基于指數(shù)時(shí)變滑模的再入飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

王亮，劉向東，盛永智，叢炳龍

（1.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)智能控制與決策重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

引言

對(duì)于再入飛行器來講，再入過程中飛行條件大范圍變化，各通道間耦合嚴(yán)重，存在各種不確定性擾動(dòng)以及飛行器的氣動(dòng)特性不能精確獲知，這些因素導(dǎo)致其姿態(tài)控制變得異常復(fù)雜［1］。為了抑制上述非線性、強(qiáng)耦合和不確定性的影響，為其設(shè)計(jì)高性能、強(qiáng)魯棒的姿態(tài)控制系統(tǒng)就顯得十分必要。

滑模變結(jié)構(gòu)作為一種非線性控制方法，當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面上時(shí)，對(duì)存在的匹配參數(shù)不確定性以及擾動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性［2］，因此在再入飛行器控制系統(tǒng)中有著廣泛應(yīng)用［3-4］。然而，當(dāng)采用普通滑模控制時(shí)，在到達(dá)段滑模控制并不具有魯棒性，容易受系統(tǒng)自身參數(shù)不確定性以及外部擾動(dòng)的影響。為了縮短甚至消除到達(dá)階段，文獻(xiàn)［5-6］提出了時(shí)變滑模的概念，以時(shí)變滑模面替代時(shí)不變滑模面，使滑模面在初始時(shí)刻就穿過系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以旋轉(zhuǎn)或者平移的方式隨時(shí)間趨近事先確定的時(shí)不變滑模面。

本文在考慮了模型參數(shù)不確定性以及外部擾動(dòng)情況下，針對(duì)再入飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題，在飛行器反饋線性化模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于指數(shù)時(shí)變滑模的全局魯棒控制器。最后，通過Matlab仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的再入飛行器姿態(tài)控制律的有效性。

1 問題描述

1.1 再入飛行器模型介紹

本文采用文獻(xiàn)［7］描述的面對(duì)稱無動(dòng)力再入飛行器模型，再入時(shí)主發(fā)動(dòng)機(jī)已關(guān)閉，僅靠氣動(dòng)舵面來提供操縱力和操縱力矩。

再入過程中采用BTT控制，側(cè)滑角β保持在零附近，因此 sinβ≈0，tanβ≈0，cosβ≈1。并根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的假設(shè)，得到簡(jiǎn)化的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

1.2 反饋線性化

首先，將式（1）、式（2）描述的再入飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)化為通用的MIMO非線性仿射系統(tǒng)的形式:

式中，x=［αβμωxωyωz］T為系統(tǒng)狀態(tài)變量；y=［y1y2y3］T=［αβμ］T為系統(tǒng)輸出變量；U=［u1u2u3］T=［MxMyMz］T為計(jì)算所得氣動(dòng)控制力矩。在得到所需的氣動(dòng)控制力矩后，舵面偏轉(zhuǎn)角指令可根據(jù)式（3）計(jì)算求得。

然后，應(yīng)用輸入輸出線性化理論［9］，計(jì)算出系統(tǒng)輸出相對(duì)于控制量的相對(duì)階都為2，則系統(tǒng)的總相對(duì)階為2+2+2=6，與系統(tǒng)的階數(shù)相同。所以此非線性系統(tǒng)可以完全線性化，閉環(huán)系統(tǒng)中不存在內(nèi)動(dòng)態(tài)。輸入輸出反饋線性化的計(jì)算結(jié)果如下:

式中，F(xiàn)（x），E（x）的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)［10］。

通過計(jì)算可得:det（E（x））=－1/（I*Izz）≠0，因此可知E（x）可逆。此時(shí)，選擇控制律形式為:

式中，v=［v1v2v3］T為輔助控制量。

將式（6）代入式（5）中，系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)可以寫為如下解耦的積分器形式:

式中，Ω =［αβμ］T。

進(jìn)一步，考慮再入飛行過程中可能存在的參數(shù)不確定性（包括轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和氣動(dòng)參數(shù)）以及外部擾動(dòng)情況，假設(shè)受擾情況下的系統(tǒng)模型表示為:

式中，f，gk為系統(tǒng)的標(biāo)稱部分；Δf，Δgk為系統(tǒng)中的不確定部分；為了簡(jiǎn)便省略了函數(shù)中的自變量x。考慮參數(shù)不確定性及擾動(dòng)后，經(jīng)反饋線性化的系統(tǒng)模型可表示為:

這里，用 Δv=［Δv1Δv2Δv3］T表示式（9）中的聚合擾動(dòng):

