基于多普勒頻率與距離數據融合的脫靶量參數估計

馮定偉 吳嗣亮 魏國華 王 旭

(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

1 引言

在導彈靶場試驗中，脫靶量的測量對于檢驗和評估導彈的性能起著關鍵性的作用[1,2]。在導彈與靶標交會過程段，導彈與靶標天線之間的多普勒頻率和距離這兩個觀測量隨時間變化的規律都由二者的相對運動速度、初始切向距離、標量脫靶量這三個脫靶量參數決定。測量系統只需要得到二者任意一個觀測量的測量數據，并依據給定的目標運動模型通過方程組求解或最小二乘方法就能估計出對應的脫靶量[1,3-7]。但是當由于導彈提前脫靶，距離盲區等因素導致測量數據較少，以及信號雜波、環境噪聲等因素導致觀測量測量誤差較大時，利用單一觀測量往往不能得到滿意的結果。

數據融合技術是指對獲得的若干多源觀測信息，在一定準則下加以分析、綜合，以完成所需的決策和評估任務而進行的信息處理技術，其在目標檢測、跟蹤、定位及參數估計等領域具有廣泛應用[8-10]。從信息論的角度來說，運動目標距離及多普勒頻率都包含了脫靶量參數的有效信息，將這兩種觀測量的測量數據進行融合處理，將會帶來參數估計性能的提高。脈沖多普勒、調頻連續波等多種體制的雷達都有條件得到目標的普勒頻率及距離信息[1,11-14]，這使得同時利用多普勒頻率與距離信息進行脫靶量參數估計成為可能。

本文將多普勒頻率與距離測量數據進行加權數據融合處理，在目標作勻速直線假設下，采用非線性尋優處理進行脫靶量參數估計，并利用參數估計CRLB的理論推導及數值計算方法對此方法相對于單一觀測量方法在參數估計性能上的改善進行證明。數據融合中加權參數依據多普勒頻率及距離數據的誤差協方差估計值進行選取，并通過蒙特卡羅仿真對所提方法進行了計算機仿真。

2 基于數據融合的脫靶量參數估計

2.1 基本原理

設無線電脫靶量設備固聯于靶標上，導彈相對靶標作速度為v的勻速運動。圖 1給出了設備與導彈之間的相對位置關系。其中，P0為起始觀測時刻t0導彈位置點，Ri,i=0,1,…,N-1為觀測時刻ti導彈與接收天線的距離，N為觀測點數，Ppca為導彈運動軌跡所在直線與接收天線中心點O的最近距離點(即脫靶點)，|P0Ppca|為初始切向距離L,|OPpca|為標量脫靶量r，脫靶量參數即指參數矢量ξ=[r,v,L]T。

圖1 導彈運動軌跡與雷達接收天線的位置關系

在勻速直線運動模型下，導彈到接收天線的距離及反射回波所產生的多普勒頻率可以分別表示為

其中λ為發射載波波長。假定距離及多普勒頻率測量誤差分別服從均方根誤差不同的零均值獨立高斯分布，則ti時刻對應測量值可分別表示為

對應觀測值為，給定加權系數矩陣W，即可建立代價函數：

根據式(4)，可通過求解如下非線性最小二乘估計問題，得到脫靶量參數估計值：

式(5)一般可以用非線性優化算法來求解。鑒于該優化函數的解析式已知，其梯度和二階導數矩陣很容易求取，故可選用具有二次收斂速度的變步長Newton法。同時，一個良好的優化初值不但能保證此優化迭代過程的全局收斂性，還能大大減少迭代次數，提高優化速度及準確性。系統觀測量的測量誤差協方差可以由具體的系統指標及使用環境給出，也可以通過參數估計方法得到，該文利用單一觀測量測量數據的參數優化結果對此觀測量進行誤差統計得出。

2.2 參數估計優化初值的求解

對多普勒頻率進行積分并離散化處理，通過整理[7]可得

將式(7)，式(8)聯合構成新的方程

式中

利用最小二乘算法求解式(9)即可得到參數θ的估計值：

2.3 測量數據噪聲協方差估計

由單一觀測量分別構建代價函數J1,J2：

并分別建立與式(5)類似的非線性最小二乘問題：

3 參數估計的CRLB

當距離與多普勒頻率提取誤差均服從零均值高斯分布時，非線性最小二乘優化估計方法得到的脫靶量參數估計值是無偏的，本文給出在無偏估計情況下參數估計的CRLB作為評價所提方法估計性能的理論依據。將兩組測量數據作誤差歸一化處理，得到聯合條件概率密度函數

