放寬靜穩定性大型客機的LQR控制律設計

王一超，江駒，王新華，甄子洋，李欣

（南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京 210016）

引言

大型客機的研發對增強我國航空工業、科技實力具有重要的意義。相比波音、空客這樣的大公司，我國對于大型客機的研究尚屬于初步探索階段。從主動控制技術在航空領域應用以來，控制器的好壞對于客機性能和安全的影響越來越大［1］。為了實現客機成本的最優化，國外先進的大型客機都采用了放寬靜穩定性技術［2］，同時也設計了相應的控制律以恢復和改善系統的穩定性，如空客A340采用了C*內回路控制，波音公司的 B747采用了C*-U控制［3］。

近年來，現代控制理論中的多變量最優二次型（LQR）設計方法在MIMO系統中得到廣泛的應用，并在飛行控制系統中取得了成功的經驗［4］。該方法可以同時閉合所有的回路，保證最優的性能指標，并在工程上易于實現。實際的客機飛控系統不可能測量出所有的狀態，因此無法進行全狀態反饋，工程應用中可將傳感器能測出的狀態作為系統的輸出，采用輸出反饋線性二次型算法設計相應的控制律［5］，使得系統輸出跟蹤相應的指令。

本文以B707客機為研究對象，將法向過載信號引入到其縱向通道中，使用輸出反饋的LQR技術設計了客機的姿態回路，并給出了相應的仿真驗證。

1 客機建模與配平

文獻［3］公開了B707大型客機著陸進近階段的氣動導數和物理參數。在“平板大地假設”的前提下，使用 Matlab軟件中的工具 S-function建立B707客機在歐美坐標系下的六自由度數學模型。客機建模的核心工作就是根據氣動導數計算氣動力和氣動力矩，再利用相應的動力學微分方程計算狀態量的微分量，作為mdlDerivatives函數的輸出。由于S-function已經將各個功能模塊獨立封裝，各個模塊的接口也已經被系統所固定，所以當需要用到狀態量的微分量時，可以把該微分量用global定義為全局變量，直接輸出mdlDerivatives的計算值，避免反復計算。該微分量還要在mdlInitializeSizes函數中賦初值0，而且每個子函數內部在調用此變量前都要用global指明是全局變量。

非線性模型僅適用于數值計算，在設計控制器時，需要先求得客機在此階段的平衡點，并在平衡點附近對上述模型進行小擾動線性化，得到此平衡狀態的線性模型方程。假設客機的高度H=500 m，空速V=80 m/s，使用Matlab/Trim工具求得客機的一個配平點為:α=0.97°，γ= －3°，θ= －2.03°，nz=0.9994，δe= －9.84°，油門開合度δt=21%。

使用Matlab/Linmod工具對其線性化，并將縱向與橫側向解耦，得到客機縱向通道的狀態空間模型為:

式中，xlon=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz］T；Alon∈R5×5；Blon∈R5×2；ulon=［Δδe，Δδt］。

2 客機增穩控制方案

放寬靜穩定性客機相比于傳統客機，其氣動焦點與實際重心的距離減小，|Cmα|減小，系統的極點右移靠近虛軸，使得客機縱向的穩定性降低。而考慮到大型客機的安全性與舒適性，必須設計相應的增穩控制系統。在飛控系統中，將α與nz反饋到升降舵通道都能起到增穩的效果。但在工程實際中，迎角傳感器成本高、精度低、故障率高，而法向過載通過加速度計可以方便地測量得出，其計算方法為:

式中，az為機體z軸方向加速度；θ為客機俯仰角；L為加速度計安裝位置沿x軸方向相對于客機重心的距離。為了簡化客機模型，令L=0。代入式（1），nz的物理意義即為機體z軸方向氣動力和發動機推力的合力與重力分量的比值。

客機法向過載方程短周期線性方程可以近似地寫為:

令 Δδe=knΔnz+ΔU，U為內回路預制指令信號，代入式（3），可得:

圖1 C*構型框圖

C*信號定義為nz和q的混合信號［6］:

工程上可以通過C*信號的階躍響應來評判飛機內回路C*控制的合理性，C*響應的包線見文獻［2］。

3 輸出反饋線性二次跟蹤器設計

LQR設計方法相比于傳統的單通道經典控制方法，設計過程更加方便，能夠精確地達到指定的性能指標，對多輸入多輸出的飛控系統，能起到更好的解耦效果，在工程中也易于實現。本文以客機進近飛行階段為例，使用LQR方法實現第2節的增穩控制方案，同時設計出俯仰角保持與跟蹤控制系統。控制器框圖如圖2所示，客機縱向狀態空間模型見式（1）。

圖2 系統控制結構框圖

圖2中，Δθc，ΔVc分別為俯仰角與速度的增量指令；eθ，eV分別為俯仰角與速度的跟蹤誤差。舵機伺服特性和發動機傳遞函數分別簡化為:

