基于Lambert轉(zhuǎn)移的虛交點軌道攔截優(yōu)化

魏鵬濤，雷剛，郭洪娜，王明海

（1.第二炮兵工程大學(xué)906教研室，陜西西安 710025；2.中國人民解放軍96656部隊，北京 102208）

引言

美、俄等航天與軍事強國在近三十多年來從未中斷過軌道攔截衛(wèi)星的研究與實驗，空間攔截與交會技術(shù)已成為一個國家航天技術(shù)發(fā)展水平的重要標(biāo)志［1］。軌道攔截是軌道機動的一種。常規(guī)的軌道攔截模式一般就是尋求一種時間最快，或者能量消耗最省的過渡軌道，將機動航天器的初始軌道和目標(biāo)航天器的軌道連接起來，且當(dāng)機動航天器從初始軌道經(jīng)過渡軌道運行到和目標(biāo)軌道的交會點，目標(biāo)航天器也運行到交會點，即實現(xiàn)機動航天器和目標(biāo)航天器的交會。基于沖量方式的軌道攔截，過渡軌道也是一條開普勒軌道。

本文提出了在虛交點進行攔截的軌道攔截方式，以達到時間最短、能量最省的要求。

1 虛交點攔截

1.1 數(shù)學(xué)模型建立

記軌道機動航天器和目標(biāo)航天器所在軌道分別為初始軌道和目標(biāo)軌道，軌道攔截就是在初始軌道上尋找一個變軌點T，在目標(biāo)軌道上尋找一個交會點J，并在兩點間設(shè)計一條攔截軌道L，要求機動航天器在t1時刻由T點實施軌道機動，然后沿攔截軌道運動到t2時刻與目標(biāo)航天器交會于J點［2］。當(dāng)交會點J確定，則目標(biāo)航天器運行到攔截點的時間TH也就確定，即:

式中，MHJ為目標(biāo)航天器在交會點J的平近點角；MH0為目標(biāo)航天器初始時刻t0的平近點角；nH為目標(biāo)航天器平均運動角速度。

首先定義兩航天器的軌道不共面情況下的“虛交點”。因為繞地球運行的航天器的軌道面都過地心，兩不共面的軌道在地球上投影時，就會有兩個交點，且兩交點與地心共線，即相位差π。定義在目標(biāo)軌道上，目標(biāo)先經(jīng)過的虛交點為第1交點uH1，另外一個為第2交點uH2，兩者通稱虛交點。對應(yīng)的機動航天器軌道上的虛交點分別記為uB1和uB2，如圖1所示。

圖1 虛交點攔截示意圖

若推力是沖量式，即速度在變軌點T瞬時增加，則攔截軌道L是開普勒軌道，若變軌點T和交會點J都確定，則攔截軌道唯一，即固定時間攔截。則:

式中，MBT為機動航天器在變軌點T的平近點角；MB0為機動航天器初始時刻t0的平近點角；nB為機動航天器在初始軌道上的平均運動角速度；MIJ為機動航天器在攔截軌道上交會點J的平近點角；MIT為機動航天器在攔截軌道上變軌點T的平近點角；nI為目標(biāo)航天器在攔截軌道上的平均運動角速度。

能量總消耗為:

式中，vIT為機動航天器在攔截軌道上變軌點T的速度矢量；vBT為機動航天器在初始軌道上變軌點T的速度矢量。

1.2 虛交點坐標(biāo)系下的攔截問題

由于所選擇攔截軌道和初始軌道在同一平面內(nèi)，建立初始軌道下的近交點坐標(biāo)系［3］如圖2所示。

圖2 近交點坐標(biāo)系下的攔截軌道

1.3 虛交點的求取

將機動航天器軌道和目標(biāo)航天器軌道投影到地球所在的球面上，如圖3所示。虛交點可以用該點的緯度幅角u=ω+f表示，其大小只和兩軌道的軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω有關(guān)。

圖3 虛交點與i，Ω的關(guān)系示意圖

由球面三角形的相鄰四元素公式得:

式中，下標(biāo)B表示機動航天器初始軌道參數(shù)；下標(biāo)H表示目標(biāo)航天器軌道參數(shù)。可見只要保持兩軌道軌道面不變化，虛交點的緯度幅角就保持不變。欲實現(xiàn)在虛交點對目標(biāo)實現(xiàn)軌道攔截，調(diào)整機動航天器在虛交點的軌道高度即可。

2 應(yīng)用普適變量法解決Lambert問題

求解Lambert問題可以歸結(jié)為求解高斯問題，高斯問題是指:給定航天器所處軌道上的兩個位置點1和2，其對應(yīng)的位置矢量分別為r1和r2，以及衛(wèi)星從點1運動到點2所經(jīng)歷的時間Δt和運動方向，求衛(wèi)星在1，2兩點的速度v1，v2［4-6］。

定義普適變量為:

可以得到航天器位置矢徑的普適公式:

由式（5）、式（6）可得飛行時間的普適公式為:

式中，c0為積分常數(shù)；a，e分別為追蹤航天器轉(zhuǎn)移軌道的半長軸和偏心率。

利用普適變量和斯達姆夫函數(shù)［7-9］C（z）和S（z）所表示的拉格朗日系數(shù)如下:

斯達姆夫函數(shù)C（z）和S（z）為:

式中，z=α χ2，α=1/a，r1=|r1|，r2=|r2|。

追蹤器始末位置矢量之間的真近點角為:

動量矩的根為:

設(shè)

令

由拉格朗日系數(shù)可得v1，v2表達式為:

3 仿真分析

假設(shè)初始軌道和目標(biāo)軌道參數(shù)如表1所示。

表1 軌道參數(shù)

由表1可得第1虛交點緯度幅角為:uB=47.303 8°，uH=25.108 2°。選擇初始軌道初始時刻后不同位置為變軌點，需要的速度沖量如圖4所示。

圖4 不同變軌點進行軌道轉(zhuǎn)移需要的速度沖量

由圖4分析可知，對于在同一虛交點攔截并且攔截時間一定的情況下，在初始時刻進行攔截最省能量。因此，應(yīng)該在初始時刻進行變軌，從而在第1虛交點對目標(biāo)進行攔截。優(yōu)化攔截軌道參數(shù)如下:長半軸7 020.63 km；偏心率0.18；軌道傾角30°；升交點赤經(jīng)30°；近地點幅角230.565 1°；真近點角109.434 9°。在第1虛交點實現(xiàn)軌道攔截所需速度增量為1.417 6 km/s，攔截時間為1 403.412 3 s。利用STK可視化仿真，可得到攔截的過程仿真如圖5所示。

圖5 攔截過程仿真

從以上仿真可以看出，采用虛交點方式可以有效地對目標(biāo)進行攔截。

4 結(jié)束語

針對軌道異面攔截需要較大的速度沖量，本文提出了基于虛交點的軌道攔截方法，攔截軌道和初始軌道在一個平面上，有助于節(jié)省能量。并以空間機動攔截某一目標(biāo)為例，仿真了此算法的可行性。對于固定時間攔截問題，可以選擇合適的變軌點，以較小的能量實現(xiàn)對目標(biāo)的攔截。

［1］王會利.空間作戰(zhàn)攔截軌道設(shè)計與優(yōu)化［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2007.

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