一種碼片內多徑參數的最大似然估計算法

袁航劍 洪一帆 羅 武 蔣 偉

(北京大學信息科學技術學院區域光纖通信網與新型光通信系統國家重點實驗室 北京 100871)

1 引言

衛星移動通信信道是典型的多徑信道。多徑效應會導致接收信號產生衰落，也會引起碼間串擾，嚴重地損害通信的質量。碼分多址(Code Division Multiple Access, CDMA)是現在流行的通信技術，已經被許多系統采用[1,2]。碼分多址技術具有很好的抵抗多徑信道干擾的能力，它能夠很容易地分辨出時延超過一個碼片的多徑并通過 Rake接收技術合并多徑能量獲得信噪比增益[3]。衛星信道典型多徑時延擴展在100 ns量級[4]，對于一些CDMA系統有可能在一個碼片之內。例如CDMA2000 3X反向信道的擴頻序列速率為 3.68 Mcps，即碼片周期為 270 ns，移動衛星信道的多徑時延很有可能小于碼片周期。此時無法采用Rake接收技術，但在估計出多徑參數的情況下仍然可以采用最佳接收技術獲得更好的性能。衛星移動通信信道通常是兩徑信道[5]，本文主要研究兩徑時延在一個碼片內的多徑參數估計問題。

現有的碼片內多徑參數估計算法大致如下：粒子濾波[6]多徑分離性能好，但實現的復雜度較高。子空間分解算法[7]將接收信號分解為多個子空間，利用子空間之間的正交性來估計信道參數，優點是分辨率較高，但是實現的復雜度高。解卷積算法因具有噪聲放大作用而失效，為此文獻[8]對解卷積算法進行約束或者迭代處理以解決有脈沖成形情況下的參數估計問題。Pulse Subtraction算法[9]將多徑信號相關函數近似成不同復振幅與時延的參考脈沖的疊加，通過對相關函數減去特定的參考脈沖來消除多徑干擾。TK算法[10]通過 TK算符操作可以明顯區分出相關峰的位置，TK算法同樣適用于方波成形情況下的碼片內多徑參數估計問題。MEDLL算法[11]基于最大似然原理估計各徑信號的時延、復振幅，但運算過程中涉及到復雜的矩陣迭代運算，為此文獻[12]提出了簡化MEDLL算法。算法首先通過消除第1徑的影響來估計第2徑的時延和復振幅，再通過消除第2徑的影響來估計第1徑的時延和復振幅，如此迭代進行。但是簡化MEDLL算法迭代初始值存在一定的誤差，該誤差會導致算法不收斂，影響時延估計的性能。

本文提出基于最大似然的2維搜索算法，算法對兩徑時延進行2維搜索，同時對兩徑復振幅進行估計，通過使得目標似然函數最大化而找出最優的時延、復振幅估計值。提出基于最大似然原理的解相關復振幅估計算法結合時延2維搜索，該方案時延估計性能得到提高，但復振幅估計性能不理想。為此，又提出基于均方誤差(Mean Squared Error,MSE)準則的近似線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Squared Error, LMMSE)復振幅估計算法結合時延2維搜索，以提高復振幅估計性能。仿真證明采用近似的LMMSE多徑復振幅估計算法結合兩徑時延2維搜索在時延、復振幅估計方面都具有良好的性能。

2 最大似然2維搜索算法

本文主要考慮兩徑信道、且兩徑時延差在一個碼片附近情況下的參數估計問題。在 CDMA通信中，多徑的存在通常不會導致載波頻偏消除和偽隨機(Pseudo-Noise, PN)碼捕獲無法進行，而只是對同步的精度造成影響。在初始同步之后，如果進一步估計出多徑的參數可以提高解調性能。為簡單起見，此時需要估計的多徑參數包括兩徑的精確時延和復振幅，而不包括接收信號的頻偏。從最大似然估計的角度出發，需要對兩徑時延和復振幅聯合起來進行多維搜索再擇優判決，但這將導致搜索的次數過多，尤其是對復振幅的搜索更是嚴重地增加了算法的復雜度。因此本文考慮只對兩徑的時延在小范圍內進行2維搜索。在每一對兩徑時延的搜索值上，對兩徑復振幅進行估計，得到一些兩徑時延和復振幅的備選組合。最后通過計算這些備選組合的似然函數，挑選使似然函數最大化的一組兩徑時延和復振幅值作為估計值。對兩徑參數的估計，本文主要考慮利用碼分多址通信中的導頻信號來進行。

