基于指數時變滑模的再入飛行器控制系統設計

王亮，劉向東，盛永智，叢炳龍

（1.北京理工大學自動化學院，北京 100081；2.北京理工大學復雜系統智能控制與決策重點實驗室，北京 100081）

引言

對于再入飛行器來講，再入過程中飛行條件大范圍變化，各通道間耦合嚴重，存在各種不確定性擾動以及飛行器的氣動特性不能精確獲知，這些因素導致其姿態控制變得異常復雜［1］。為了抑制上述非線性、強耦合和不確定性的影響，為其設計高性能、強魯棒的姿態控制系統就顯得十分必要。

滑模變結構作為一種非線性控制方法，當系統處于滑模面上時，對存在的匹配參數不確定性以及擾動具有強魯棒性［2］，因此在再入飛行器控制系統中有著廣泛應用［3-4］。然而，當采用普通滑模控制時，在到達段滑模控制并不具有魯棒性，容易受系統自身參數不確定性以及外部擾動的影響。為了縮短甚至消除到達階段，文獻［5-6］提出了時變滑模的概念，以時變滑模面替代時不變滑模面，使滑模面在初始時刻就穿過系統的初始狀態，以旋轉或者平移的方式隨時間趨近事先確定的時不變滑模面。

本文在考慮了模型參數不確定性以及外部擾動情況下，針對再入飛行器姿態控制系統的設計問題，在飛行器反饋線性化模型的基礎上，設計了一種基于指數時變滑模的全局魯棒控制器。最后，通過Matlab仿真驗證了所設計的再入飛行器姿態控制律的有效性。

1 問題描述

1.1 再入飛行器模型介紹

本文采用文獻［7］描述的面對稱無動力再入飛行器模型，再入時主發動機已關閉，僅靠氣動舵面來提供操縱力和操縱力矩。

再入過程中采用BTT控制，側滑角β保持在零附近，因此 sinβ≈0，tanβ≈0，cosβ≈1。并根據文獻［7］中的假設，得到簡化的姿態運動學方程。繞質心轉動的運動學方程為:

繞質心轉動的動力學方程為:

1.2 反饋線性化

首先，將式（1）、式（2）描述的再入飛行器運動學方程轉化為通用的MIMO非線性仿射系統的形式:

式中，x=［αβμωxωyωz］T為系統狀態變量；y=［y1y2y3］T=［αβμ］T為系統輸出變量；U=［u1u2u3］T=［MxMyMz］T為計算所得氣動控制力矩。在得到所需的氣動控制力矩后，舵面偏轉角指令可根據式（3）計算求得。

然后，應用輸入輸出線性化理論［9］，計算出系統輸出相對于控制量的相對階都為2，則系統的總相對階為2+2+2=6，與系統的階數相同。所以此非線性系統可以完全線性化，閉環系統中不存在內動態。輸入輸出反饋線性化的計算結果如下:

式中，F（x），E（x）的具體表達式見文獻［10］。

通過計算可得:det（E（x））=－1/（I*Izz）≠0，因此可知E（x）可逆。此時，選擇控制律形式為:

式中，v=［v1v2v3］T為輔助控制量。

將式（6）代入式（5）中，系統輸出動態可以寫為如下解耦的積分器形式:

式中，Ω =［αβμ］T。

進一步，考慮再入飛行過程中可能存在的參數不確定性（包括轉動慣量和氣動參數）以及外部擾動情況，假設受擾情況下的系統模型表示為:

式中，f，gk為系統的標稱部分；Δf，Δgk為系統中的不確定部分；為了簡便省略了函數中的自變量x。考慮參數不確定性及擾動后，經反饋線性化的系統模型可表示為:

這里，用 Δv=［Δv1Δv2Δv3］T表示式（9）中的聚合擾動:

不失一般性，假設上述不確定性擾動是有界的，即存在 Δv1max，Δv2max，Δv3max，使得 |Δv1|≤Δv1max，|Δv2|≤Δv2max，|Δv3|≤Δv3max成立。將控制量表達式（6）和聚合擾動式（10）代入式（9），可將考慮了參數不確定性以及擾動的再入飛行器反饋線性化系統表示為:

