諧振子密度偏差引起的頻率裂解的分析

任順清，趙洪波

（哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，150001 哈爾濱，h84b@163.com）

諧振子密度偏差引起的頻率裂解的分析

任順清，趙洪波

（哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，150001 哈爾濱，h84b@163.com）

為研究半球諧振子密度不均勻引起的頻率裂解，首先利用解微分方程的布勃諾夫－加廖爾金法建立了諧振子環向密度分布不均勻的動力學方程，根據動力學方程建立了振動系統的狀態方程，進而推導了系統的特征方程，根據特征方程解出了在諧振子存在環向密度不均勻的前提下，振動系統存在的兩個二階固有頻率，最后求解了固有頻率裂解的表達式.

半球諧振子;密度分布不均勻;頻率裂解

當半球諧振子的密度、厚度、品質因數等參數分布不均勻，并存在沿半球諧振子周向的四次諧波時，諧振子的二階振型將出現兩個相互間展成45°的固有軸，沿這兩個不同固有軸的二階彎曲振型對應的固有頻率分別達到極大和極小值.兩個固有頻率差稱作頻率裂解.文獻［1］只給出了頻率裂解的公式，并沒有給出詳細的推導過程.如果對諧振子的激勵不沿固有軸方向，頻率裂解會使諧振子振型的駐波向固有軸緩慢漂移直至振動沿固有軸方向，從而導致陀螺漂移.本文將針對密度分布不均勻引起的頻率裂解進行詳細推導，得出與文獻［1］不同的更加精確的頻率裂解表達式.

1 密度分布不均勻的諧振子動力學方程的推導

如圖1所示，半球殼諧振子坐標系為OXYZ，半球殼諧振子中曲面一點的矢徑為R，把經線和緯線作為坐標曲線α、β，它們的切線單位矢量e1、e2和法線單位矢量e3組成1個右手局部坐標系.

假設半球殼的中曲面任一點在局部坐標系的位移為M=ue1+ve2+we3.將諧振子各點的位移按不可拉伸薄殼的二階固有振型展開得

式中:U(α)=V(α)=sinαtan2(α/2)，W(α)=－(2+cosα)tan2(α/2)為二階固有振型的瑞利函數，p(t)、q(t)為按二階固有頻率振動的位移函數.

圖1 半球諧振子坐標系

由于密度不均勻，將密度ρ沿諧振子周向角β展開成Fourier級數的形式，如下:

式中ai為密度展開式第i次諧波余弦幅值，bi為密度展開式第i次諧波正弦幅值.

式中:阻尼l=c0/Q，Q為半球諧振子的品質因數;E為楊氏模量;h為半球諧振子薄殼的厚度;γ為半球諧振子材料的泊松比;ω0為不考慮頻率裂解時的半球諧振子二階固有頻率;W'、W″、W?、W(4)表示瑞利函數W對周向角.β求一、二、三、四階導數，其他類同.

2 頻率裂解公式的推導

下面將證明對于動力學方程(1)，有兩個二階固有頻率ω1、ω2的存在，本節將推導出固有頻率裂解表達式.

根據以上各式可以建立以振動位移和速度的狀態方程為

矩陣B的特征方程為

對式(3)進行處理，令λ=s－a33/4得

設特征多項式(4)的4個根為

本文第3節將要證明當阻尼l較小時有

將 s1、s2、s3、s4代入如下方程:

并與式(4)比較得

利用韋達定理解一元二次方程并假設ω1＞ω2得

對式(1)中的各參數如m0、m1等進行積分計算，并帶入式(2)中B矩陣的各個參數，再計算a00、a22，最后對上式化簡得

由于 ε4? ρ0，所以

3 品質因數對結果影響的算例驗證

公式(5)是在阻尼l較小的假設下推導出來的，阻尼l由品質因數Q決定，因此下面將利用實際數值討論品質因數Q對公式(6)的影響.

目前國內生產諧振子的材料為熔融石英，其密度ρ=2 200 kg·m－3，楊氏模量 E=7.67×1010N·m－2，泊松比 γ =0.17，中曲面半徑R=0.015 m，厚度h=0.85×10－3m，根據文獻［2］計算得 ω0=18 727 rad·s－1，現對 a4b4取不同的值進行驗證，結果如表1所示.

表1 品質因數對頻率裂解的影響

國內某研究所生產的半球諧振子品質因數Q能達到107，因此根據本文的假設推導的公式(5)是正確的.

4 結論

1)在半球諧振子環向密度不均勻的情況下建立了諧振子的動力學方程;

2)根據動力學方程建立了振動位移、速度的狀態方程，根據系統的特征方程證明了諧振子在密度不均勻存在四次諧波的情況下，存在兩個二階固有頻率;

3)在忽略了諧振子阻尼的情況下，簡化了頻率裂解的解析表達式.上面的方法在分析諧振子其他缺陷比如厚度、密度、楊氏模量、品質因數不均勻時的頻率裂解提供了一種分析方法.

［1］МАТВЕЕВ В А，ЛИПАТНИКОВ В И，АЛЕИН А В.Проектирование. Волнового твердотелъного гироскопа［M］. Москва:Издателъство МГТУ имениН.Э.Баумана，1998:1 －43.

［2］趙洪波，任順清，李巍.半球諧振子動力學方程的建立及固有頻率的計算［J］.哈爾濱工業大學學報，2010，42(11):1702 －1706.

［3］EMILY L B，ALLAN Y L.In-flight characterization of cassini inertial reference units［C］//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit.Hilton Head，South Carolina:AIAA，2007 －6340.

［4］JIAYI Q，XUE C，SHUNQING R，et al.Dynamic error mechanism analysis of HRG［C］//ISSCAA2008，Shenzhen:［s.n.］，2008:12.

［5］ZHBANOV Y K.Vibration of a hemispherical shell gyro excited by an electrostatic field［J］.Mechanics of Solids，2008，43(3):328 －332.

［6］ZHBANOV Y K，ZHURAVLEV V P.Effect of movability of the resonator center on the operation of a hemispherical resonator gyro［J］.Mechanics of Solids，2007，44(3):851－859.

［7］FAN Shang-chun，LIU Guang-yu，WANG Zhen-jun.On flexural vibration of hemispherical shell［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1991，12(10):1023 －1030.

Analysis of frequency cracking of resonator under the density error

REN Shun-qing，ZHAO Hong-bo

(Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China，h84b@163.com)

In order to study the frequency cracking caused by the nonuniform of density distribution，the dynamics equations of resonator under the nonuniform of density distribution were established by way of Bubonov—Galerkin method which is common used for solution of differential equations，the state equation was established by the dynamics equations，and then the system characteristic equations were derived.According to the system characteristic equations，two second order natural frequency caused by the density nonuniformity around the hemispherical of vibration system and the expression of frequency cracking were solved.

hemispherical resonator;density distribution nonuniform;frequency cracking

U666.1

A

0367－6234(2012)03－0013－04

2011－01－12.

任順清(1967—)，男，教授，博士生導師.

(編輯 張 宏)