接收到的導頻信號可以表示如下：

式中h(t)發送濾波器的單位沖激響應，n是chip編號，τ1和τ2是第1、第2徑信號時延，φ1和φ2是第1、第2徑信號相位，α1(t)和α2(t)是兩徑衰落系數。cn是擴頻的偽隨機序列即PN 碼，Tc是chip持續時間。n(t)為加性復高斯白噪聲，噪聲功率譜密度為N0。

接收信號經過匹配濾波及與本地PN碼相關之后得到相關函數為

接收信號的對數似然函數為

最大似然2維搜索算法目標即是找到使得式(3)最大的A1,τ1,A2,τ2。考慮到PN碼的初始同步已經完成，即接收機已經搜索到相關峰所在位置，由于存在第2徑的影響，所以相關峰所在位置與第1徑的位置有誤差。但考慮到第1徑信號的平均功率大于第2徑，全局最大值與第1徑的位置的誤差不會很大。所以在相關峰所在位置附近的一個小范圍內搜索第1徑。對于每一個可能的第1徑時延，在其后的一定范圍內搜索第2徑。對每一組可能的第1、第2徑時延值組合，估計出第1、第2徑的復振幅，然后代入式(3)求出對數似然值。似然值最大所對應的一組時延、復振幅值即為最大似然估計值。

對于一組可能的第 1、第 2徑時延值組合，可以從最大似然原理出發求解第 1、第 2徑復振幅。基于最大似然原理可以推導出解相關運算估計兩徑復振幅。

2.1 解相關求第1、第2徑復振幅

考慮最大化式(3)，可以將式(3)對A1,A2求導得到

滿足式(4)的A1,A2的解即為兩徑復振幅最大似然估計值。對式(4)進行求解可得

式(5)即為解相關求解兩徑復振幅的公式。由式(5)可以看出，根據接收信號相關函數，以及第1、第2徑時延值，即可求出第1、第2徑的復振幅。

解相關運算求解兩徑復振幅是基于最大似然原理，目標是使得接收相關矩陣Y的估計誤差最小。但是在兩徑時延搜索間隔較小時，解相關矩陣R趨于奇異，導致復振幅估計值急劇增加而使復振幅偏離真實值，致使復振幅估計性能不理想。因此，可以考慮采用LMMSE準則來對A1,A2進行估計。

2.2 LMMSE算法估計第1、第2徑復振幅

分別將τ1,τ2代入式(2)可得

寫成矩陣形式

由式(7)可得A的LMMSE[13]估計值：

CAA,CN分別是信號和噪聲的協方差矩陣。P1,P2分別為第1、第2徑信號功率。這里考慮兩徑復振幅相互獨立。當對接收相關函數的采樣值在一個碼片之內時，N1,N2具有一定的相關性，這兒為了討論方便，假設N1,N2相互獨立。

由式(8)看出，它與式(5)只相差RΔ項，RΔ中只有N0/MTmP1,P1/P2為未知量。N0/MTm P1與接收信號解擴后的信噪比有關，經過初始同步后，接收端可以得到接收信號信噪比的粗估計值或者可能的范圍。實際應用的時候，根據估計得到的信噪比范圍，可對N0/MTm P1設置一個典型值。P1/P2為第1、第 2徑信號功率之比，對于實際情況可以考慮P1/P2的取值范圍在3～8 dB。當P1/P2較大時，第2徑對解調性能的影響可以忽略，這時也就無需對第2徑時延、復振幅進行估計。實際應用時，可以對P1/P2設置典型值，由此帶來的性能影響，下文仿真中可以看到。

