四元數域彩色圖像整體式水印算法

孫 菁 楊靜宇

①(南京信息工程大學濱江學院 南京 210044)

②(南京理工大學計算機科學與技術學院 南京 210094)

1 引言

數字水印(digital watermarking)技術作為數字媒體作品知識產權保護的一種有效手段得到了廣泛關注。目前大多數以靜止圖像為載體的水印算法都是針對灰度圖像的，現有的針對彩色圖像的水印算法，一般都是通過顏色模型轉換，將彩色圖像劃分為各獨立通道(RGB, HSV, YCbCr等等)，使用其中的某一通道(最常用的就是亮度通道[1]和藍色人眼視覺不敏感通道[2])來進行水印的嵌入；要么對上述方法稍微擴展，在組成彩色圖像的所有色彩通道中分別嵌入水印后再進行加成[3]。縱觀以上兩類方法，要么沒有完整利用彩色圖像所有信息，要么將彩色圖像信息分割開，不能體現彩色通道間的聯系，本質上都是灰度圖像處理方法的擴展。

由于彩色圖像的各色彩通道之間存在著強烈的光譜聯系，如果把一個彩色像素作為一個整體來處理，那么像素各色彩通道間的光譜聯系就會貫穿在對這個整體進行運算、處理的過程中。在對彩色圖像整體式處理方法的研究中，文獻[4]首先引入了四元數概念。四元數把三色空間上的彩色圖像視為一個矢量整體進行描述，在運算空間以及保留彩色圖像各通道間的相互關系上具有很大優勢。該數學模型最早由文獻[5]應用在了數字水印領域，文中使用已有的量化索引調制方法對四元數傅里葉變換(Quaternion Fourier Transform, QFT)在彩色圖像水印中的應用進行了嘗試，給出了四元數傅里葉變換最優參數。其后，文獻[6]根據四元數域元素的特點設計了視覺掩模，將水印隱藏到彩色圖像四元數傅里葉變換系數中，文獻[7]將水印隱藏到四元數傅里葉系數的實部，文獻[8]將水印隱藏到四元數傅里葉系數的幅值中，通過實驗驗證了相同嵌入容量下，四元數域算法確實具有比傳統亮度域算法更好的魯棒性。但是，由于基于四元數理論的彩色圖像水印技術在國內的研究尚處于起步階段，上述算法在設計中也難免存在一些疏漏，如對相同嵌入容量下，四元數域算法相對于傳統算法的不可見性并未進行論證，并且，也并未對一些安全性問題，如：誤檢測率、易偽造性等進行考證。針對這個情況，本文在前人研究基礎上，提出一種結合四元數變換域以及分解理論為一體的四元數頻域奇異值分解彩色圖像水印算法。首先對彩色載體圖像進行分塊四元數傅里葉變換得到其頻域矩陣，然后對頻域單位小塊進行四元數奇異值分解，根據分解得到四元數酉矩陣前若干列中對角線元素的幅值構造水印序列，將水印隱藏到分解得到的實系數奇異值中。仿真實驗表明，對彩色圖像采用四元數模型進行整體式奇異值分解并嵌入水印的方法的確比同樣步驟下單獨通道方法得到的水印圖像失真更小；并且通過在算法中增加奇異值分解過程，構造與奇異值酉矩陣相關的水印序列可以有效解決已有同類算法存在的誤檢測率問題。

2 彩色圖像的四元數相關理論

2.1 彩色圖像的四元數描述

四元數是復數在4維實空間的不可交換延伸，其理論體系早在19世紀40年代初由愛爾蘭數學家Hamilton創立，但在相當長的一段時間里沒有為人們所重視。直到1996年，英國科學家Todd, Ell和Sangwine提出了彩色圖像的四元數模型，四元數在彩色圖像上的應用研究開始發展。

一個四元數可以表示為

式中a0,a1,a2,a3為實數，i,j,k為虛數單位，i,j,k之間的聯系定義為

從上述定義可以看出，四元數的乘法不滿足交換律。

對于由RGB色彩模型表示的彩色圖像f，可以用實部為零的純虛四元數fq= Ri+ Gj+ Bk進行表示，其中R, G, B分別表示彩色圖像紅、綠、藍3種顏色分量的亮度值。

