基于循環(huán)譜的MSK信號參數改進估計算法

鄭 鵬，王澤眾，劉 鋒，陶 然

(1.海軍航空工程學院電子信息工程系，山東煙臺264001;2.北京理工大學信息科學技術學院，北京100081)

0 引言

MSK信號是調制指數為0.5的連續(xù)相位頻移鍵控信號，其相位連續(xù)、振幅恒定，且功率譜在主瓣以外衰減較快，具有帶寬窄、頻譜主瓣能量集中及頻帶利用率高等優(yōu)點，是現(xiàn)代數字調制技術發(fā)展方向之一，在通信、遙測等領域被廣泛采用［3］。對MSK信號的檢測和參數估計等處理，過去一般將其建模為平穩(wěn)隨機過程，這種方法并沒有充分利用MSK信號特點，實際上MSK信號具有典型循環(huán)平穩(wěn)性［4］，因此更適合于將其建模為循環(huán)平穩(wěn)過程，從而利用循環(huán)平穩(wěn)信號的特征來對其進行分析。文獻［5］推導了MSK信號循環(huán)譜，分析了其循環(huán)譜特點;文獻［6－8］利用MSK信號的循環(huán)譜密度研究了對載頻和碼元速率進行參數估計的算法，其原理是對有限采集數據計算譜頻率f=0切面上的循環(huán)譜，利用其循環(huán)譜包絡峰值來實現(xiàn)MSK信號的參數估計。但這種算法在低信噪比或者數據長度較短時對載頻和碼元速率參數的估計效果并不理想，要想提高其估計性能往往需要增加數據長度和采樣時間。在已有文獻基礎上提出一種基于循環(huán)譜的MSK信號載頻、碼元速率改進估計算法，該算法能夠有效地抑制噪聲影響，對數據長度要求低，在有限數據長度條件下，可以實現(xiàn)低信噪比下MSK信號的載頻和碼元速率的參數估計。

1 基于循環(huán)譜的MSK信號參數估計

MSK信號可以表示為:

式中，fc為載波頻率，φ0為初始相位，c(t)、d(t)分別為:

式中，cn和dn都是二進制序列，t0是初始時間，Ts是碼元時寬，q(t)是成形脈沖，即:

可以推導出x(t)的循環(huán)譜密度為:

Q(f)是q(t)的傅里葉變換:

其中:

由施瓦茨不等式可得如下表達式:

對式(9)繼續(xù)使用施瓦茨不等式進行分解，可得到以下結論，MSK信號循環(huán)譜幅度在f=0處α截面上，當α=±2fc±fs/2處取得較大非零值，即循環(huán)譜密度在f=0處α截面上的幾個較大值分別存在于α1=2fc+fs/2，α2=2fc－fs/2，α3=－2fc+fs/2，α4=－2fc－fs/2處。所以有如下2式成立:

由于平穩(wěn)噪聲的循環(huán)譜密度集中在零循環(huán)頻率處，造成零循環(huán)頻率上受噪聲影響嚴重，故在估計中都排除了零循環(huán)頻率。這樣可以減少噪聲影響，提高精度，有利于低信噪比下信號參數估計。又因為循環(huán)譜密度正負頻率處包含信息相同，故在實際參數估計中只選取正的循環(huán)頻率軸，這樣可以減小一半運算量和存儲量。因此可以通過搜索循環(huán)譜密度在f=0處α截面正半軸上的最大值和次大值，利用上述2式來實現(xiàn)信號載頻和碼元寬度的參數估計。

2 算法原理及數字實現(xiàn)

改進算法核心思想是分段處理和重疊保留:將輸入信號采樣值進行重疊數據分段，重疊系數選為50%，對每段數據進行非矩形窗加窗處理，以減小數據之間相關性，然后對每個數據段進行譜相關運算，得到循環(huán)譜密度，最后對每段結果做平均處理，得到信號循環(huán)譜密度估計。

對于有限時間長度接收數據，要得到循環(huán)譜的可靠估計，減小譜泄露，必須對循環(huán)周期圖進行平滑處理。平滑分為時域平滑和頻域平滑2種，其中時域平滑因具有較高計算效率和較小計算量而在工程中被廣泛采用。在這里采用時域平滑循環(huán)周期圖來估計信號的循環(huán)譜密度。以FAM算法為例，其循環(huán)譜密度的時域平滑估計可以表示為:式中，XT(r，f)稱為復解調，又被稱為循環(huán)周期圖，a(n)為數據衰減窗，gc(n)為平滑窗。其中q=－P/2，…，P/2－1，L為抽取因子，滿足L ＜ N'，當L=N'/4時效果最好。N為總的采樣數，LP=N。

由此得到估計算法的數字實現(xiàn)過程如下:

①將有限時間T內的接收信號以Ts采樣，共得到N點數據，將所得的數據分為K段，每段M點，N=KM;

