SVR在信號傳遞合約模型Ⅱ量化分析中的應用

張振鋒

（鹽城紡織職業技術學院，江蘇 鹽城224005）

激勵合約優化模型的研究一般采用解析的、定性的方法進行分析[1]。但這種分析方法不僅導致激勵合約優化模型在實際應用受到限制，也使得理論本身的發展受到限制。其原因主要有兩方面，其一是模型所包含的效用函數難以用解析函數定量表達，造成整個模型難以作定量分析；其二是解析分析方法在對具有效用函數求導的梯度法的優化模型求解時難以施展。由于支持向量回歸機在各領域得到成功的應用[2]，所以用支持向量回歸機對效用函數建模，解決信號傳遞優化模型的量化表達問題，進而對信號傳遞優化模型作量化分析。

本文研究用SVR解決信號傳遞優化模型Ⅱ的定量表達和分析問題，并與已有的解析分析方法相結合，利用SVR對效用函數進行建模，從而解決效用函數的表達問題。同時利用梯度法求解優化模型，從而解決傳統解析方法無法解決的優化模型的量化分析問題。在用支持向量回歸機對效用函數建模的基礎上，本文推導出了提供生產率高、工作繁重的合約和提供生產率低、工作輕松的合約的委托人通過其設計的合約向代理人傳遞信息的信號傳遞模型的梯度表達式，并給出了相應的梯度法迭代算法。利用這一算法進行數值計算和量化分析，觀察上述信號傳遞模型中參數變化對合約均衡點變化趨勢的影響。

1 SVR與效用函數建模[3]

解決效用函數的定量描述問題是對激勵合約優化模型定量計算的關鍵。而用SVR對效用函數建模又是解決效用函數的定量描述問題的關鍵。

1.1 支持向量回歸機SVR

對小樣本點集回歸得到其隱含的函數關系的方法較多，目前比較成功的方法是利用支持向量回歸機SVR。考慮用線性函數 f(x)=〈w，x〉+b逼近樣本數據集 D={(x1，y1)，…，(xl，yl)}(x∈Rn，y∈R)的問題。 從結構風險最小化思想出發，則其最優回歸函數的優化模型為：

1.2 效用函數的SVR建模

效用函數在經濟學中指消費者在消費某種商品過程中所得到的滿足感。在激勵合約中指對獲取收益的滿足感。效用函數帶有很強的主觀色彩，實際中由小樣本點集隱含。本文利用SVR對效用函數建模作量化描述，即用SVR表達效用函數。首先利用所收集到的效用函數的樣本集訓練SVR，使其得到有關知識，這實際上是樣本點隱含的函數關系在各個神經元上的權值。在SVR得到這組權值之后，就可以用來表達由樣本點隱含的函數關系，即對于所給定的自變量，可以通過訓練后的SVR定量確定效用函數的值。在用SVR表達效用函數的基礎上，可以進一步定量計算相關的積分和導數。激勵合約研究的是簽約雙方同為風險規避類型（至少是風險中性）的效用函數的情形。當效用函數是風險中性時，用一線性函數即可表達；而當取效用函數為風險規避類型時，可以用SVR來表達。用SVR表達的效用函數的基本表達式為：

其中svr(x)的曲線形狀如圖1所示（通過對實際樣本點的訓練回歸而得）。仿真時，可以在效用函數的基本表達式中引入兩個參數a和b，使效用函數具有如下形式：u(x)=af(bx)，通過調節a和b即可對效用函數進行微調。

2 信號傳遞優化模型Ⅱ及其梯度法求解[5]

2.1 信號傳遞優化模型Ⅱ[1]