2.2 四元數傅里葉變換

四元數域的傅里葉變換因四元數乘法的非交換性而不能套用實數矩陣的常規方法來解決，Todd和Sangwine使用一種“平行(simplex)垂直(perplex)分解”變換法將待變換的四元數分解成平行于某個任意選定的單位純虛四元數μ1的復數分量A和垂直于μ1的二次復數分量Bμ2，將四元數傅里葉變換轉化為二次復數的傅里葉變換問題。求解公式如式(3)[9]：

計算四元數傅里葉逆變換需要按同樣的原理，先將四元數函數Fq(u,v)沿μ1分解成兩個二次復數：平行分量A′和垂直分量B′μ2，則逆變換有

式中，ICFT, IDFT分別表示復數和實數傅里葉逆變換。四元數傅里葉逆變換問題也轉變成實數離散傅里葉逆變換的代數運算。

2.3彩色圖像的四元數奇異值分解及其性質

2.3.1 四元數奇異值分解理論奇異值分解 SVD(Singular Value Decomposition)理論早在20世紀70年代首先提出，奇異值良好的穩定性使得該理論在灰度圖像處理中得到了廣泛的應用。近年來，將奇異值分解理論擴展到四元數領域得到的四元數奇異值分解 QSVD(Quaternion SVD)理論使得原本只適用于灰度圖像的奇異值分解技術可以推廣到彩色圖像中。

然而，由于四元數乘法的不可交換性，四元數矩陣的奇異值分解與實數矩陣不太一樣，文獻[10]對四元數奇異值分解進行了實踐探索，它認為對于任何n×n階四元數矩陣Qq，若矩陣的秩rank(Q)=r，則存在四元數酉矩陣Uq和Vq，使得Qq=UqΣ(Vq)H，其中Uq(Uq)H=Vq(Vq)H=I,Uq和Vq的列向量分別被稱為Qq的左右特征向量，而

且滿足σi∈R,|σ1|≥|σ2|≥ … ≥|σr|＞0。

2.3.2四元數奇異值分解的性質實系數矩陣奇異值分解理論在灰度圖像處理領域通常表現出如下性質：

(1)矩陣與奇異值之間的多對一性質。一個矩陣的奇異值是確定的，但不同矩陣可以有相同的奇異值。

(2)圖像的幾何和紋理信息都集中在奇異值分解得到的U,V矩陣中，而奇異值矩陣S則表示圖像的能量信息。

(3)對圖像質量起主要影響作用的是U,V矩陣前若干列和對角陣S的前若干個元素。

(4)U,V矩陣前若干列以及奇異值矩陣S的前若干個元素具有較強穩定性，對一些常見圖像處理表現出一定魯棒性。

(5)奇異值矩陣各元素間遵循從大到小降序排列的規律并且衰減很快。

在研究彩色圖像四元數奇異值分解性質中，我們還發現了幾點沒有經過公開討論的性質，列出于性質(6)，性質(7)。

(6)分解具有明顯特征的矩陣時，得到的U,V矩陣也具有一定特征。如圖像經傅里葉時頻變換后得到的頻率矩陣，低頻部分位于四角，高頻部分位于中心，對具有這樣特征的矩陣進行奇異值分解，得到的U,V矩陣也將具有一定規律：即U,V矩陣的高能量區域集中在圖像的主對角線和次對角線周邊區域內，而U,V矩陣的低能量區域集中在矩陣的第1行以及第1列(除去U(1,1),V(1,1))。圖1以Cafet圖像為例，顯示了這條規律。

(7)對于彩色圖像而言，性質(2)不成立。

證明如下：

式(5)成立的前提為：任意實數域矩陣A,B，存在(AB)'=B' A'。然而，對于四元數域上的任意矩陣Aq和Bq，等式(Aq Bq)'=Bq'Aq'不成立，證明如下。

圖1 Cafet圖像的傅里葉域奇異值矩陣幅值特性圖

這就說明彩色圖像能量不僅只和奇異值有關，還應當與四元數奇異值酉矩陣有關，四元數矩陣奇異值分解得到的左右四元數酉矩陣應當比在各獨立通道上進行實系數矩陣奇異值分解，然后再將各通道分解得到的矩陣合成后得到的多重實系數矩陣包含的信息更為復雜。可以進一步推論，如果僅改變彩色圖像奇異值，維持奇異值矩陣不變，四元數方法得到的圖像失真度應當小于多通道合成的方法。