文獻增長規(guī)律的研究，一般以文獻累積數據為依據[1]，根據美國科學史學家普賴斯所涉及的理論[2]，我們將創(chuàng)業(yè)研究近60年發(fā)表的文獻各年分布和累積情況繪制如圖1所示。由圖可見，近60年創(chuàng)業(yè)研究發(fā)文呈一條平滑的上揚曲線，與指數增長規(guī)律高度吻合，擬合方程為y = 6.749e0.116x，說明創(chuàng)業(yè)研究還處于知識積累階段。普賴斯按文獻量增長變化情況將科學文獻增長劃分為四個階段判斷，創(chuàng)業(yè)研究發(fā)文目前正處于發(fā)展時期。

②采用50%重疊保留法對上述數據進行重新分組，得到L=2K個數據段，其中數據不足部分采用補零操作，每段數據仍為M點;

③對L個數據段分別利用非矩形窗進行加窗處理，得到新數據;

⑥在實數序列中搜索最大值和次大值，并記下其對應的位置序號i1和i2，由位置序號可計算出載頻估計值:

3 算法性能分析

理想情況下，即數據采集時間趨于無窮時，平穩(wěn)噪聲在非零循環(huán)頻率上的循環(huán)譜密度應為Δ，但是由于實際采集時間有限，所以噪聲循環(huán)譜密度在非零循環(huán)頻率并非恒為零，這會對參數估計產生影響，在信噪比較低時，這種影響更加明顯。若輸入信噪比與信干比較高，采集時間△t足夠大，則會有如下不等式:

此時噪聲循環(huán)譜密度的瞬時均值為零，噪聲對載頻和碼片速率的估計影響很小。

由文獻［9］可知，噪聲循環(huán)譜密度和信號循環(huán)譜密度由如下近似比例式:

Sn(f)、Sx(f)分別為噪聲和信號的功率譜，Cα

因此，當輸入信噪比下降時，采集時間必須相應增加，方能使式(14)成立，使噪聲不對參數估計造成很大影響。

對于改進算法來說，數據長度保持不變，分段處理后式(15)變?yōu)?

因此，式(17)變?yōu)?

因此相同數據長度下，改進算法將式(17)提高K倍，噪聲對參數估計影響會降低很多，提高了信噪比門限。同樣若達到相同參數估計效果，所需數據長度可大大減少。由上式也可看出，增大分段次數可以提高改進算法性能。

由于在實際應用中，樣本長度N有限，所以用周期圖法估計的循環(huán)譜是時變的。要得到循環(huán)譜的可靠估計，使譜相關密度函數的估計與時間幾乎不相關，需滿足可靠性條件:

由上式可見要實現(xiàn)可靠估計，循環(huán)頻率分辨率Δα必須比頻率分辨率Δf高得多。時域平滑循環(huán)譜的頻率分辨率為Δf=fs/N'，循環(huán)頻率分辨率為Δα=1/Δt=fs/N，即有M=N/N'＞＞1。對于改進算法來說，分段結果使得每段數據長度減小，循環(huán)頻率分辨率減小K倍，對于每段循環(huán)譜估計ΔtΔf也會減小，這會造成循環(huán)譜估計可靠性下降，結果就是使循環(huán)譜泄露變得嚴重，產生錯誤峰值，這時參數估計精度反而會降低。因此實際應用中，要選擇合適分段次數，而不是越大越好。

4 仿真實驗及結果分析

采用式(1)所示信號，噪聲為高斯白噪聲。仿真中參數設置如下:采樣頻率fs=8 192 Hz，載頻f0=2 048 Hz，碼片速率為fc=512 Hz，信號的初始時間和初始相位均為0，所采用循環(huán)譜估計方法是FAM。

圖1為算法改進前后f=0處MSK信號的循環(huán)譜密度包絡，實驗信噪比為－5 dB。由圖可以看出，改進算法對噪聲有明顯的抑制效果，改進算法所得到循環(huán)譜包絡變得平坦，減少了錯誤的噪聲峰值，峰值比原算法更加明顯，更易提取，這有利于低信噪比下的參數估計。

圖1 采用不同算法得到的f=0處循環(huán)譜密度包絡

圖2和圖3是在相同條件下算法改進前后MSK信號載頻與碼元速率估計的歸一化均方根誤差，各實驗都是重復進行1 000次。由圖可以看出，隨著信噪比的提高，2種估計算法的估計誤差都會減小，估計性能均得到改善，但改進算法要比原算法優(yōu)越得多，在低信噪比時仍有著良好的估計性能，估計的均方根誤差比原算法小得多，參數估計門限要比原算法提高了大約2 dB。

圖2 MSK信號載頻估計歸一化均方根誤差

圖3 MSK信號碼片速率估計歸一化均方根誤差

5 結束語

有限數據條件下，為了實現(xiàn)更低信噪比下MSK信號的載頻和碼元速率參數估計，提出了一種基于數據分段和重疊保留處理的改進算法，改進算法繼承了原有算法優(yōu)點，不需要信號先驗知識，通過一維搜索分別實現(xiàn)載頻和碼元速率的參數估計，計算量小，但在相同數據條件下，改進算法比已有算法能夠更有效地克服噪聲影響，參數估計門限提高了約2 dB。仿真結果和理論推導均表明，所提出方法在低信噪比下對MSK信號有著良好的參數估計性能。

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