機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈飛行諸元的快速計(jì)算

韋文書(shū)，荊武興，高長(zhǎng)生

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，150001 哈爾濱）

式中:φ為地表一點(diǎn)的地心緯度;B為該點(diǎn)的地理緯度;a、b分別為地球的長(zhǎng)半軸和短半軸.

O、T兩點(diǎn)地心角和球面方位角能夠通過(guò)球面三角關(guān)系得到:

機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈飛行諸元的快速計(jì)算

韋文書(shū)，荊武興，高長(zhǎng)生

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，150001 哈爾濱）

基于解析預(yù)報(bào)與數(shù)值尋優(yōu)相結(jié)合的方法，本文研究機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈飛行諸元快速設(shè)計(jì)問(wèn)題.首先，利用線性回歸方法建立了導(dǎo)彈諸參數(shù)與發(fā)射信息之間的多項(xiàng)式擬合關(guān)系式，利用該式可以得到飛行方案諸參數(shù)迭代初值;然后，以彈道落點(diǎn)縱向偏差、橫向偏差及彈道頂點(diǎn)高度偏差平方和極小為指標(biāo)函數(shù)，采用Levenberg-Marquardt方法搜索諸參數(shù)精確解;最后，以民兵III彈道導(dǎo)彈為例，對(duì)所提方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，研究結(jié)果表明，該方法計(jì)算量少，適合已定參數(shù)的導(dǎo)彈大范圍機(jī)動(dòng)發(fā)射的快速計(jì)算，且在落點(diǎn)精度要求不高的情況下，可以用解析表達(dá)式的解作為彈道飛行方案諸元的值，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊.

解析預(yù)報(bào);機(jī)動(dòng)發(fā)射;Levenberg-Marquardt方法;多級(jí)彈道導(dǎo)彈;線性回歸方法

導(dǎo)彈飛行方案設(shè)計(jì)的目的是找到滿足所有系統(tǒng)要求的最適合的彈道［1］.對(duì)于機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈來(lái)說(shuō)，針對(duì)不同的發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)等攻擊信息能夠快速選取飛行方案諸參數(shù)，將大大的提高導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能.所以，機(jī)動(dòng)發(fā)射彈道導(dǎo)彈的飛行方案快速設(shè)計(jì)是1個(gè)重要的、亟待解決的內(nèi)容.目前，飛行方案設(shè)計(jì)包括直接法、間接法和智能優(yōu)化算法等［2－8］，然而這些方法通常需要大量的計(jì)算［9］，故對(duì)于機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈來(lái)說(shuō)不能夠迅速計(jì)算其彈道諸參數(shù).

描述飛行器空間彈道的方法有3類(lèi):解析法、數(shù)值積分和函數(shù)逼近法.解析法計(jì)算速度快，實(shí)時(shí)性好，但解析解求取困難且精度受限;數(shù)值積分法精度高，缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，實(shí)時(shí)性好;函數(shù)逼近法介于解析法和數(shù)值積分法之間.目前，國(guó)內(nèi)外有很多學(xué)者致力于函數(shù)逼近法的研究［10－13］.如陸平［14］在研究多級(jí)火箭上升段制導(dǎo)方案過(guò)程中，將飛行高度擬合成1個(gè)多項(xiàng)式，從而設(shè)計(jì)了二級(jí)火箭的反饋控制律.

王明海［15］等將落地射程偏差和方位角偏差的二元迭代分解成兩個(gè)一元迭代，從而提供了彈道導(dǎo)彈彈道設(shè)計(jì)的一種快速迭代方法，該方法對(duì)多變量、有約束的彈道設(shè)計(jì)有一定缺陷;黃岳［16］等以發(fā)射方位角為射擊諸元，對(duì)球面方位角迭代得到發(fā)射方位角，該方法計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，不適合機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈彈道設(shè)計(jì);劉剛、何麟書(shū)等［17］基于微積分、變分原理提出一種多級(jí)火箭飛行方案設(shè)計(jì)的工程方法，該方法考慮工程約束較少.

