低快拍下多輸入多輸出雷達中的角度估計算法

李建峰 張小飛

（南京航空航天大學電子信息工程學院；江蘇 南京210016）

引 言

多輸入多輸出（MIMO）雷達用多個天線同時發射信號，用多個天線接收反射回的信號，跟傳統相控陣雷達相比，有很多優點［1－5］。相比單個發射天線，MIMO雷達擁有更多的自由度，可以克服衰落效應，提高空間分辨率，增強參數識別能力和提高目標偵測性能［6－10］。目前，MIMO雷達中已經有很多離開角（DOD）和波達角（DOA）估計算法，包括借助旋轉不變技術的信號參數估計（ESPRIT）方法［11］，Capon方法［12］，多重信號分類 （MUSIC）方法［13］，平行因子算法［14］以及自適應平行因子方法［15］等，以上算法在比較高的快拍數下，能獲得較好的性能，而在較低的快拍下，性能就會變得很差。文獻［16］提出了一種單快拍數下雙基地MIMO雷達的角度估計算法，該算法需要兩個一維譜搜索估計，復雜度高；還需要額外的參數配對。為此，文中提出了低快拍下的MIMO雷達中一種低復雜度、自動配對的角度估計算法，該算法利用矩陣束（Matrix Pencil）方法來實現DOD和DOA的較準確的聯合估計，通過構造矩陣，能實現甚至在單快拍下的角度估計，算法復雜度低于ESPRIT算法，且估計的角度能自動配對；同時，論文中所提算法的角度估計性能好于ESPRIT算法。

1.理論分析

1.1 數據模型

考慮雙基地MIMO雷達中，發射陣列M元的均勻線陣（ULA），接收陣列為N元的ULA，陣元間隔半波長。假設有D個不相關的目標，則接收端匹配濾波器的輸出為

式中：θd，?d分別是第d個目標對應于發射陣列的DOD和對應于接收陣列的，i為虛部符號；fd為多普勒頻移；βd是反射系數，不同目標之間不相關，（·）T表示矩陣轉置；n（t）是MN×1的高斯噪聲向量，均值為0，協方差矩陣為σ2IMN，IMN是MN×MN的單位矩陣；ar（?d）?at（θd）是對應于第d個目標的發射方向矢量和接收方向矢量的Kronecker積，其中

式中exp（－iπ）代表e－iπ.

式中：N∈CMN×J是噪聲矩陣；B＝［b（1），b（2），…，b（J）］∈CD×J.

無噪聲時，X的第（（n－1）M＋m）行為

式中bd是B的第d行。定義

式中E［·］代表求期望；（·）H表示矩陣的共軛轉置。忽略多普勒頻移影響，則

式中ad＝bd.利用式（6）構造增廣矩陣

其中

Rm為Q×（N－Q＋1）的Hankel矩陣，將式（7）代入式（9），得

式中：

式中diag（v）表示一個對角矩陣，其對角元素為v.

將式（10）代入式（8），得到

式中：

1.2 基于矩陣束的角度估計算法

1.2.1 DOA估計

對Re進行奇異值分解，得到

式中：Usa、Dsa為包含信號子空間的D個主特征向量與主特征值；Una、Dna分別包含其他特征值與特征向量。由于EL與Usa張成相同的信號子空間，因此，存在唯一K×K的非奇異矩陣T1，使得

根據式 （15），定義

式中：Ua1表示由信號特征向量矩陣Usa的前（P－1）Q行構成的矩陣；Ua2表示由信號特征向量矩陣Usa的后（P－1）Q行構成的矩陣；E1表示由信號特征向量矩陣EL的前（P－1）Q行構成的矩陣。由式（18）得

定義Fa＝Ua2，其中（·）＋表示矩陣的廣義逆。對Fa進行特征值分解，對應的特征矢量則達到T1的估計

式中，Π為列交換矩陣，而且Π－1＝ΠT，其中（·）－1表示矩陣求逆。所以在無噪聲情況Xd的估計

假設對Fa進行特征值分解得到特征值，則DOA的估計為

式中angle（·）表示取相位。

1.2.2 DOD估計

通過對EL左乘一個置換矩陣，得到

式中：

用此置換矩陣乘以Usa，可得

同理，定義

式中：Ud1表示由信號特征向量矩陣Usd的前（Q－1）P行構成的矩陣；Ud2表示由信號特征向量矩陣Usd的后（Q－1）P行構成的矩陣；E1C表示由信號特征向量矩陣ELC的前（Q－1）P行構成的矩陣。由式（24）得

