VL型伸縮式等速萬向節運動分析與仿真

齊朝暉，王剛，張志剛

(大連理工大學 工業裝備與結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

VL型伸縮式等速萬向節自發明以來，許多學者對其做了大量系統、深入的研究。文獻[1]描述了不同類型等速萬向節的形式。文獻[2]研究了VL型伸縮式等速萬向節的溝道在運動過程中的空間幾何關系。文獻[3]在靜態情況下做了VL型伸縮式等速萬向節的接觸應力分析。文獻[4]建立了固定端球籠式等速萬向節的運動學模型。文獻[5]利用ADAMS仿真軟件，建立了萬向節的運動學模型。文獻[6]利用ADAMS的接觸分析模塊，對萬向節進行了接觸力學分析。文獻[7]利用ADAMS仿真軟件建立了萬向節的動力學模型，與試驗結果進行了比較。文獻[8]利用CATIA和ADAMS仿真軟件平臺，對等速萬向節進行了多體系統動力學仿真分析。文獻[9]從幾何結構上研究了軸向移動式萬向節的等速性原理。文獻[10-12]研究了萬向節形成軸間角的原理以及溝道傾斜角對軸間角的影響。

文中運用剛體運動學相關理論，給出了萬向節零件的相對運動規律和每個鋼球球心在溝道約束下的運動學微分方程。利用所得結果，分析了星形套相對筒形殼軸向移動和轉動的規律以及每個鋼球球心的運動規律。最后，數值仿真結果驗證了所提方法的正確性。

1 鋼球球心運動學方程

如圖1所示，VL型伸縮式等速萬向節由筒形殼、鋼球、保持架以及星形套組成，筒形殼和星形套上分別有6條交叉溝道，6個鋼球在交叉溝道內運動。為了便于描述溝道，定義鋼球球心在溝道內走過的軌跡為相應的溝道曲率中心曲線。星形套在筒形殼內既可沿軸向移動也可小幅轉動。

圖1 VL型等速萬向節及其連體坐標系

圖2 VI型等速萬向節全局坐標系

(1)

筒形殼繞旋轉軸(輸出軸g3)轉過θ2角后，筒形殼上連體坐標系的單位矢量可以用全局坐標系單位矢量表示為

(2)

(3)

式中：ε為溝道曲率中心曲線傾斜參數；角標i表示第i條溝道，i=1,…,6。

圖3 展開后星形套上的溝道曲率中心曲線

同理，筒形殼第i條溝道曲率中心曲線展開后也為一條斜線，該斜線與所在矩形面豎直線的夾角為

(4)

(5)

同理，位于筒形殼上第i條溝道內的鋼球球心在全局坐標系下的矢徑為

(6)

(7)

(8)

cos ?i=0，

(9)

由(7)～(8)式可得

(10)

同理，利用第i+1對內、外溝道曲率中心曲線相交條件，則有

(11)

(12)

由此可得：星形套轉動中心與幾何中心之間的距離與其到筒形殼幾何中心的距離相等。

從而由(8)式可得

(13)

只要(12)～(13)式成立，描述任意一對溝道曲率中心曲線相交條件的(7)～(8)式也自然滿足，說明(12)～(13)式為VL型伸縮式等速萬向節的共性。在此基礎上，(9)式可以簡化為

(14)

(14)式描述了鋼球球心在溝道內的具體位置，一般情況下其解是存在的，說明鋼球球心在內、外溝道內的運動軌跡曲線是相交的。但是如果6個交點不在同一平面內，則星形套不能相對于筒形殼轉動。

第i對內、外溝道曲率中心曲線交點相對于星形套轉動中心的矢徑為

(15)

筒形殼幾何中心到星形套幾何中心的矢徑為

(16)

二者的點乘為

(17)

將(14)式代入(17)式可得

ri·n=0。

(18)

由于(18)式對6對溝道皆成立，說明每對溝道曲率中心曲線交點都位于一個過星形套轉動中心O并以n為法線(O0Oi矢量方向)的平面內，如圖2所示。

由于OO0=OOi，O0Oi中點C與O的連線也與n垂直，因而OC也在溝道曲率中心曲線交點所在平面內，即鋼球球心分布面平分輸入、輸出軸之間的夾角。由于鋼球球心同時在2個半徑相同的圓柱面上，則鋼球球心必然在它們之間的橢圓交線上。