本文研究機(jī)動(dòng)平臺(tái)發(fā)射的三級(jí)固體彈道導(dǎo)彈全彈道飛行方案設(shè)計(jì)，不同的發(fā)射點(diǎn)緯度、射向、射程對(duì)應(yīng)不同的飛行方案彈道，彈道諸元的快速選取對(duì)導(dǎo)彈的效能有重大影響.為了減少大量計(jì)算，本文將解析預(yù)報(bào)與優(yōu)化方法相結(jié)合，能夠快速給出最優(yōu)的期望方案.首先，對(duì)彈道進(jìn)行分段，根據(jù)每段的飛行特性，設(shè)定了相應(yīng)的約束條件，設(shè)計(jì)了飛行方案;其次，通過(guò)開(kāi)環(huán)仿真得到了飛行方案諸元與發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)等信息的數(shù)據(jù)庫(kù)，利用多項(xiàng)式擬合他們之間的解析關(guān)系式，從而，對(duì)一定打擊范圍內(nèi)任意的發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)及期望彈道頂點(diǎn)高度，能夠迅速給出飛行方案諸元的近似值;然后，以解析表達(dá)式得到的近似值為初值，縱向、橫向、及高度偏差的平方和極小為目標(biāo)函數(shù)，采用L-M法進(jìn)行迭代計(jì)算，得到諸元的精確值;最后，對(duì)文中方法進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明:采用解析預(yù)報(bào)能快速給出諸元概略值，以此為初值，采用數(shù)值方法只需少量計(jì)算即可得到精確值;當(dāng)落點(diǎn)精度要求不高時(shí)，可以用解析預(yù)報(bào)的值直接作為諸元的真值來(lái)打擊目標(biāo).

1 數(shù)學(xué)模型

彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型基于六自由度彈道仿真模型建立.考慮地球自轉(zhuǎn)、標(biāo)準(zhǔn)橢球模型，不考慮級(jí)間分離干擾誤差，給定發(fā)射方位角與主動(dòng)段飛行程序角后，導(dǎo)彈即可按預(yù)定彈道飛行.

發(fā)射坐標(biāo)系［18］中導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型為

其中:R為導(dǎo)彈相對(duì)發(fā)射系的位置;V是導(dǎo)彈相對(duì)發(fā)射系的速度;T為推力;m為t時(shí)刻質(zhì)量;D為氣動(dòng)阻力;L為氣動(dòng)總升力，T為推力幅值;Isg為比沖;ac為科氏加速度;ae為牽連加速度.

引力加速度的表達(dá)式是

其中:r為地心到飛行器的矢量;ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度矢量，則

式中:r為地心到飛行器的距離;μ為地球引力常數(shù);Re為地球赤道平均半徑;J2為帶諧系數(shù);φ為地心緯度.

科氏加速度的表達(dá)式為

牽連加速度的表達(dá)式為

彈道導(dǎo)彈一般是軸對(duì)稱的，定義其體坐標(biāo)系為obxbybzb.由氣動(dòng)力的定義可以得到，氣動(dòng)阻力和氣動(dòng)總升力為

式中CD、CL分別為阻力系數(shù)和總升力系數(shù)，它們均為攻角α和馬赫數(shù)Ma的函數(shù).

發(fā)動(dòng)機(jī)的推力矢量沿著obxb軸方向，利用發(fā)射坐標(biāo)系到體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣A，可得到推力在發(fā)射坐標(biāo)系中的投影，其中

式中:s代表 sin;c代表 cos;γ、φ、ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、偏航角、俯仰角.

2 工程描述

對(duì)于多級(jí)固體彈道導(dǎo)彈，其主動(dòng)段飛行方案有3種模式:連續(xù)推力模式、連續(xù)推力+滑行(小推力末端修正)、間隔推力模式.本文選取連續(xù)推力模式.

