基于最小二乘法的高動態條件下抗頻偏的精確同步方法

王徐華 柏 鵬 李明陽 李寰宇 李孟達

(空軍工程大學綜合電子信息系統與電子對抗技術研究中心 西安 710051)

1 引言

隨著無線通信和網絡的不斷發展，對系統的精確同步要求越來越高，例如美國的 GPS(Global Position System)，我國的北斗定位系統，美軍的戰術瞄準網絡技術(Tactical Tatgeting Network Technology, TTNT)以及機間數據鏈(Intra Flight Data Link, IFDL)網絡技術等都對精確同步技術不斷提出新的要求，并且往往需要工作在高動態低信噪比的情況下。直接擴頻技術(Direct Sequence Spread Spectrum, DSSS)因其良好相關性和優良的抗噪聲能力而經常被用于通信系統的同步過程中，特別是在航空航天以及軍事通信領域通常應用直接擴頻信號來完成測距和定位工作[1,2]。無論是同步還是測距，偽碼(PN)序列的相位測量精度都是影響其性能的根本因素，因此很多文獻針對 PN序列的相位測量進行了大量研究[3-6]。例如，文獻[3]在時域內分析了頻偏對相位測量的影響，并提出了通過分段互相關的方法來提高系統的抗頻偏能力，但文章最終沒有提及系統精確同步的誤差范圍。文獻[4]利用快速傅里葉變換的方法，通過求參考信號與輸入信號相關譜的過程實現對DSSS信號PN碼相位的測量，這種方法效率很高而被廣為使用，然而該方法的缺陷是要想進一步提高相位測量的精度必須提高采樣頻率，這樣使FFT的點數增加，計算量增大，實現難度提高。文獻[5]用兩點線性內插法對參考信號與輸入信號相關譜中的最高峰和次高峰這兩個數據點進行處理以此來提高測量精度，但該算法實際應用起來精度依然不高。文獻[6]利用相關譜譜峰及其鄰近的兩個數據點確定二次插值多項式，然后求取插值多項式的極大值點以確定相關譜譜峰精確位置，這種方法提高DSSS信號PN碼相位的測量精度的效果不明顯，而且并沒有分析頻偏的影響，然而根據文獻[3]分析，該方法受頻偏影響會比較大，本文也通過仿真說明其不適用于高動態環境。文獻[7]提出了利用延遲鎖相環(Delay-Locked Loop,DLL)S型鑒相曲線中間部分的線性特點，采用最小二乘法得到精確偽碼相位差，該方法實現簡單，精度高，不失為一種良好的精確同步方法，但在其文章中同樣未考慮頻偏帶來的影響。文獻[8]定量分析了任意通道非理想特性對于偽碼測距零值的影響，并在軟件接收機上對分析結果進行了仿真驗證，但是沒有關于如何解決偽碼測距在高動態條件下遇到的問題。文獻[9]利用重采樣解決由于載波相位測量值不確定導致的算法復雜度增加問題的描述，但是并未涉及如何改善PN相位測量精度的問題。

在高動態條件，例如衛星通信，空天作戰等，同步精度會受到頻偏和碼率偏移的影響。本文綜合考慮了這兩個因素，提出了一種改進的基于最小二乘法的精確測量PN相位的方法，并通過理論推導和數值仿真驗證了該改進方法在高動態條件下的測量效果。

2 PN相位測量方法以及高動態條件下互相關函數的離散表達

2.1 最小二乘法的PN相位測量方法

文獻[7]提出利用最小二乘法來測量接收PN序列的相位的方法，其基本思想就是利用PN碼相關的對稱性，獲得鑒相曲線。如圖1和圖2所示。

圖1 理想條件下的相關曲線

圖2 理想條件下的鑒相曲線

鑒相曲線的數學表達式如下：

式中τ表示本地PN和接受PN的相位差，R(0)表示本地PN和接收PN完全同步的相關值，Tc為碼片周期。

在理想條件下，將本地偽碼分別左右移位N個采樣點，輸入鑒相單元，輸出鑒相誤差；如果鑒相器的 PN序列和輸入的 PN序列的相位差不超過±Tc/2，則這些輸出值必然組成一條直線，即圖 2中對應的-Tc/2＜τ＜Tc/2范圍的那段直線。將這些點 利用最小二乘法擬合該直線，設曲線的方程為=bx+a，那么在最小均方誤差準則下的最優估計為式(2)的表達形式[7,10]。

