二次規劃問題的新型時滯投影神經網絡的穩定性分析

陳珊珊 樓旭陽

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室 江蘇 214122

0 引言

眾所周知，二次規劃是非線性規劃中比較簡單的一類，由于較容易求解，所以很多方面的實際問題都可以抽象成二次規劃的模型去求解，例如在運籌學中，它被廣泛用于經濟調度，合理分配，計劃決策等問題。

傳統解決二次規劃問題的方法過程復雜，計算時間長，使得其在大范圍優化中的使用受到限制。神經網絡具有大規模并行處理和分布式存儲等特性，在高效運算方面具有更多優勢。1986年，Hopfield和Tank首先提出將神經網絡用于解決線性規劃問題。近年來，建立神經網絡來解決二次規劃問題的研究發展迅速。Chen和Fang通過使用懲罰參數，提出了解決凸二次規劃問題的時滯神經網絡，得到了平衡點穩定的時滯穩定裕度。但是由于使用了懲罰參數，這種神經網絡只能得到近似解。Liu，Cao和Wang提出一種時滯Lagrange網絡來求解二次型規劃問題，通過確定時滯間隔來保證時滯神經網絡在最優點的漸進穩定性，但Lagrange乘子的存在，使得狀態變量有所增加，導致了網絡規模的擴大。Yang和Cao提出一類用于解決二次規劃問題的時滯投影神經網絡，這種模型不但沒有包含Lagrange乘子和懲罰參數，而且用來求解二次規劃問題也十分有效。但是，這種模型只考慮了部分神經元存在時滯的情況。

考慮到時滯的普遍存在性，本文在Yang和Cao的研究基礎之上進行了改進，提出一類所有神經元皆存在時滯的投影神經網絡模型。同時，利用Gronwall不等式和Halanay不等式給出了全局指數穩定性的證明。

1 問題描述

考慮如下二次規劃問題：

其中：Q∈Rn×n為正定或半正定矩陣，q∈Rn，A∈Rm×n為行滿秩矩陣，b∈Rm，且假設可行域Ω=｛x∈Rn｝為非空集合。

文獻【4】提出如下時滯投影神經網絡來解決問題(1)：

其中α＞0恒成立，τ≥0表示傳輸延時。PΩ：Rn→Ω是一個投影算子，其定義如下：

其中

在本文中，我們對模型(2)加以改進，提出一個所有神經元皆存在時滯的投影神經網絡來求解問題(1)：

設Ωe為模型(3)中平衡點的集合，Ω*=Ωe是問題(1)中最優解的集合。可見，當且僅當x*是模型(3)的平衡點時，x*是模型(2)的平衡點，從而x*是問題(1)的最優解。所以，我們就有Ω*=Ωe。為了分析模型(3)的穩定性，我們引入下列的定義和引理。

定義1 如果由任意初始點x0出發的軌跡都滿足：

其中k和η是獨立的恒定常量，那么就稱這個系統在平衡點x*處是全局指數穩定的。

引理1(Gronwall不等式)設X(t)和Y(t)在［t0,+∞）上是非負連續的函數，如果

則

引理2(Halanay不等式) 令a＞b＞0，ν(t)為在［t0-τ,t0］上非負連續的函數且滿足下列不等式：

其中τ是一個非負常數，則存在常數λ＞0滿足下列不等式：

其中λ是方程λ=a-beλτ的惟一解。

2 主要結果

在這一節中，我們將討論模型(3)的全局指數穩定性。定理1 如果任意給定一個初始值滿足下列關系式：

那么，就存在一個惟一的連續函數x(t)在區間［t0,∞）上滿足模型(3)。

證明 令

則模型(3)演化為：

由于函數g(?)，PΩ(?)，T(?)是局部Lipschitz連續的，由微分方程解的存在性定理得，模型(3)存在一個解x(t)，其在［t0,T0）上滿足x(t0)=φ。

因為x(t)∈Rn，于是我們可以得到：

在區間［t0,t］（t0＜t）上，對模型(3)中的第一個式子兩邊同時求積分，得到：

且x(t)=φ(t),-τ≤t ≤0。

所以：

根據引理1，可以得到：

因此，解x(t)在[0,T0）上是有界的。

根據微分方程連續性法則，我們得到模型(3)在區間［τ0,+∞）上存在惟一連續解。

定理證畢。

證明 設x*是模型(3)的一個平衡點，則有

x*=PΩ[（I-αQ）x*-αq] ，

從而可得：

兩邊取范數得：

根據引理2，可以得到：

其中λ是方程λ=a-beλτ的唯一解。所以，模型(3)是全局指數穩定的。定理證畢。

注：當且僅當x*是模型(3)的平衡點時，x*是問題(1)的最優解。也就是說，任意x0∈Ω，模型(3)的解x(t,x0)指數收斂于問題(1)的惟一最優解。

3 仿真示例

為了說明所提出的時滯投影神經網絡在解決二次規劃問題中可行性和有效性，我們給出下面的仿真例子。

考慮如下的二次規劃問題：

易知該問題對應(1)中的參數如下：

該問題最優解為x*=(3.8335,1.1667)T，取τ=0.5，α=1，分別利用模型(2)、模型(3)來求解此二次規劃問題，在10個隨機初始條件下，所有解的軌跡均收斂至最優解x*。仿真結果如圖1、圖2所示。利用模型(3)時，可以算出β=1，滿足全局指數穩定的條件。

圖1 利用模型(2)得到的時間響應曲線

圖2 利用模型(3)得到的時間響應曲線

從圖中我們可以看出，模型(2)的1x和2x在接近3秒的時候才趨于穩定，而模型(3)在2秒左右就開始趨于穩定，即模型(3)比模型(2)的求解速度更快，并且具有很好的穩定性。

4 結論

本文提出了一種新型的時滯投影神經網絡，用于解決二次規劃問題。對所提網絡模型的全局指數穩定性進行了詳細的分析。數值實例說明了所提網絡模型具有結構簡單，求解速度快以及便于硬件實現等特點。

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