飛行程序通常指的是主動(dòng)段飛行時(shí)程序角的變化規(guī)律.其選擇原則為:

1)垂直飛行段，要確定轉(zhuǎn)彎時(shí)刻，其選取比較靈活，一般不能小于由發(fā)射條件所確定的規(guī)定時(shí)間;

2)跨音速段的攻角應(yīng)接近零值，這樣可減小氣動(dòng)特性劇烈變化而造成的影響;

3)導(dǎo)彈飛過(guò)跨音速，進(jìn)入高動(dòng)壓區(qū)，應(yīng)考慮殼體溫度和載荷的限制，為了使導(dǎo)彈較輕，又不至于造成折斷的危險(xiǎn)，需要限制攻角;

4)程序要簡(jiǎn)單易行，引入瞄準(zhǔn)段，即此段內(nèi)程序角為常值，這樣，導(dǎo)彈就可以在規(guī)定的各種射程內(nèi)使用;

5)級(jí)間分離時(shí)，應(yīng)盡量保證可靠分離和有利于下一級(jí)起控.因此，程序選擇時(shí)，適當(dāng)提高第一級(jí)分離高度，并在第一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)前后的瞬間采用零攻角飛行程序;

6)飛行程序要考慮頭部再入大氣層的限制，如動(dòng)壓、再入點(diǎn)彈道傾角等.

綜合以上原則，三級(jí)導(dǎo)彈的主動(dòng)段飛行方案為

其中:t1為轉(zhuǎn)彎開(kāi)始時(shí)刻;t2為重力轉(zhuǎn)彎開(kāi)始時(shí)刻;t3為一級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)刻;t4為二級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)刻;t5為三級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)刻;φ1f為一級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)刻俯仰角;φ2f為二級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)刻俯仰角;θ為彈道傾角;k1為二級(jí)俯仰角變化率;k2為三級(jí)俯仰角變化率;

式中tm為攻角絕對(duì)值等于極值的時(shí)刻.

3 計(jì)算方法

3.1 諸元解析預(yù)報(bào)

發(fā)射方位角是彈道導(dǎo)彈的重要射擊諸元，通常根據(jù)發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的位置信息，以球面方位角為初值，進(jìn)行迭代搜索發(fā)射方位角.本文用球面方位角確定發(fā)射坐標(biāo)系，選取偏航角來(lái)修正彈道，克服地球旋轉(zhuǎn)帶來(lái)的橫向偏差.

對(duì)于參數(shù)已定的多級(jí)導(dǎo)彈，采用文中的數(shù)學(xué)模型和飛行方案，選取不同的發(fā)射點(diǎn)地理緯度B0、球面方位角A0、轉(zhuǎn)彎段最大負(fù)攻角絕對(duì)值αm、二級(jí)等俯仰角速率k1，三級(jí)等俯仰角速率k2，常值偏航角ψ等物理量，進(jìn)行開(kāi)環(huán)仿真計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的彈道頂點(diǎn)高度H與射程角β.挑選滿足約束條件的彈道并存儲(chǔ)相應(yīng)的諸元參數(shù)于數(shù)據(jù)庫(kù)中，利用線性回歸技術(shù)得到攻擊信息與諸元之間的關(guān)系式.機(jī)動(dòng)發(fā)射情況下，能夠利用解析關(guān)系式迅速獲得滿足約束的諸元近似值.通過(guò)研究諸元與H、β的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)用二次多項(xiàng)式擬合各參數(shù)之間的關(guān)系能夠達(dá)到較理想結(jié)果.

本文以民兵三導(dǎo)彈為例，其具體參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 民兵3導(dǎo)彈參數(shù)

以式(1)及如下的式(2)～式(4)為約束條件，按照下列方式建立數(shù)據(jù)庫(kù):球面方位角、緯度間隔選取10°;轉(zhuǎn)彎段負(fù)攻角極值間隔選取1°;二、三級(jí)俯仰角變化率間隔選取0.005.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可以得到:

分析以上各式，不難發(fā)現(xiàn):諸元與發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)的位置沒(méi)有直接關(guān)系，只與發(fā)射點(diǎn)地理緯度、發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間的射程、發(fā)射方位角有關(guān).因此，以上解析表達(dá)式能夠使民兵三導(dǎo)彈大范圍內(nèi)機(jī)動(dòng)快速發(fā)射，或者快速打擊射程范圍內(nèi)的任意目標(biāo).對(duì)于其他機(jī)動(dòng)發(fā)射的彈道導(dǎo)彈，可以采用本方法，建立數(shù)據(jù)庫(kù)，然后利用線性回歸技術(shù)處理數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)，得到諸元與攻擊信息之間的表達(dá)式，在變點(diǎn)發(fā)射時(shí)，能夠快速獲得諸元概略值.

