基于改進不動點的多操縱面飛機重構控制分配

池程芝，章衛國，高亞奎，2，劉小雄，張競凱

（1.西北工業大學自動化學院，陜西西安 710072；2.中航工業西安飛機設計研究所總師辦，陜西西安 710089）

引言

在航空航天領域中，越來越多的飛行器由于多操縱面以及推力矢量技術的應用，具備了較多的氣動控制余度，飛行器操縱面的控制方式和組合方式也不再唯一［1］，這使得控制系統的設計難度和復雜性大大增加，但也給重構飛行控制帶來了冗余性。控制分配通過合理、有效地分配多種操縱面，使飛機能夠適應不同的飛行條件和完成不同的飛行任務，實現不同的飛行控制系統性能目標；同時在飛機操縱面發生故障的情況下，仍然能夠通過對剩余多操縱面的重新協調分配來實現控制飛機運動，保持飛機的正常動態性能，提高飛機對故障及損傷的魯棒性。該技術是解決冗余控制量最優分配的有效方法，已被廣泛應用于先進戰斗機、民用客機、導彈、航天器等領域［2］。

在控制分配的幾類方法［3］中，偽逆法具有計算量小和易于實現等優點，但沒有考慮操縱面的飽和（位置和速率）約束限制。近年來的研究熱點越來越集中于考慮操縱面飽和約束的情況［4-5］。不動點迭代是一種基于二次規劃的控制分配方法，在多操縱面飛機的控制分配問題中應用較多，且已取得了良好的效果［6-7］。但是，考慮到飛控系統對控制分配尤其是容錯重構控制分配算法的實時性要求，有必要對不動點迭代的快速改進方法進行研究。本文在不動點迭代過程中探索其沿最大梯度下降方向修正和偽逆法混合的策略，并將改進方法應用于多操縱面飛機的重構控制分配。最后通過仿真驗證，表明了該改進方法的快速性和有效性。

1 混合最大方向導數不動點迭代

本節首先對基本不動點和最大方向導數（Max Direction Derivative，MDD）不動點方法進行論述，進而闡述混合MDD不動點迭代方法及其收斂性。

1.1 基本不動點迭代方法

基于二次規劃的控制分配問題可描述為［3，6-7］:

設對任意的u=［u1，…，um］T∈Rm，滿足

式中，i=1，2，…，m；s（·）代表操縱面約束限制。則式（1）的二次規劃問題的解滿足以下不動點等式:

這樣，可得到不動點迭代格式為:

1.2 MDD不動點迭代方法

MDD不動點法的基本思想是對一組迭代點沿其中的最大梯度下降方向進行修正，以加快迭代的收斂速度。

定義 2:對于u0∈Rn，d∈Rn，函數f在點u0關于方向d的方向導數定義為:

用Df（u0；d）表示f在點u0關于方向d的方向導數。當f的一階偏導數連續可微時，方向導數可用下式計算:

由上面的定義可得，用于不動點迭代的f（u）在u點的梯度定義為:

式中，等式左側左上角的f表示不動點迭代；Δt為迭代步數的間隔，一般取為1。因此，f在迭代點u0關于方向d的方向導數可用下式計算:

因此，MDD即為

所對應的單位方向ei。

定義3:對于uk，uk+1∈Rn和單位向量ei，函數f在點uk+1關于方向ei的增量定義為:

在MDD不動點迭代算法中，將當前迭代點及其前一個迭代點在MDD上的迭代增量作最小二乘擬合，得到下一迭代點在該MDD上的估計迭代增量作為當前迭代點的更新迭代增量。那么，對于MDD不動點迭代（k≥1，k∈N），其算法步驟如下:

（1）取f（uk），f（uk+1）；

（3）計算 Δf（uk+1；em），Δf（uk；em）（k≥2，k∈N）并進行最小二乘擬合，得到當前迭代點uk+1估計的下一迭代點在em方向上的迭代增量Δ*f（uk+1；em）；

（4）更新f（uk+1）=f（uk+1）+Δ*f（uk+1；em）em；

（5）以uk+2=f（uk+1）作為新的迭代點，計算f（uk+2），f（uk+3）；

（6）若滿足k＜K（K∈N）且‖▽ff（uk+1）‖ ＞ξ（ξ＞0），重復步驟（1）～ （5）；否則，轉為基本不動點迭代算法。

需要注意，對于存在約束條件的控制分配問題，步驟（4）更新的f（uk+1）還應滿足其約束條件。

1.3 混合MDD不動點迭代方法

由于偽逆法具有計算量小和易于實現等優點。但是，其并沒有直接考慮到操縱面的飽和（位置和速率）約束限制，不能避免操縱面進入飽和。因此，考慮將偽逆法和MDD不動點法結合，在求解控制分配問題時，先用偽逆法求解，若結果在約束限制內，則采用偽逆法結果；若結果超出約束限制，則用MDD不動點法求解，這種混合MDD不動點迭代方法兼顧了兩種方法的優點。