實際系統中，不可能將所有的狀態量反饋，只能選擇合適的參量作為系統的輸出y進行反饋［5］。因為圖2的控制目的是使得跟蹤誤差eθ，eV→0，本文選擇y=［eθ，Δnz，Δq，eV］，這樣，就將輸出跟蹤的控制問題轉化為輸出調節器的問題。同時，配合狀態量的增廣、系統指令的前饋補償技術，將系統的模型轉換為式（7）所示的結構，這樣，才方便用線性二次型調節器方法設計反饋增益K。

式中，狀態量x=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz，Δδe，Δδt］T；控制輸入量u=［Δue，Δut］；指令輸入量r=［ΔVc，Δθc］；z=［ΔV，Δθ］。增廣后的系數矩陣為:

輸出反饋的控制律為:

將式（8）代入式（7），得到系統的閉環狀態方程為:

假設x穩態量為，x相對于穩態量的偏差量為，可得:

為了解決原系統的跟蹤問題，對偏差系統的調節器提出的性能指標必須反映原系統的設計目標，本文選取如下性能指標:

式中，S，Q，R都為非奇異正定或半正定陣；S為對被控量跟蹤誤差的加權陣，對應姿態回路的響應特性；R為對控制量的加權陣，對應控制能力的大小；Q為對內回路狀態Δnz和Δq的加權陣，對應短周期內回路響應特性的大小，選取Q=diag［0，0，k1，0，k2，0，0］。

假設存在對應的正定對稱陣P，則本系統的李雅普洛夫方程為:

選擇了恰當的加權陣后，使用Simplex算法［7］，就可以求出使性能指標J最小的反饋增益陣K。具體過程如下:選取輸出反饋的初始增益陣K0，初始增益K0的選擇可以通過經典控制方法加以確定；再根據李雅普洛夫方程式（13）求解出P，由P陣可以求出性能指標J；使用迭代的方法改變K陣，直至J最小。

4 仿真驗證與分析

以式（1）所示的客機縱向模型為對象，使用第3節所述的控制設計方法，選取加權矩陣為:V=diag［5，25］，S=diag［5，1000］，Q=diag［0，0，900，0，90，0，0］。通過經典控制根軌跡方法，設計出初始的反饋增益:

再使用Simplex算法，解得:

將設計結果在B707客機進近階段的非線性模型中仿真驗證。

4.1 內回路增穩效果驗證

由K陣知，C*內回路對升降舵偏量的控制為:

仿真得到C*響應曲線如圖3所示。C*響應落在了文獻［2］中C*包線的I區，為最佳響應區。

圖3 C*響應曲線

將式（14）中過載信號反饋去除，則C*內回路就變成了傳統的阻尼器，給內回路預置階躍指令，比較兩種內回路的過載響應仿真曲線如圖4所示。

圖4 內回路過載響應曲線

可以看出，C*內回路過載響應幅值小于阻尼器內回路，且符合適航標準中規定的－1.0≤nz≤2.5，說明了C*內回路增加了客機的靜穩定性，并且使得客機乘坐的舒適性得到了提高。

4.2 指令跟蹤效果驗證

客機平衡點處俯仰角θ0=－2.03°，速度V0=80 m/s。給定θ=0°，V=80 m/s的指令信號，非線性模型的仿真曲線如圖5所示。可以看出，過載和俯仰角速度均在8 s內達到穩態，動態過程迅速且無振蕩；速度變化很小；俯仰角響應曲線于10 s處進入穩態，仿真曲線無超調，基本無靜差。

圖5 給定姿態角、速度指令的非線性仿真

5 結束語

本文使用LQR方法設計了客機進近段的輸出反饋跟蹤器，實現了對放寬靜穩定性客機的增穩控制和姿態跟蹤控制。在非線性模型中的仿真結果表明，各個響應性能都達到了滿意的效果。該控制方法應用于MIMO系統，具有設計過程方便，易于解耦的特點，能夠達到確定的性能指標，并且在工程實際中有一定的應用價值。

［1］楊一棟.飛行綜合控制［M］.南京:南京航空航天大學出版社，2007.

［2］吳森堂，費玉華.飛行控制系統［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2005.

［3］魯道夫·布羅克豪斯.飛行控制［M］.北京:國防工業出版社，1999.

［4］胡壽松，王執銓，胡維禮.最優控制理論與系統［M］.北京:科學出版社，2005.

［5］張鋒.線性二次型最優控制問題的研究［D］.天津:天津大學，2009:15-40.

［6］Saussie D，Saydy L，Akhrif O.Longitudinal flight control design with handling quality requirements［J］.The Aeronautical Journal，2006，9:627-637.

［7］Nelder J A.A simplex method for function minimization［J］.The Computer Journal，1965，7:308-313.