3.2 諸元數(shù)值尋優(yōu)

當(dāng)發(fā)射點(diǎn)為O(λo，Bo)、目標(biāo)點(diǎn)為T(mén)(λT，BT)，發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)的地心緯度可用下式計(jì)算:

式中:φ為地表一點(diǎn)的地心緯度;B為該點(diǎn)的地理緯度;a、b分別為地球的長(zhǎng)半軸和短半軸.

O、T兩點(diǎn)地心角和球面方位角能夠通過(guò)球面三角關(guān)系得到:

因?yàn)檫h(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的射程不超過(guò)20 000 km，所以β在I、II象限內(nèi)取值，A0在4個(gè)象限內(nèi)取值，故β、A0的計(jì)算公式為

式中:sgn為符號(hào)函數(shù);as代表 arcsin;ac代表arccos.

設(shè)定期望的彈道高度，利用式(6)～(12)可得一組初值，然后選取參數(shù)X=［αmk1k2ψ］T為變量，以

的值等于零為目標(biāo)函數(shù).最終以數(shù)值方法對(duì)參數(shù)尋優(yōu).式中 G(X)= ［ΔL Δz ΔH］T.ΔL為縱向偏差;Δz為橫向偏差，即r在oz軸投影;ΔH彈道高度與期望高度偏差.

由解非線性最小二乘問(wèn)題的L-M方法可得到［19］:

其中:i=0，1，…;I為4階單位陣;λi為加權(quán)系數(shù)，且0 ＜ λi＜1.

全局收斂的L-M方法計(jì)算步驟如下:

步驟1 取 ρ，σ ∈ (0，1)和 λi＞ 0，X0∈R4×n，置 i=0;

步驟2 若G(Xi)=0，停止計(jì)算;

步驟3 求解方程組(A+λiI)di=－B得到di;

步驟4 由Armijo搜索求步長(zhǎng)，令τi是滿足下面不等式的最小非負(fù)整數(shù)τ:

令 τI= ρτ，置 Xi+1=Xi+ εidi+1，i=i+1.

步驟5 目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為0，可以按式λi= ‖G(Xi)‖1+σ，σ ∈［0，1］更新 λk的值，轉(zhuǎn)步驟2.

4 仿真分析

4.1 仿真條件

以民兵三導(dǎo)彈為例，選擇三級(jí)固體彈道導(dǎo)彈，其起飛重量為34 500，彈長(zhǎng)為18.26 m，其他重要參數(shù)如表1所示.

4.2 仿真結(jié)果及分析

設(shè)置四組仿真場(chǎng)景，其中發(fā)射點(diǎn)O和目標(biāo)點(diǎn)T，發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)高程Ho、HT，期望彈道頂點(diǎn)高度H.利用多項(xiàng)式逼近的結(jié)果、以多項(xiàng)式結(jié)果為初值，式(10)為性能指標(biāo)，利用如表2所示的攻擊參數(shù)進(jìn)行L-M迭代，結(jié)果如表3所示.

表2 攻擊參數(shù)列表

表3 不同特征分類(lèi)結(jié)果比較

由表2可知，第一組和第二組為相同發(fā)射點(diǎn)攻擊不同目標(biāo)，第二組和第三組是不同發(fā)射點(diǎn)攻擊相同目標(biāo)，第三組和第四組是相同發(fā)射點(diǎn)、相同目標(biāo)點(diǎn)、不同飛行高度，第一組和第三組為不同發(fā)射點(diǎn)、不同目標(biāo)點(diǎn).