經過上述反饋線性化過程后，便可根據式（11）進行魯棒控制器的設計了。

1.3 控制目標

本文主要考慮再入飛行器的姿態控制系統設計問題，目標為:在系統存在參數不確定性及外部擾動的情況下，通過控制舵面偏轉角［δeδaδr］T，實現對制導環給出的姿態指令Ωc=［αcβcμc］T的有效跟蹤。定義跟蹤誤差為:

2 控制器設計

2.1 指數時變滑模控制器設計

針對建立的再入飛行器的線性化模型式（11），本節給出一種基于指數時變滑模的全局魯棒控制設計方法。首先，選擇指數時變滑模面形式為:

式中，S（t）=［sα（t）sβ（t）sμ（t）］T∈R3為滑模面函數向量；滑模面斜率 Λ =diag［λ1，λ2，λ3］∈R3×3；a∈R+決定了時變滑模面向普通滑模面的趨近速度（這里，不失一般性，令λ1=λ2=λ3=a=λ）；A∈R3為與系統狀態初值相關的參數矩陣。

基于時變滑模理論，系統狀態從初始時刻就要處于滑模面上，即滿足:S（0）=03×1。計算可得:

設計時變滑模控制器形式為:

式中，veq為針對標稱系統設計的等價控制，根據（t）=03×1計算可得；vsw= －ηsgn（S（t））是為了抵消系統中存在的不確定性而設計的切換控制。其中，sgn（S（t））=［sgn（sα）sgn（sβ）sgn（sμ）］T表示符號函數，η=diag［η1，η2，η3］∈R3×3為切換控制量增益，滿足:

定理1:對于式（11）描述的再入飛行器非線性模型，采用式（13）所示的指數時變滑模面和相應的時變滑模控制律式（15），能夠保證系統狀態從初始時刻就始終處于滑模面上，即對于?t∈［0，∞），S（t）≡0成立。

證明:

選擇正定Lyapunov函數:

求其關于時間的導數，并代入式（11）、式（13）、式（15）和式（16），推導過程如下:

故可知，?t∈［0，∞），V（t）≤V（0）=0 成立（時變滑模面式（13）使得系統軌跡從初始時刻就處于滑模面上，滿足S（0）=0，故有V（0）=0成立）；又由式（17）可知，V（t）≥0，故可推得V（t）≡0，這就意味著?t∈［0，∞），S（t）≡0。證畢。

注1:定理1揭示了時變滑模優于普通滑模控制的特點，即完全消除了普通滑模的到達階段，使得系統從初始時刻就處于滑模面上，有效地保證了系統的全局魯棒性。

注2:抖振現象作為滑模變結構控制的固有特性，在實際應用時應給予特別注意。時變滑模控制由于初始時刻系統狀態就處于滑模面上，所以抖振現象從初始時刻就存在。為了消除或者減弱抖振，這里，采用飽和函數sat（S（t））代替控制律式（15）中的符號函數，飽和函數的定義為:

式中，i=α，β，μ；φi為邊界層厚度。通過選擇合適的邊界層厚度能夠有效減弱抖振，但是，邊界層取值過大會引入穩態誤差。因此，邊界層厚度選擇需在系統控制精度與抑制抖振之間作折衷選擇。

2.2 控制器參數選擇

前面2.1節給出了時變滑模控制器的設計過程，但控制器參數λ還沒有確定。本節通過引入誤差二次型性能指標對參數λ的選擇進行研究。

首先，選取誤差二次型性能指標函數為:

式中，P，Q∈R3×3為對稱的權值矩陣。為了分析方便，取P=diag［p，p，p］，Q=I3×3。

3 仿真結果及分析

為了驗證本文方法的有效性，以某再入飛行器為例，建立六自由度仿真模型如圖1所示。

圖1 再入飛行器時變滑模控制結構框圖

仿真中，取初始高度為30 km，速度2 km/s，姿態角初始值為［0 0 0］T，姿態角給定指令［αcβc μc］T=［6 sin（t+π/2）0 20 sin（t+π/2）］T。

為了驗證所設計控制律的魯棒性，考慮+30%的大氣密度拉偏，以及如下所示的高頻外部擾動（直接施加于三軸的控制力矩上）:d=［100 sin（t）100 sin（t）100 sin（t）］T。