其中τ的單位是Ts。

2.2 高動態條件下PN序列的相關函數

高動態條件一般定義為通信載體具有較高的速度、加速度和加加速度。典型的高動態模型美國噴氣推進實驗室(Jet Propulsion Laboratory, JPL)在1988年的文獻[11]中給出，通常一次數據幀的傳輸時間相對較短，在此階段認為相對運動速度不變，因而一階動態條件更為常用[12]。然而在一階動態條件下由于碼率偏移和載波頻偏的影響，鑒相器曲線會發生變化，文獻[7]中的方法精度也必然會惡化。

本文把時間進行離散化，即進行了信號的采樣。設采樣率為fs，這樣相關函數的表達式可表示為

碼率的偏移轉化成關于相對運動的表達如下：

第一宇宙速度情況下，最大碼率偏移為2.6×10-5。因此在大多數情況下的應用，碼率偏移都可以限制在 10-4范圍之內。

3 頻偏因素以及抗頻偏方法

設發送信號為x(i)=C(i)，歸一化的殘留角頻率為 Δw=2πΔf/f, Δf為殘留偏差，fs為采樣頻率，并且假設載波初始相位為0，碼率為1,n(i)為信道噪聲，假設為一個高斯白噪聲。則接收信號為y(i)=C(i+δi-qTc)ejΔwt+n(i)。

則互相關曲線為

設

D(q)是鑒相值，是通過鑒相單元獲得的一個已知量，N是整數。而qTc即為要測的PN序列的初始相位。將接收到的PN序列左右各取N個采樣點，則其鑒相單元的鑒相值輸出值為表達式：

其中j={-N,-N+1,…,N}。

結合式(7)-式(10)可知相位的測量值將會包含頻率偏移項，測量的精度將受到頻偏的影響，并且這種影響隨時間的積累也會逐漸增大。為了盡可能地消除殘留頻偏的影響，本文提出了對每個接收到的數據點進行分段取模平方的方法，即對I, Q兩路信號進行分段相關平方相加，在分段區間內可認為多普勒頻率積累非常小，即認為每個樣點的載波偏移是一致的，以此相關表達式可以表示如下：

其中y'n(i/fs)=C(i/fs+δi/fs-qT+nMTcf s/Nc)+n(i/fs+nMTcf s/N),φn是第n段的相關起始位置的載波頻偏的相位。

然后進行分段取模相加

將式(14)代入式(10)可知測量值與頻率偏移無關，因而改進后的相關方式能很大程度上消除載波頻偏的影響。

4 系統的抗噪聲與抗干擾能力分析

將離散化后的相關過程等效為與本地偽隨機碼相乘累加的過程。設噪聲分量為n(i)，人為干擾分量J(i)，不同通信網干擾為sj(i)。

這樣可以將接收到的信號擴展為

把相關運算按分解過程進行，首先進行與本地偽隨機碼的相乘

這個過程實質上是擴頻通信的解擴過程。在這個過程中，噪聲分量的功率譜密度沒有發生變化，但是其有效寬度變窄。而人為干擾經過和本地偽隨機碼的相乘之后，功率譜被展寬，功率譜密度降低，經過相關濾波后可以顯著降低噪聲功率。而不同通信網之間的干擾，由于所用的偽隨機碼不相關，干擾信號與本地隨機碼相乘時可視為再一次被擴頻，在通信能量基本一致的情況下，這種干擾是可以被忽略的。可以將進入累加器的噪聲信號與干擾信號分別表示為

其中K是與調制方式相關的參數，對于PSK而言，K=0.903。而Gp是擴頻通信的處理增益，與相關的長度有關，設相關程度為H，則Gp≈3 log2H。

5 數值仿真與分析

設置參數，設碼元速率為 1，采樣率為 16,N=4 ，偽碼生成多項式為x10+x3+1 ，頻偏為Δw=0,δ=0，碼長為1023，將該方法與文獻[5]，文獻[6]以及文獻[7]的方法進行比較。設置的偽隨機碼的初始相位為(5/32)Tc，在不同信噪比條件下的測量誤差如表1所示。

表1 不同測量方法的測量誤差比較(單位：Ts)