1.4 混合MDD不動點迭代方法的收斂性

在討論混合MDD不動點迭代法的收斂性之前，先討論基本不動點迭代法的收斂性［7］。將控制分配問題變為標準的二次規劃問題，如下:

當代價函數為凸函數時，任意優化算法都應滿足庫恩-塔克（Kuhn－Tucker）［8］條件，基于二次規劃的優化算法也不例外。對于凸規劃，庫恩-塔克條件既是必要條件，也是充分條件。點u*是正定二次規劃問題的全局最優解的充要條件為u*為 Kuhn－Tucker點［8］。由文獻［9］可知，不動點等式（4）的解也是二次規劃問題（14）的唯一解，從而可以得出不動點迭代法可以精確求解二次規劃問題［10］。這也就說明了基本不動點迭代法的收斂性。

由此，設u*是該二次規劃控制分配問題的全局最優解。設基本不動點的迭代序列為{un}，則該數列收斂于u*。由上文給出的MDD不動點迭代設計步驟可知，該算法僅改變了不動點迭代序列{un}的有限項，因此不影響該序列的收斂性。進一步，由數列極限的唯一性可知，MDD不動點迭代序列也收斂于u*。由此，易知混合MDD不動點迭代序列也是收斂的。

2 仿真實例及分析

2.1 混合MDD不動點法的正常控制分配

采用ADMIRE模型進行仿真，仿真中所用主要數據如下:

操縱面定義如下:

其飽和約束限制如表1所示。

表1 操縱面的位置限制與速率限制

仿真中，在0.5 s輸入兩組虛擬階躍信號V1和V2。對兩組輸入信號進行基于偽逆法（PINV）、內點法（Interior Point，IP）、不動點（FXP）方法和混合MDDFXP方法的控制分配對比，每種方法各進行100次仿真，其各自平均運行時間如表2所示。

表2 不同方法的平均運行時間對比 （s）

從表2中可知，在兩組仿真中，混合MDDFXP均是除PINV方法外運行時間最少的方法，并且PINV方法的運行時間相比混合MDDFXP方法并沒有絕對的優勢。此外，在兩組仿真中，混合MDDFXP方法比FXP方法分別提高了12.46%和5.35%。限于篇幅，僅給出了V2輸入下的對比圖（見圖1），并且由于混合MDDFXP方法與FXP方法在分配輸出上是一樣的，所以僅給出了混合MDDFXP方法與其他方法的對比輸出。

圖1 V2輸入下不同控制分配方法的對比

由圖1可知，對于第2組虛擬輸入，混合MDDFXP方法的控制分配效果完全達到了期望的輸入；并且在PINV方法的控制分配輸出中，v1，v2和v3均存在著明顯的穩態誤差；尤其是PINV方法沒有考慮操縱面的飽和約束限制的致命缺點，更將限制其應用；此外，IP方法對于v1，v3的分配結果也存在些較小的穩態誤差。

以上分析說明了混合MDDFXP方法在控制分配中的可行性，相比基本FXP方法具有快速性。

2.2 基于混合MDD不動點法的故障重構控制

上文中已驗證了混合MDD不動點方法在正常控制分配問題中的有效性和快速性。下面，進一步研究該方法在多操縱面飛機故障情況下的重構控制分配效果。沿用文獻［11］中故障時的分配器設計，對右外升降副翼損傷50%的故障進行重構控制分配，在2 s設置相應故障，并在2.5 s進行重構，其仿真曲線如圖2所示。

圖2 右外升降副翼損傷50%重構前后仿真圖

由圖2可以看出，重構后的其他正常操縱面很好地補償了損傷的故障操縱面對輸出信號的影響，獲得了良好的控制分配效果，而且在1 s之內重構輸出即可跟蹤上正常輸出，這說明了該方法在重構控制分配中的有效性和快速性。

3 結束語

本文研究了一種基于改進不動點迭代的容錯控制分配方法，結合了偽逆法和MDD不動點法的優點，并應用于多操縱面飛機的重構控制分配。在正常和故障重構控制分配中，算法不僅考慮了操縱面的飽和約束限制，并且在運行時間上比基本的不動點算法更快速，適合應用于多操縱面飛機的故障重構控制分配。MDDFXP方法步驟（6）中的跳出條件對迭代速度的影響情況是進一步的研究方向。

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