通過對噪聲獨立性的近似，以及對信噪比及兩徑信號功率比取典型值，即可得到近似LMMSE復振幅估計算法。

2.3 最大似然2維搜索算法流程

上文講述了基于最大似然時延 2維搜索的思想，并且提出了兩種復振幅估計方法，具體的參數估計算法包含以下4個步驟：

(3)將第(2)步的時延值組合及相應的復振幅計算值代入式(3)計算出對應的似然值。

(4)似然值最大所對應的第1、第2徑時延、復振幅值組合即為兩徑時延、復振幅估計值。

3 仿真結果

在不同信噪比、兩徑時延差在0.25Tc～1.50Tc范圍內隨機分布情況下，對上述算法進行仿真。仿真條件為升余弦脈沖成形，滾降系數0.22, 64倍過采樣，擴頻比 255，累加樣本數M= 1 00。在最大似然2維搜索算法第(2)步中，仿真參數的取值如下：ΔT= 0 .25Tc,TS=Tc/64,P取 32，n取 16,q取96。

仿真信噪比Ec/N0的范圍為 - 2 2 ～-16 dB(Ec為chip能量)，接收信號經過解擴和多樣本累加之后的等效信噪比范圍為22 ～ 2 8 dB , LMMSE算法中設置典型值N0/MTmP1= 2 5 dB ，對應Ec/N0=-1 9 dB 。對于不同的第1、第2徑信號功率，LMMSE算法中設置典型值為P1/P2= 5 dB。

圖1，圖2為第1、第2徑功率徑差3 dB情況下解相關最大似然2維搜索、LMMSE最大似然2維搜索和簡化MEDLL算法3種算法時延、復振幅估計性能仿真結果。‘LMMSE-典型’表示LMMSE算法中兩徑信號功率差取典型值P1/P2= 5 dB，‘LMMSE-真實’表示LMMSE算法中兩徑信號功率取真實值P1/P2= 3 dB 。‘-1’表示第1徑估計性能，‘-2’表示第 2徑估計性能。幾種算法各自的第 1徑和第2徑復振幅估計性能相近，所以圖中各種算法復振幅估計性能都只畫了一條線。

可以看出兩徑信號功率比分別取典型值和實際值時，LMMSE最大似然2維搜索算法的時延、復振幅估計性能幾乎一致，且幅度性能都優于解相關最大似然2維搜索和簡化MEDLL算法。解相關最大似然2維搜索和LMMSE最大似然2維搜索算法的第1、第2徑時延估計性能相近，且第2徑的時延估計性能明顯優于簡化MEDLL算法。主要是因為簡化MEDLL算法迭代初始值存在一定的誤差，該誤差會導致算法不收斂，影響時延估計的性能。解相關最大似然2維搜索算法的復振幅估計性能不理想，主要是因為在兩徑時延2維搜索時，當兩徑時延較小時，解相關矩陣R趨于奇異，導致復振幅估計誤差變大，最終影響估計性能。

圖3、圖4為第1、第2徑功率徑差8 dB情況下的仿真結果。‘LMMSE-典型’表示兩徑信號功率取典型值P1/P2= 5 dB ，‘LMMSE-真實’表示兩徑信號功率取真實值P1/P2= 8 dB 。

同樣，兩徑信號功率比取典型值和實際值時，LMMSE最大似然2維搜索算法的時延、復振幅估計性能幾乎一致。解相關最大似然 2維搜索和LMMSE最大似然2維搜索算法的第1、第2徑時延估計性能相近，且第2徑的時延估計性能明顯優于簡化MEDLL算法。LMMSE最大似然2維搜索算法的幅度估計性能與簡化MEDLL算法相近，但都優于解相關最大似然2維搜索算法。