對(duì)比表3的結(jié)果，文中方法能夠解決導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)發(fā)射情況下彈道諸元快速計(jì)算問(wèn)題.如果在不追求精度的情況下，可以采用本文的擬合函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到的解析表達(dá)式能夠使落點(diǎn)達(dá)到精度5 km以內(nèi);若希望得到精確的彈道參數(shù)，則可以擬合公式的解為初值，利用L-M方法進(jìn)行4～6次迭代計(jì)算即可.

以第一組場(chǎng)景為例，給出本文方法得到的仿真曲線，如圖1～圖2所示.由圖1可知，導(dǎo)彈能夠準(zhǔn)確擊中目標(biāo);由圖2可知，彈道頂點(diǎn)高度與期望高度一致.

圖1 縱向射面內(nèi)曲線

圖2 速度和高度曲線

5 結(jié)論

本文基于解析預(yù)報(bào)與參數(shù)優(yōu)化，對(duì)三級(jí)固體彈道導(dǎo)彈飛行方案的諸元進(jìn)行了快速設(shè)計(jì).利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合了諸元與彈道的方位角、緯度、彈道頂點(diǎn)高度、射程等參數(shù)的函數(shù)關(guān)系;對(duì)于任意的發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)和期望的頂點(diǎn)高度，利用這個(gè)函數(shù)關(guān)系可以迅速得到諸元的近似值;以彈道諸元為變量，以縱向偏差、橫向偏差、及頂點(diǎn)高度偏差的平方和極小為指標(biāo)，用L-M方法可以得到諸元的精確值，文中將近似值、L-M方法的解進(jìn)行了對(duì)比分析.本文的結(jié)論如下:

1)用多項(xiàng)式對(duì)彈道參數(shù)和導(dǎo)彈攻擊參數(shù)進(jìn)行擬合，能夠得到近似解，在落點(diǎn)精度要求不高的情況下，可以用此解直接作為彈道飛行方案諸元的值，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)平臺(tái)發(fā)射的三級(jí)彈道導(dǎo)彈飛行方案參數(shù)快速選取.

2)多項(xiàng)式擬合的方法，即函數(shù)逼近的方法，大量應(yīng)用于彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文以逼近函數(shù)的解為初值，利用L-M方法迭代尋優(yōu)，節(jié)省大量計(jì)算，適合快速計(jì)算.

3)本文雖然是針對(duì)三級(jí)固體彈道導(dǎo)彈進(jìn)行研究，但本文的方法具有通用性，適合多級(jí)固體或液體彈道導(dǎo)彈飛行方案設(shè)計(jì).

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A rapid method for flight program design of the ballistic missile launched on mobile platform

WEI Wen-shu，JING Wu-xing，GAO Chang-sheng

(Dept.of Aerospace Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

Combining analytical prediction and optimization of parameters，a rapid method for basic firing data of flight program of the ballistic missile launched on mobile platform is studied.First，the analytical expressions between the parameters about flight program and attack information are obtained by using polynomial function approximation，by which the initial value of the firing data can be calculated.Second，considering the parameters of flight program as variables and the least square of the placement＇s aberration as the performance index，the Levenberg-Marquardt(L-M)Method is used to obtain the optimal values.Finally，as an example，the proposed method is provided to attacking targets with the LMG-30G.The simulation results show that，because of the less computational effort，the proposed method is suitable for the rapid design of the Big Wide Intratheater Mobility for the missile.When the precision of the placement is not highly demanded，the solution of analytical expressions can be used directly as the value of flight parameters to attack the target.

analytical prediction;launched on mobile platform;Levenberg-Marquardt method;the multi-stage ballistic missile;polynomial function approximation

V412

A

0367－6234(2012)11－0007－06

2011－12－05.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172077).

韋文書(shū)(1987—)，男，博士研究生;

荊武興(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

韋文書(shū)，weiwenshu11@hotmail.com.

(編輯 張 宏)