of railway track and vehicle/track interaction at high frequencies:Results of benchmark test［J］.Vehicle system dynamics supplement，1996，25:243 －262

［10］曾 攀.有限元分析及應用［M］.北京:清華大學出版社和Springer，2004