由以上仿真結果可以看出，解相關最大似然 2維搜索算法時延估計性能雖然得到改善，但是復振幅估計性能不理想。近似LMMSE算法中第1、第2徑功率比取典型值較真實值所帶來的估計性能損失不明顯，并且近似LMMSE算法克服了解相關算法復振幅估計性能不理想的缺點。

圖1 兩徑信號功率差3 dB，時延估計性能比較

圖2 兩徑信號功率差3 dB， 復振幅估計性能比較

圖3 兩徑功率差8 dB， 時延估計性能比較

圖4 兩徑功率差8 dB，復振幅估計性能比較

4 結束語

本文針對碼分多址衛星移動通信中道碼片內兩徑參數估計問題，提出了基于最大似然的2維搜索算法。算法對兩徑時延進行2維搜索，同時對兩徑復振幅進行估計。首先提出兩徑時延2維搜索結合解相關復振幅估計算法的方案，該方案時延估計性能得到提高，但復振幅估計性能不理想。然后又提出兩徑時延2維搜索結合采用近似LMMSE算法進行多徑復振幅估計的方案，仿真結果表明其時延、復振幅估計性能都比較理想。

[1]3GPP TS 25.211 v11.0.0. Physical channels and mapping of transport channels onto physical channels (FDD)[S].2011-2012.

[2]3GPP2 C.S0002-D v2.0. Physical layer standard for CDMA2000 spread spectrum systems[S]. 2005.

[3]Doukeli A P, Lioumpas A S, Karagiannidis G K,et al..Increasing the efficiency of RAKE receivers for ultrawideband applications[J].Wireless Personal Communication,2012, 62(3): 715-728.

[4]Lu Song-tao, Liu Tai, and Zheng Meng. A wideband space time statistical model for characterization of satellite communication channel in dense multipath environment[C].Proceedings of 71th Vehicular Technology Conference, Taipei,China, May 16-19, 2010: 1-5.

[5]Ibnkahla M, Rahman Q, Sulyman A,et al.. High-speed satellite mobile communications: technologies and challenges[J].Proceedings of the IEEE, 2004, 92(2): 312-339.

[6]Closas P, Fernandez-Prades C, and Fernandez-Rubio J A. A Bayesian approach to multipath mitigation in GNSS receivers[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2009, 3(4): 695-706.

[7]付龍飛, 張水蓮, 辛剛. 高精度多徑延時估計[J]. 電子技術應用, 2011, 37(8): 120-123.

Fu Long-fei, Zhang Shui-lian, and Xin Gang. Super-resolution estimation of multipath time-delays[J].Application of Electronic Technique, 2011, 37(8): 120-123.

[8]Lohan E S, Hamila R, Lakhzouri A,et al.. Highly efficient techniques for mitigating the effects of multipath propagation in DS-CDMA delay estimation[J].IEEE Transactions on Wireless Communication, 2005, 4(1): 149-162.

[9]Lohan E S and Renfors M. Feedforward approach for estimating the multipath delays in CDMA systems[C].Proceeding of Nordic Signal Processing Symposium,Kolmarden, Sweden, June 2000: 125-128.

[10]Shamsi K R, Yang Dong-kai, Siddiqui A A,et al..Experimental evaluation of Teager-Kaiser discriminator under multipath environment for GPS signal[C]. Proceedings of IEEE 6th Conference on Industrial Electronics and Applications, Beijing, China, June 21-23, 2011: 991-995.

[11]Van Nee R D J and Siereveld J. The multipath estimating delay locked loop: approaching theoretical accuracy limits[C].Proceeding of IEEE Position Location and Navigation Symposium, Las Vegas, NV, USA, Apr. 11-15, 1994:246-251.

[12]Van Nee R D J. Method of estimating a line of sight signal propagation time using a reduced multipath correlation function[P]. U.S. Patent, 5615232, 1997.

[13]Kay S M and Luo Peng-fei. Fundamentals of Statistical Signal Processing, Estimation Theory[M]. Fourth Edition,Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993: 315-316.