激勵合約的信號傳遞優化模型Ⅱ可以形式化地表示為約束最值問題。典型的信號傳遞激勵合約模型Ⅱ是：委托人達到效用最大化時，委托人通過激勵合約向代理人傳遞其特征信號的優化模型。其求解的實際含義是指，提供生產率低、工作輕松的合約(wl，el)的 l型委托人和提供生產率高、工作繁重的合約(wk，ek)的 k型委托人分別設計合約，l型委托人通過合約向代理人傳遞特征信息以使代理人選擇其設計的合約，k型委托人不需要向代理人傳遞信息便能使代理人選擇其設計的合約。模型Ⅱ要解決的問題是，在代理人不知委托人是l型還是k型的情況下，l型委托人應該如何設計合約向代理人傳遞信息，以使得不情愿努力的代理人選擇生產率低、工作輕松的合約(wl，el)，同時使得委托人預期效用最大。

模型Ⅱ由式(3)～式(5)組成：k型委托人、l型委托人的合約模型：

調整后l型委托人的合約模型：

其中：k為生產效率，在模型中，k值相對小時，為 l型委托人模型，k值相對較大時，為k型委托人模型；wk、wl、ek、el分別為代理人選擇合約(wk，ek)和(wl，el)所獲得的工資和所付出的努力程度；∏(ek)、∏(el)分別為提供合約(wk，ek)的 k型委托人和提供合約(wl，el)的 l型委托人所獲得的收益；ek*、wk*分別為k型委托人所求得的努力和所支付給代理人的工資；u(·)是代理人對于工資收入的效用函數；v(·)是代理人關于付出努力的效用函數，為線性函數；U是代理人的某個預定效用值。

2.2 信號傳遞優化模型Ⅱ的梯度法求解[5]

2.2.1 目標函數最值的梯度法求解

函數的梯度方向是函數值變化最快的方向，梯度法就是以函數的梯度方向作為極值點的搜索方向。當利用梯度法求函數的最小值時，要將函數的負梯度方向作為極值點的搜索方向。而當利用梯度法求函數的最大值時，則要以函數的正梯度方向作為極值點的搜索方向。算法如下：

輸入：目標函數 f(X)，其中 X=[wkek]T，[wlel]T，初始點 X1∈En（n 維歐式空間），步長 λ，允許誤差 ε＞0。

輸出：使目標函數f(X)最大的解X*。

(2)若 ｜Δf(Xm)｜＞ε， 則 執 行 Xm+1←Xm+λ▽f(Xm)，m←m+1，轉步驟(1)；

(3)此時 Xm就是所求的最優解 X*，f(Xm)就是目標函數的最大值，算法結束。

2.2.2 障礙函數的構造[5]

用梯度法求解信號傳遞優化模型Ⅱ，要將約束條件下的最值問題轉化為非約束條件下的最值問題。一般做法是構造障礙函數，即用若干障礙項表示相應的約束條件，并將這些障礙項加到目標函數中。當可以保證障礙項函數的初始值大于0時，選用log函數為障礙項函數，否則選用式(6)為障礙項函數。

式(6)是本文設計的障礙項函數，式(7)是其導數。如此設計的優點是使障礙項函數在0點有連續的導數，以避免迭代過程在0點處出現振蕩；缺點是約束條件可能得不到絕對滿足。

2.2.3 概率函數q(t)的構造

[1]中q(t)是階躍函數，其導數不存在。為了能使用梯度法，用式(6)替代階躍函數，其導數存在。用式(9)中的函數可以代替參考文獻[1]中的階躍函數。

2.2.4 信號傳遞模型Ⅱ的梯度法求解的梯度公式

信號傳遞合約模型Ⅱ帶有障礙項的目標函數為：

對于k型、l型委托人的模型：

其中 a=u(wk)-kv(ek)-U，∏(ek)=ek，v(ek)=ek。

對于l型委托人向代理人發送信息的模型：

其中∏(ek*)=ek*，∏(el)=el。

由于在設計障礙函數時，保證了障礙項有連續一階導數；通過選擇合理的SVR參數，使得用SVR建模的效用函數也有一階連續導數，從而使整個目標函數有一階連續偏導數，滿足梯度法的應用條件。通過實驗選擇合理的步長λ和精度ε，可以使算法收斂并有較快的收斂速度。另外所要求解的向量X維數為3或2，即問題的規模為3或2，則算法的時間和空間復雜度分析可以忽略。這些都保證了上述梯度法的有效性。