以上分析說明，只要交叉溝道為滿足(3)～(4)式的螺旋溝道，輸入角與輸出角必然相等。值得說明的是：實際中為便于加工，螺旋溝道常常由直溝道代替。但文中分析表明：只有當軸向行程與筒形殼半徑相比較小時，這種近似才合理。

所有鋼球球心分布在一個以星形套轉動中心為中心的橢圓上，該橢圓所在平面平分輸入、輸出軸夾角；鋼球球心沿內、外溝道移動量相等，方向相反。

如果分析鋼球球心的運動速度，需對(14)式求時間的導數，從而得到相應的速度方程為

(19)

2 仿真系統

利用以上分析結果，自主開發了VL型伸縮式等速萬向節運動分析軟件。該軟件可對VL型伸縮式等速萬向節各個零件進行參數化建模，通過求解鋼球球心運動學微分方程，可以得到鋼球球心在空間的位置。該軟件可以動畫顯示萬向節各個零件及其組合的運動，使得設計人員可以詳細觀察鋼球與星形套、保持架以及筒形殼之間的相對運動，檢查和分析各零件運動的相容性，尤其是鋼球與內、外溝道的接觸。

圖4為通過參數化建模所得的筒形殼的三維數字化模型以及組裝后的萬向節數字化模型。

圖4 參數化建模

圖5為鋼球相對于筒形殼和保持架運動的動畫仿真截圖。動畫仿真可在同一窗口內顯示萬向節任意零件及其組合的運動。如果溝道設計和各零件尺寸不協調，這些問題就會在動畫顯示過程中被發現，通常表現為某個鋼球侵入或偏離溝道。

圖5 鋼球運動的動畫仿真

3 數值算例

選取鋼球直徑為20 mm的VL型伸縮式等速萬向節進行算例分析，由文獻[13]查得其主要參數，見表1。設輸入軸以1 rad/s勻速轉動，軸間角由0°經過5 s勻速變化到15°后保持不變，在此期間星形套沿軸向勻速移動15 mm，利用上述方法對萬向節各零件運動進行仿真，仿真時間為20 s。

所有鋼球都位于萬向節的溝道中，從筒形殼軸向看，所有鋼球球心都位于一個圓弧上。在全局坐標系下(圖2)，鋼球球心g1和g2方向位移始終呈周期性變化。但是由于軸間角和軸向位移，鋼球球心g3方向的位移是不規律變化的。選擇初始時刻球心位于g1軸正方向的鋼球為1號并逆時針編號，如圖2所示。為了清晰的比較又不至于曲線過多，選取了部分鋼球球心g3方向的位移曲線，如圖6所示。

表1 萬向節主要尺寸參數

圖6 鋼球球心軸向位移

前5 s時間內，由于軸間角和軸向位移都是由0逐漸增大的，所以鋼球球心g3方向位移是非穩定的。當軸間角穩定且無軸向移動后，鋼球球心沿軸向的位移開始呈周期性變化，且均值即為最大軸向移動量的一半(7.5 mm)。這也驗證了所有鋼球球心的轉動中心是星形套幾何中心和筒形殼幾何中心連線的中點，可為筒形殼和星形套軸向尺寸的設計提供參考。

圖7為各鋼球球心在溝道中的弧線位移，由圖可見：鋼球球心相對內、外溝道的位移大小相等，方向相反。前5 s內，由于軸間角和軸向位移都是變化的，鋼球在溝道內的弧線位移呈非周期性變化；當軸間角穩定且無軸向移動后，鋼球球心相對內、外溝道的位移均呈周期性變化。

圖7 鋼球球心相對內、外溝道位移

萬向節的溝道長度應保證鋼球始終在溝道內運動，同時筒形殼和星形套的寬度也要與之協調。因此，設計溝道時應保證鋼球沿溝道的最大位移小于溝道的長度。觀察圖7中各曲線的峰值就可以得到這些參數。