不失一般性，假設(shè)上述不確定性擾動(dòng)是有界的，即存在 Δv1max，Δv2max，Δv3max，使得 |Δv1|≤Δv1max，|Δv2|≤Δv2max，|Δv3|≤Δv3max成立。將控制量表達(dá)式（6）和聚合擾動(dòng)式（10）代入式（9），可將考慮了參數(shù)不確定性以及擾動(dòng)的再入飛行器反饋線性化系統(tǒng)表示為:

經(jīng)過上述反饋線性化過程后，便可根據(jù)式（11）進(jìn)行魯棒控制器的設(shè)計(jì)了。

1.3 控制目標(biāo)

本文主要考慮再入飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題，目標(biāo)為:在系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性及外部擾動(dòng)的情況下，通過控制舵面偏轉(zhuǎn)角［δeδaδr］T，實(shí)現(xiàn)對(duì)制導(dǎo)環(huán)給出的姿態(tài)指令Ωc=［αcβcμc］T的有效跟蹤。定義跟蹤誤差為:

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 指數(shù)時(shí)變滑模控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)建立的再入飛行器的線性化模型式（11），本節(jié)給出一種基于指數(shù)時(shí)變滑模的全局魯棒控制設(shè)計(jì)方法。首先，選擇指數(shù)時(shí)變滑模面形式為:

式中，S（t）=［sα（t）sβ（t）sμ（t）］T∈R3為滑模面函數(shù)向量；滑模面斜率 Λ =diag［λ1，λ2，λ3］∈R3×3；a∈R+決定了時(shí)變滑模面向普通滑模面的趨近速度（這里，不失一般性，令λ1=λ2=λ3=a=λ）；A∈R3為與系統(tǒng)狀態(tài)初值相關(guān)的參數(shù)矩陣。

基于時(shí)變滑模理論，系統(tǒng)狀態(tài)從初始時(shí)刻就要處于滑模面上，即滿足:S（0）=03×1。計(jì)算可得:

設(shè)計(jì)時(shí)變滑模控制器形式為:

式中，veq為針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計(jì)的等價(jià)控制，根據(jù)（t）=03×1計(jì)算可得；vsw= －ηsgn（S（t））是為了抵消系統(tǒng)中存在的不確定性而設(shè)計(jì)的切換控制。其中，sgn（S（t））=［sgn（sα）sgn（sβ）sgn（sμ）］T表示符號(hào)函數(shù)，η=diag［η1，η2，η3］∈R3×3為切換控制量增益，滿足:

定理1:對(duì)于式（11）描述的再入飛行器非線性模型，采用式（13）所示的指數(shù)時(shí)變滑模面和相應(yīng)的時(shí)變滑模控制律式（15），能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)從初始時(shí)刻就始終處于滑模面上，即對(duì)于?t∈［0，∞），S（t）≡0成立。

證明:

選擇正定Lyapunov函數(shù):

求其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并代入式（11）、式（13）、式（15）和式（16），推導(dǎo)過程如下:

故可知，?t∈［0，∞），V（t）≤V（0）=0 成立（時(shí)變滑模面式（13）使得系統(tǒng)軌跡從初始時(shí)刻就處于滑模面上，滿足S（0）=0，故有V（0）=0成立）；又由式（17）可知，V（t）≥0，故可推得V（t）≡0，這就意味著?t∈［0，∞），S（t）≡0。證畢。

注1:定理1揭示了時(shí)變滑模優(yōu)于普通滑模控制的特點(diǎn)，即完全消除了普通滑模的到達(dá)階段，使得系統(tǒng)從初始時(shí)刻就處于滑模面上，有效地保證了系統(tǒng)的全局魯棒性。

注2:抖振現(xiàn)象作為滑模變結(jié)構(gòu)控制的固有特性，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)給予特別注意。時(shí)變滑模控制由于初始時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)就處于滑模面上，所以抖振現(xiàn)象從初始時(shí)刻就存在。為了消除或者減弱抖振，這里，采用飽和函數(shù)sat（S（t））代替控制律式（15）中的符號(hào)函數(shù)，飽和函數(shù)的定義為:

式中，i=α，β，μ；φi為邊界層厚度。通過選擇合適的邊界層厚度能夠有效減弱抖振，但是，邊界層取值過大會(huì)引入穩(wěn)態(tài)誤差。因此，邊界層厚度選擇需在系統(tǒng)控制精度與抑制抖振之間作折衷選擇。