3 計算結果與分析

3.1 量化計算的目的與步驟

量化計算的目的，是觀察模型參數變化對合約均衡點變化趨勢的影響。對于該模型，主要觀察：在其他參數不變的情況下，委托人的生產效率k值的變化在信息對稱情況下對合約均衡點的影響，及l型委托人的合約均衡點的設置變化。

量化計算的步驟：

(1)量化計算的關鍵是對效用函數建模。所以第一步是用SVR對經過調查的效用函數樣本點訓練建模。量化計算中，效用函數u(·)取式(2)的定義，即為風險規避的，v(·)取線性函數，v′(·)=1，即為風險中性的。 樣本點和建模的結果如圖1所示。

(2)對于該模型，在梯度法算法中，輸入初始值X=[wkek]=[wlel]=[1 1]，迭代步長 λ=0.000 01，終止誤差ε=0.1。

對式(3)和式(4)的委托人模型，令式(3)中的生產效率 k值從 0.1，0.2，…，0.6增大時，反復調用上述梯度法計算目標函數值，得到如圖2星號線所示的委托人的生產效率k值的變化對合約均衡點的影響，其中均衡點對變化方向已在圖2中標出；對式(5)的合約模型，令式(3)和式(4)中k值較小時的模型為l型委托人(提供生產率低、工作輕松的合約)模型，k值較大時的模型為k型委托人(提供生產率高、工作繁重的合約)模型，反復調用上述梯度法計算目標函數值，得到如圖2加號線所示的委托人的生產效率k值較小的l型委托人的的合約均衡點的變化，其中均衡點對變化方向已在圖2中標出。

3.2 結果及其分析

圖2是本文中信號傳遞合約模型的量化計算結果。橫軸表示代理人的工資水平，縱軸表示代理人努力程度，星號點是l型委托人和k型委托人合約均衡點，加號點是經調整后l型委托人設計的合約均衡點。

圖2的結果表明，在其他參數不變的情況下，隨著委托人的生產效率k值的增加，即由k值較小時的l型委托人到 k值較大時的 k型委托人，均衡點（w，e）向右下方向移動；這表明了l委托人所付給代理人的工資低于k型委托人所付給代理人的工資，而l型委托人所需要代理人的努力程度卻高于k型委托人所需代理人的努力程度，這顯然是不合理的，從而必須對l型委托人設計的合約進行調整，使l型委托人向代理人傳遞其特征信息，調整到圖2的加號線所示，以便使代理人明白l型委托人設計的合約要求的努力程度低于k型委托人所需代理人的努力程度ek，而支付的工資也低于k型委托人支付給代理人的工資wk。這一結果提示委托人，當委托人提供生產率低、工作輕松的合約時，要向代理人傳遞其工作輕松、要求努力程度低的信號才能使不情愿努力的代理人接受l型委托人設計的合約。

本文在利用SVR對效用函數建模的基礎上，用梯度法量化求解信號傳遞優化模型,對信號傳遞模型Ⅱ（委托人通過激勵合約向代理人傳遞其能提供生產率低、工作輕松的合約(wl，el)特征信號的優化模型）進行了定量計算和分析。由于定量計算數值結果的直觀和易于理解，容易發現解析分析難以得到的信息。經完善后也可以用于指導含有信號傳遞合約優化模型Ⅱ的實際委托-代理合約的設計。

參考文獻

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[2]CHEKMAREV D，KHOLODOVYCH V，KORTAGERE S，et al.Predicting inhibitors of acetylcholinesterase by regression and classification machine learning approaches with combinations of molecular descriptors[J].Pharmaceutical Research，2009，26（9）：2216-2224.

[3]Wang Shitong，Zhu Jiagang，CHUNG F L，et al.Theoretically optimal parameter choices for support vector regression machines Huber-SVR and Norm_r-SVR with noisy input[J].Soft Computing.2005，9(10)：732-741.

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[5]張振鋒，朱嘉鋼.支持向量回歸機在逆向選擇合約模型量化分析中的應用[J].計算機應用，2010，30(3)：779-788.