從表1可以看出，在沒有載波頻偏和碼率偏移的情況下，文獻[5]，文獻[6]的測量方法性能基本一致，測量分辨率僅為1/2的采樣周期，而改進前后的二乘法測量分辨率能夠保持在 0.1個采樣周期左右，雖然隨著噪聲的增加，文獻[5]中的兩點線性內插及文獻[6]三點二次內插的方法測量性能沒有多大變化，而基于最小二乘法測量方法的測量精度相對會變差，但就從最終的測量性能而言，后者明顯優于前兩者。而且從硬件實現角度而言，假設經過取樣后的 PN序列的點的個數為L，則前兩種方法需要至少(3/2)Llog2L+L次復乘運算，以及 3Llog2L次復加運算，而改進前的基于最小二乘法的測量方法只需要L次乘法和L次加法運算，改進后的基于最小二乘法的測量方法需要2L/N+2L次乘法和2L次加法運算，這兩種算法復雜度相比前兩種方法非常低，更加有利于工程實現。

其他參數不變，頻偏設為 Δw=0.001,δ=0，信噪比為8 dB，整個碼長為1023，仿真結果如圖3和圖4。

從圖3可以看出，在沒有頻偏時，PN的譜相關特性非常好，但是一旦有了頻偏，那么譜相關特性嚴重惡化，前兩種方法測量精度就無法得到保證。

從圖4中可以得出，文獻[7]中的算法對頻偏也很敏感，由于頻偏影響，接收序列和本地序列已經不再具有良好的互相關特性，而本文中提出的改進算法能很好地消除頻偏的影響，所得的相關曲線、鑒相曲線和沒有頻偏時是一致的，這樣保證了最小二乘法的有效性。

圖3 譜相關特性曲線

圖4 改進前后的相關曲線與鑒相曲線

設置頻偏為 Δw=0.001，碼率偏移δ=0,10-6,10-5, 10-4，整個碼長為3069，即做了3次估計然后取均值，表2給出了在信噪比為0 dB時，不同的δ以及不同的接收PN序列初始相位條件下，運用改進后的最小二乘法的測量方法所得到的相位測量誤差結果，所用到的鑒相點數量為7個。

表2表明，隨著接收PN的相位偏移變大，測量誤差也隨之增大，PN相位偏移-1/4Tc時，算法惡化很多，這是由于所取的鑒相點擬合出的直線偏移零點過大，而該處的鑒相器曲線直線特性保持不好，均方誤差較大所致。同時，測量誤差也隨著碼率偏移的增加而稍有增加，這是由于碼率的偏移帶來了鑒相曲線零點的偏移所致，但在接收PN序列的初始相位不是很大的時候，算法依然能有足夠高的測量精度。

表3給出了在其他參數不變的情況下，接收的PN序列初始相位為1/16Tc時，不同δ和信噪比下的所得的相位測量誤差的數值仿真結果。

從表3可以得出信噪比的惡化帶來的相位測量誤差變化并不明顯，在信噪比為-24 dB時，算法也能保證測量誤差在1/6采樣周期左右，這和上節關于抗噪聲能力的分析結果是一致的。

6 結論

最小二乘法巧妙地應用了鑒相曲線中間部分的直線特性，用離散的點去擬合連續的直線，從而相位測量精度突破了系統采樣率的約束，獲得了很大的提升。在高動態條件下，如衛星通信，導彈，火箭，戰斗機等的遙測和通信領域，載波頻偏和碼率偏移成為制約測相精度不可忽略的兩個因素。本文通過分析并仿真了這兩個因素對最小二乘法測量PN相位方法的影響，證明了在碼長不是很長的一階動態條件下，最小二乘法受到的碼率偏移的影響不是很大，但是受載波頻偏的影響卻非常嚴重。之后提出一種改進的能夠有效抵抗頻偏的基于最小二乘法的測相方案，通過理論分析和數值仿真比較，說明該方法相比其他幾種方法不但精度很高，抗噪聲能力很強，并且受頻偏影響小，能滿足衛星通信以及其他軍事通信應用要求。因而該改進的相位測量方法具有很廣闊的應用前景。

表2 不同的δ與不同接收的PN序列初始相位下的測量誤差(單位：Ts)

表3 不同δ和信噪比下的相位測量誤差(單位：Ts)

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