2.2 控制器參數(shù)選擇

前面2.1節(jié)給出了時(shí)變滑模控制器的設(shè)計(jì)過程，但控制器參數(shù)λ還沒有確定。本節(jié)通過引入誤差二次型性能指標(biāo)對(duì)參數(shù)λ的選擇進(jìn)行研究。

首先，選取誤差二次型性能指標(biāo)函數(shù)為:

式中，P，Q∈R3×3為對(duì)稱的權(quán)值矩陣。為了分析方便，取P=diag［p，p，p］，Q=I3×3。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，以某再入飛行器為例，建立六自由度仿真模型如圖1所示。

圖1 再入飛行器時(shí)變滑模控制結(jié)構(gòu)框圖

仿真中，取初始高度為30 km，速度2 km/s，姿態(tài)角初始值為［0 0 0］T，姿態(tài)角給定指令［αcβc μc］T=［6 sin（t+π/2）0 20 sin（t+π/2）］T。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律的魯棒性，考慮+30%的大氣密度拉偏，以及如下所示的高頻外部擾動(dòng)（直接施加于三軸的控制力矩上）:d=［100 sin（t）100 sin（t）100 sin（t）］T。

為了比較所設(shè)計(jì)指數(shù)時(shí)變滑模控制的性能，與文獻(xiàn)［4］中設(shè)計(jì)的普通滑模控制進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。指數(shù)時(shí)變滑模控制器參數(shù)選擇為:λ=4；切換增益選擇為:η=diag［2，2，3］；邊界層厚度選擇為φi=1/100；舵面偏轉(zhuǎn)角限制為±30°。仿真結(jié)果如圖2～圖8所示。

圖2 姿態(tài)角跟蹤曲線

圖3 姿態(tài)角速度曲線（時(shí)變滑模）

圖4 姿態(tài)角速度曲線（普通滑模）

從圖2的姿態(tài)角跟蹤曲線可以看出，在+30%大氣密度拉偏及高頻擾動(dòng)d同時(shí)存在的情況下，飛行器姿態(tài)角大約在1.5 s左右就能跟蹤到給定姿態(tài)角指令。普通滑模由于在到達(dá)階段非連續(xù)的切換控制起主要作用，姿態(tài)誤差迅速收斂，姿態(tài)角響應(yīng)速度比時(shí)變滑模更快，但相應(yīng)的姿態(tài)角速度變化也會(huì)更劇烈（見圖3、圖4），在開始階段的峰值明顯高于采用時(shí)變滑模時(shí)的姿態(tài)角速度，這時(shí)比較容易引起控制量飽和。

圖5、圖6分別給出了采用時(shí)變滑模和普通滑模控制時(shí)的舵面偏轉(zhuǎn)角曲線。從圖中可以看出，采用時(shí)變滑模控制時(shí)的舵面偏轉(zhuǎn)角曲線更平滑，而采用普通滑模控制時(shí)有明顯的跳變現(xiàn)象，引起舵偏變化不連續(xù)（如圖6中虛線框中所示）。

圖5 舵面偏轉(zhuǎn)角曲線（時(shí)變滑模）

圖6 舵面偏轉(zhuǎn)角曲線（普通滑模）

圖7、圖8給出了滑模面響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，時(shí)變滑模控制有效消除了采用普通滑模控制的到達(dá)段，從初始時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)就處于邊界層內(nèi)（φi=1/100），保證了全局魯棒性；而采用普通滑模控制時(shí)存在明顯的到達(dá)階段，在到達(dá)段不能保證系統(tǒng)的魯棒性能。

圖7 滑模面響應(yīng)曲線（時(shí)變滑模）

圖8 滑模面響應(yīng)曲線（普通滑模）

4 結(jié)束語

本文以某再入飛行器為例，考慮再入過程中可能遇到的外部擾動(dòng)及參數(shù)不確定性，在其不確定模型反饋線性化解耦的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種具有全局魯棒的指數(shù)時(shí)變滑模控制器。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的指數(shù)時(shí)變滑模姿態(tài)控制律有效地消除了普通滑模控制存在的到達(dá)段，使得系統(tǒng)軌跡從初始時(shí)刻就處于滑模面上，保證了系統(tǒng)對(duì)匹配參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的全局魯棒性。為了驗(yàn)證所提出的控制器的魯棒性，考慮了+30%的大氣密度拉偏和高頻外部擾動(dòng)情況，這些不確定因素的選擇可能具有一定的局限性，今后應(yīng)進(jìn)一步研究如何合理選取不確定性，以更加符合工程實(shí)際的需求。

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