2.3.3 奇異值水印算法分析利用奇異值分解在圖像中嵌入水印的策略是由Liu等人[11]較早提出，算法利用奇異值良好的穩定性獲得了抗攻擊性能非常優秀的魯棒水印圖像。

然而通過 2.3.2節對奇異值分解性質的分析不難發現，上述一類算法在利用奇異值良好穩定性的同時也引入不少缺陷，使算法安全性大大下降。

(1)嵌入水印時，沒有考慮到矩陣與奇異值之間的多對一性質即不同圖像的奇異值可能接近甚至相同的問題，提取水印時又僅在奇異值中展開，用到的信息并不能完全代表水印圖像本身，從而導致對隨機選取圖像的虛警率比較高；

(2)偽造水印圖像方便，安全性差。由于圖像信息主要集中在奇異值U,V矩陣和最大奇異值 S1中，且奇異值衰減很快，不同圖像的奇異值除前若干個外均比較接近，導致只要能夠獲得任意含水印圖像作品，就可以方便地將任意選取的圖像偽造成滿足一定不可見性和魯棒性的水印圖像；

(3)嵌入水印時，人為改變奇異值大小不會改變重構再分解后奇異值間的降序排列順序，這樣，在檢測水印時就需要原始圖像的參與，不能做到盲檢測。

文獻[12]，文獻[13]對缺陷(1)，缺陷(2)進行了比較詳細的實驗討論，然而，他們并沒有給出很好的解決方案，此后很多學者在文獻[11]研究基礎上提出了自己的基于奇異值分解的水印算法[14]，側重點還是在不可見性基礎上追求更高的魯棒性，上述問題并沒有得到很好的重視和解決。

3 彩色圖像四元數頻域奇異值分解水印算法

眾多奇異值分解水印算法存在的安全問題歸根到底還是因為算法僅用到了水印圖像的奇異值信息而沒有考慮對圖像影響占重要地位的U,V矩陣，本文以此為切入點，構造一個與原始彩色圖像QSVD分解得到四元數矩陣U,V有關的向量作為水印序列，在保證不可見性和魯棒性折中的前提下，有效地提高算法的安全性。

3.1 水印的嵌入

為了方便起見，我們假設原始載體圖像矩陣為方陣，對于長寬不等的非正方形圖像，本文算法同樣適用。

(1)將大小為M×M的原始載體彩色圖像按一定大小n分塊(為方便起見，n一般取為M的因子)，取得無重疊的N=(M/n)2個小塊；

(4)取出該塊中介于最大和最小位置之間連續k個奇異值作為嵌入位置以取得不可見性和魯棒性的折中；

(6)重復步驟(3)-步驟(5)修改完所有的分塊，對修改后的分塊進行四元數傅里葉反變換，將所有分塊合成后得到水印圖像。

3.2 水印的檢測

在這個步驟中，不需要原始載體圖像參與，可以視為一種盲檢測方法。需要提供原始圖像分塊奇異值對角陣Si, 1≤i≤N作為密鑰，步驟如下：

(1)對待檢測圖像按嵌入水印時的同樣大小分塊；

(2)依次取出每一個分塊，對其四元數傅里葉變換后接著進行四元數奇異值分解；

(4)按照嵌入時的位置取出該分塊分解得到的k個奇異值，提取密鑰Si中相應位置奇異值Sij，計算嵌入的水印。對所有分塊都進行同樣的操作，將N個順序連接起來，得到實際嵌入的水印序列W'；

(5)計算WUV和W'兩者的歸一化相關系數Corr；

(6)設置適當閾值T，當Corr＞T時判定為存在水印，否則判定為沒有水印。

4 實驗結果與分析

在仿真實驗中，首先選取 512×512大小的Avion, Lena和House 3幅彩色載體圖像來測試算法的不可見性和魯棒性。嵌入水印時使用到的參數如下：圖像分塊大小16×16，共取得N=(512/16)2=1024個小塊，每塊取其中的第2-第7個奇異值作為嵌入位置，即k=6, 2≤j≤7，主成份列X=2，全局能量調節系數γ取0.8，下面給出實驗結果和分析。