則

因為Yd＝（E1CYd），可以通過下式得到Yd的估計

假設估計出的Yd的對角元素為，則DOD的估計為

至此，將此基于矩陣束的角度估計算法流程總結如下：

1）根據接收數據通過式（6）構造r（τ，ζ）；

2）選擇合適的P值和Q值（注1），構造出式（8）中的Re和式（9）中的Rm；

3）對Re進行奇異值分解，取其左奇異向量Usa的前（P－1）Q行Ua1，后（P－1）Q行Ua2，并對Ua2特征值分解，得到特征值，根據公式（22＝asin（angle）/π），從特征值中得到 DOA 的估計，根據式（20）從特征矢量得到T1的估計；

4）將Usa左乘一置換矩陣進行重構，得到Usd，并取其前（Q－1）P行Ud1，后（Q－1）p行Ud2，根據式（27）得到Yd的估計，并取其對角元素得到，再根據式（29＝asin（angle/π）），得到DOD的估計

注1：P，Q的選取應滿足M－D＋1≥P≥D＋1，N－D＋1≥Q≥D＋1；P，Q的選取，旨在構造增廣矩陣，相當于增大快拍數，使角度估計在低快拍下也能獲得很好的性能。構造增廣矩陣之后，由公式（11）～（17），可以把Q看成新的接收陣列長度，把P看成新的發射陣列長度。注2：根據公式（21）和（28），我們發現估計出DOD和DOA具有相同的列模糊，所以該算法能自動進行二維角度配對。

1.2.3 復雜度及克拉美－羅界（CRB）

根據文獻［17］，可以給出雙基地MIMO雷達中的CRB為

2.實驗結果分析

2.1 仿真結果及分析

圖1和圖2給出了在M＝8，N＝8，J＝4，信噪比（SNR）分別為0dB，4dB的情況下，該算法的角度估計性能，從圖1和圖2中可以看出：即使在很低的快拍數下，很低的信噪比下，目標角度都可以被較準確地估計出來。

圖3和圖4則是M＝8，N＝8，J＝4和M＝8，N＝10，J＝1的情況下，該算法與ESPRIT算法以及CRB的比較，可以看到文中所提算法的RMSE和CRB比較接近，而在J＝1的情況下，ESPRIT算法已失去估計能力，所提算法依然可以準確估計出角度，所提算法的角度估計性能優于ESPRIT算法，而此時ESPRIT算法的復雜度為O（520 704），所提算法復雜度為O（832 8），遠低于ESPRIT算法復雜度。

圖5和圖6給出了J＝4，發射和接收天線數不同的情況下，該算法的估計性能。可以看出：隨發射和接收天線數增加，估計性能提升。天線數增加，分集增益增強，性能得到提升。

圖7則是M＝8，N＝8，快拍數不同的情況下，算法的估計性能。從圖7中可以看出：快拍數增加，估計性能有所提升。

2.2 算法優點

至此，將此基于矩陣束的角度估計算法的優點總結如下：

1）該算法無需譜峰搜索，而且其復雜度低于ESPRIT算法；

2）在低快拍情況下論文中所提算法的角度估計性能優于ESPRIT算法；

3）該算法能工作在單快拍下；

4）該算法能對二維角度自動配對。

3.結 論

文中提出了雙基地MIMO雷達中的一種低快拍低信噪比下的DOD和DOA聯合估計算法。該算法利用矩陣束方法構造矩陣，通過奇異值分解和ESPRIT方法獲得角度信息。該算法估計的角度能自動配對，無需譜峰搜索，復雜度低于傳統的ESPRIT算法，而且其角度估計性能在低快拍下優于傳統ESPRIT算法。一系列仿真驗證了該算法的有效性。

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