保持架的6個窗孔中心位于保持架中分面內的一個圓上。當星形套相對筒形殼沒有轉動和軸向移動時，它們分別與6個鋼球球心重合。由于鋼球的直徑與保持架窗孔的寬度相同，所以，星形套在筒形殼內運動的過程中，保持架中分面始終與鋼球球心分布面重合。

圖8為不同時刻6個鋼球球心的空間位置，由圖可見：6個鋼球的球心始終在同一平面內，該平面與g1g3平面的夾角為萬向節軸間角γ的一半，鋼球球心軌跡為該平面與筒形殼溝道曲率中心曲線所在圓柱面的交線。所以，軸間角為0時(t=0)，球心軌跡為一圓?。辉谳S間角不為0時(t=3,7 s)，鋼球球心的軌跡為一橢圓。該平面與g3軸的交點即為鋼球球心軌跡的中心。

圖8 鋼球球心軌跡

由于軸間角不為0時，鋼球球心分布在一個橢圓上，因而鋼球球心相對保持架窗孔存在徑向和周向擺動，如圖9所示。為避免鋼球脫離保持架，徑向擺動位移 Δri不能過大；為避免保持架窗孔與鋼球之間頻繁的摩擦產生接觸磨損，周向位移Δli的最大值應小于保持架窗孔長度。

選取部分鋼球球心的Δri，Δli進行分析。圖10為鋼球球心相對保持架窗孔中心的徑向位移Δri。

圖9 鋼球球心相對保持架窗孔中心的位移

圖10 鋼球球心相對保持架窗孔中心的徑向位移

在有軸向移動和軸間角變化的前5 s內，徑向位移Δri是非周期變化的；當軸間角和軸向位移穩定后才呈周期性變化，且周期與輸入軸轉動的周期相同，徑向最大位移值為0.30～0.35 mm。設計保持架厚度時，應參考這組數據。

圖11是鋼球球心相對保持架窗孔中心的周向位移Δli，由圖可見：在有軸向移動和軸間角變化的前5 s內，鋼球球心周向位移是非周期變化的；當軸間角和軸向位移穩定后也呈周期性變化，其變化周期與輸入軸轉動周期相同。周向最大位移值為3.0～3.5 mm，其與徑向位移相比幅值較大，在運動過程中兩個相鄰鋼球表現為時而靠近時而遠離，應該保證鋼球發生的最大周向位移小于保持架窗孔的長度。

圖11 鋼球球心相對保持架窗孔中心的周向位移

圖12為星形套相對筒形殼產生不同軸向位移時對應的1號鋼球球心相對于其所在保持架窗孔中心的周向位移。不同軸向位移下，軸間角均由0經過5 s勻速變化到15°后保持不變。

圖12 1號鋼球相對保持架窗孔中心的周向位移

從圖12中可見：星形套的軸向位移越大，鋼球球心相對于其所在保持架窗孔中心的周向位移也越大。因此，必須保證萬向節發生最大軸向位移時鋼球的周向位移小于保持架窗孔長度。由于周向位移較大，保持架窗孔的寬度應略大于鋼球直徑，這樣鋼球在相對保持架窗孔運動的過程中不至于接觸過緊而使摩擦力過大。

4 結論

(1) 鋼球所在溝道曲率中心曲線為半徑相同的圓柱面上的螺旋線；內、外溝道曲率中心曲線傾斜角大小相等，方向相反；內、外溝道中，相鄰溝道曲率中心曲線傾斜角大小相等，方向相反。

(2) 星形套轉動中心與星形套幾何中心之間的距離與其到筒形殼幾何中心的距離相等，星形套的轉動中心并不是筒形殼的幾何中心。鋼球球心始終分布在以星形套轉動中心為中心的橢圓上，橢圓所在平面平分輸入、輸出軸夾角。

(3) 鋼球球心沿星形套和筒形殼溝道的相對位移大小相等，方向相反，并以輸入軸的轉動周期變化。溝道長度需保證鋼球球心產生最大位移時仍位于溝道內。

(4) 星形套的軸向位移越大，鋼球球心沿保持架窗孔中心的周向位移也越大。因而保持架窗孔長度必須與萬向節最大軸向位移相匹配，由于窗孔長度不能無限增大，所以最大軸向位移又受保持架窗孔長度的限制。