參數ξ的Fisher信息矩陣I(ξ)可由下式給出：

其中 ?ξ(·)為函數·關于量ξ的梯度。于是得到參數估計CRLB的矩陣表示形式：

接下來進一步分析數據融合對參數估計性能的改善，即數據融合后能否使得如下表達式成立：

式(18)中兩個不等式具有對等性，不妨將第 1個不等式作為分析對象，此式等價于

式(16)中第1個信息矩陣公式可以寫為如下形式

參數估計CRLB是關于參數的較復雜非線性函數，很難從直觀上給出對應的估計性能，對參數估計性能的進一步分析主要從CRLB的數值計算方法入手。設載波波長λ為0.1 m，觀測數據提取時間間隔Δ為1.6 ms，導彈軌跡提取段取到使多普勒頻率約等于零處。設多普勒頻率及距離提取值滿足式(2)所示分布，圖2顯示了為160 Hz,σR為3 m條件下不同脫靶量參數對應數據融合后的 CRLB分布。從圖示可以看出：

(1)總體來看，在給定參數條件下標量脫靶量r的估計誤差較小，都在0.25 m的范圍內，且隨著參數L的增大而逐漸減小。同時，參數r的估計誤差在小脫靶量(r小于30 m左右)時隨著參數v的增大而減小，而在大脫靶量時隨著參數v的增大而增大。

(2)目標運動速度v的估計誤差浮動較大，但都在1 m/s的范圍內，精度也較高。同時看出，速度v的估計誤差隨著參數r及自身的增大都逐漸增大，而隨參數L增大逐漸減小。

(3)初始切向距離L的估計誤差總體較小，都在0.2 m范圍內。同時可以看出，L估計誤差隨3個參數的增大都是先增大再減小，但在較大參數范圍內這種變化幅度較小，相對穩定。

4 計算機仿真

本部分利用計算機仿真對所提出的參數優化初值估計方法的性能，測量數據噪聲協方差估計方法的性能，數據融合方法相對單一觀測量方法的性能以及相對參數估計CRLB的逼近程度這三個方面按照蒙特卡洛方法進行驗證。設定載波波長，數據提取時間間隔和提取截止位置都與CRLB數值計算的設置一致。仿真在理想的多普勒頻率及距離中加入滿足式(2)對應分布的噪聲作為相應的測量值，且每次仿真產生 500組獨立的相應觀測量提取序列樣本。

圖2 給定測量誤差對應數據加權融合后參數的CRLB

表1給出了σR,分別為3 m, 160 Hz條件下不同脫靶量真值對應的優化初值計算結果。參數L主要與系統的測量距離有關，此處給定其為固定值300 m。統計結果顯示：優化初值具有較高的估計精度，存在一定的系統誤差，但都較小，均方誤差(Mean Square Error, MSE)隨速度的增大呈一定的增大趨勢。進一步仿真得出，利用該優化初值進行后續的非線性迭代尋優可快速得到參數估計結果。

表1 優化初值的估計性能統計

表 2給出了脫靶量真值ξ為[30 m,300 m/s,300 m]T條件下不同及對應的估計結果。統計結果顯示：觀測量噪聲均方誤差的估計性能較高，且均方誤差與對應真值的比值都在 0.029左右，具有較高的相對誤差精度，這表明將此方法所得的估計結果用于后續的數據融合參數估計方法是可信的。

下面在脫靶量真值ξ為 [30 m,300 m/s,300 m]T條件下，對數據融合方法的性能分析從兩個方面進行仿真：一是固定σR考查參數估計性能隨的變化；二是固定考查參數估計性能隨σR的變化。圖3給出了參數估計在不同估計方法下的性能對比結果，其中，圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)中固定σR為3 m，圖3(d)，圖3(e)，圖3(f)中固定為200Hz。圖3給出了對應測量數據噪聲協方差的參數估計性能。圖示結果顯示：數據融合方法的參數估計性能接近或達到了參數估計的 CRLB；單一距離和多普勒頻率方法參數估計誤差曲線交叉處附近表示單一方法在此處達到了近似的參數估計性能，此范圍內融合方法的估計誤差相對單一方法而言具有較大的提高，在此基礎上數據融合方法的參數估計性能隨著某一觀測量測量誤差的增大而趨向于另一單一觀測量方法的參數估計性能。進一步仿真得出，當兩種單一觀測量參數估計精度差別達到 10倍左右時，估計性能較差的觀測量對數據融合的估計性能幾乎沒有改善。

表2 觀測量均方誤差的估計性能統計

5 結束語

本文針對脫靶量參數估計問題提出了一種基于多普勒頻率與距離加權數據融合的方法。建立了非線性加權最小二乘過程的代價函數，推導了所提方法參數估計的 CRLB，證明了該方法相對單一觀測量方法的性能改善，并從數值計算角度給出一定參數條件下該方法的參數估計性能。對該非線性加權最小二乘問題，給出了迭代優化估計初值及觀測量測量誤差協方差的估計值。仿真結果表明，本文方法達到了參數估計的 CRLB，且估計精度較單一觀測量方法有較大的改善。

圖3 數據融合方法與單一觀測量方法的參數估計結果比較

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