4.1 不可見性

我們在2.3.2節QSVD分解性質(7)中表明，對于彩色圖像水印, 維持奇異值矩陣不變，僅改變圖像奇異值大小，四元數方法得到的圖像失真度應當小于多通道合成的方法。圖2中實驗數據很好地說明了這一觀點，圖中獨立多通道方法指的是和本文算法具有相同嵌入步驟、嵌入容量，但使用獨立多通道來實現水印嵌入，最后將各通道結果合成的方法，圖中所列數字為傳統衡量圖像質量用到的PSNR值。

觀察兩種方法獲得的水印圖像，在使用相同的全局能量調節系數調節的情況下，都能滿足不可見性并且人眼視覺效果沒有太大差別。但是比較二者PSNR值，四元數方法高于多通道合成方法，說明了本文方法獲得的水印圖像的失真度確實比后一種方法要小。

4.2 魯棒性

一個良好的水印算法在滿足不可見性的同時，還必須滿足一定的魯棒性。表1給出了算法對幾種常見無意攻擊的檢測相關系數。

表1 攻擊-檢測相關系數表

可以看出，由于奇異值和奇異值酉矩陣的穩定性，算法對一些常見非同步無意攻擊的檢測相關系數值是較高的，但對剪切和旋轉等攻擊的魯棒性較差，這主要是因為在類似的幾何攻擊中，用于產生水印的U,V矩陣發生了比較大的變化。

4.3 誤檢率

最后比較本文算法與文獻[11](這里我們將文獻[11]的方法擴展到四元數域進行)以及文獻[6-8]算法的誤檢測率。實驗過程如下：首先，選擇圖像數據庫中任意一幅彩色圖像，分別使用本文算法和上述4種算法嵌入水印，然后在圖像數據庫中任意選擇若干幅大小相同，類型不同的無水印彩色圖像，使用上述幾種算法的提取水印過程依次對這些圖像進行提取水印操作，最后比較提取出的信息和嵌入水印之間的歸一化相關系數。為了保證嵌入能量相當，我們合理調整了算法中的嵌入強度系數，使得幾種方法得到的水印圖像的 PSNR值大致相當。以Avion彩色圖像為例，實驗結果如下：

圖2 水印圖像不可見性對比結果

表2 Avion水印圖像的檢測相關系數

5 結論

由于缺少彩色像素的整體處理方式，對彩色圖像水印的研究一直以來遵循灰度圖像處理方式，沒能很好地利用彩色圖像全部信息。而已有為數不多的四元數水印算法在設計上，過于強調魯棒性，缺少對不可見性、安全性的細致考慮，造成誤檢率高以及水印圖像易于偽造等現象。本文提出一種結合四元數變換域和分解方法的安全水印方法，主要研究工作包括：(1)首次提出并通過理論以及實驗數據證明對于彩色圖像水印，使用相同處理步驟嵌入相同容量的水印信號，四元數方法得到的水印圖像失真度要小于彩色圖像水印傳統方案中使用的多通道方法；(2)本文提出的四元數變換域結合奇異值分解的方法水印方案獲得了比一般變換域算法更好的安全性。算法首先采用四元數模型來表示彩色圖像像素，由于四元數傅里葉變換問題的解決，設計時將所有處理放在頻域進行，使得算法具有一切頻域水印算法的優點。接著通過構造一個與原始圖像QSVD分解得到四元數矩陣U,V有關的向量來作為水印序列，在檢測時將提取的水印和由水印圖像QSVD分解的四元數奇異值矩陣U',V'構成的水印序列進行相關計算，從而判定水印的歸屬，在增加水印與圖像相關程度的同時大大降低了對隨機選取圖像的虛警率，并且使得偽造水印圖像難以進行；(3)由于數字圖像的奇異值矩陣S和奇異值酉矩陣U,V對常見處理表現出優秀的穩定性，算法在檢測時用水印圖像 QSVD 分解的矩陣U',V'來替代原始圖像的U,V矩陣，從而實現了盲檢測。實驗驗證，本文算法確實在表現彩色像素、獲得失真更小的水印圖像方面優于傳統方法，在虛警率方面優于已有的四元數水印算法。基于四元數理論的彩色圖像處理技術在國內的研究尚處于起步階段，本文的工作對四元數在彩色圖像處理中的應用是很好的補充，為彩色圖像的版權保護提供了一種新方法。

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