為了比較所設計指數時變滑模控制的性能，與文獻［4］中設計的普通滑模控制進行對比仿真實驗。指數時變滑模控制器參數選擇為:λ=4；切換增益選擇為:η=diag［2，2，3］；邊界層厚度選擇為φi=1/100；舵面偏轉角限制為±30°。仿真結果如圖2～圖8所示。

圖2 姿態角跟蹤曲線

圖3 姿態角速度曲線（時變滑模）

圖4 姿態角速度曲線（普通滑模）

從圖2的姿態角跟蹤曲線可以看出，在+30%大氣密度拉偏及高頻擾動d同時存在的情況下，飛行器姿態角大約在1.5 s左右就能跟蹤到給定姿態角指令。普通滑模由于在到達階段非連續的切換控制起主要作用，姿態誤差迅速收斂，姿態角響應速度比時變滑模更快，但相應的姿態角速度變化也會更劇烈（見圖3、圖4），在開始階段的峰值明顯高于采用時變滑模時的姿態角速度，這時比較容易引起控制量飽和。

圖5、圖6分別給出了采用時變滑模和普通滑模控制時的舵面偏轉角曲線。從圖中可以看出，采用時變滑模控制時的舵面偏轉角曲線更平滑，而采用普通滑模控制時有明顯的跳變現象，引起舵偏變化不連續（如圖6中虛線框中所示）。

圖5 舵面偏轉角曲線（時變滑模）

圖6 舵面偏轉角曲線（普通滑模）

圖7、圖8給出了滑模面響應曲線。從圖中可以看出，時變滑模控制有效消除了采用普通滑模控制的到達段，從初始時刻系統狀態就處于邊界層內（φi=1/100），保證了全局魯棒性；而采用普通滑模控制時存在明顯的到達階段，在到達段不能保證系統的魯棒性能。

圖7 滑模面響應曲線（時變滑模）

圖8 滑模面響應曲線（普通滑模）

4 結束語

本文以某再入飛行器為例，考慮再入過程中可能遇到的外部擾動及參數不確定性，在其不確定模型反饋線性化解耦的基礎上，設計了一種具有全局魯棒的指數時變滑模控制器。仿真結果表明，所設計的指數時變滑模姿態控制律有效地消除了普通滑模控制存在的到達段，使得系統軌跡從初始時刻就處于滑模面上，保證了系統對匹配參數不確定性和外部擾動的全局魯棒性。為了驗證所提出的控制器的魯棒性，考慮了+30%的大氣密度拉偏和高頻外部擾動情況，這些不確定因素的選擇可能具有一定的局限性，今后應進一步研究如何合理選取不確定性，以更加符合工程實際的需求。

［1］Shtessel Y，McDuffie J.Sliding mode control of the X-33 vehicle in launch and re-entry modes［R］.AIAA-98-37139，1998.

［2］Utkin V I.Sliding modes in control and optimization［M］.Berlin:Springer-Verlag，1992:111-130.

［3］Shtessel Y，Hall C，Jackson M.Reusable launch vehicle control in multiple-time-scale sliding modes［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23（6）:1013-1020.

［4］韓艷鏵，周鳳岐，周軍.基于反饋線性化和變結構控制的飛行器姿態控制系統設計［J］.宇航學報，2004，25（6）:637-641.

［5］Bartoszewicz A.Time-varying sliding modes for second-order systems［J］.IEE Proceedings of Control Theory Application，1996，143（5）:455-462.

［6］Jin Y Q，Liu X D，Qiu W.Time-varying sliding mode control in rigid spacecraft attitude tracking［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21（4）:352-360.

［7］Recasens J J，Chu Q P，Mulder J A.Robust model predictive control of a feedback linearized system for a liftingbody re-entry vehicle［C］//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.San Francisco，California，2005.

［8］John D S.Hypersonic vehicle simulation model:wingedcone configuration［R］.NASA Technical Memorandum 102610，1990.

［9］Slotine J J，Li W P.Applied nonlinear control［M］.New Jersey:Prentice Hall，1991.

［10］許志，唐碩.RLV再入返回噴流控制策略研究［J］.飛行力學，2009，27（6）:44-47.