基于信號波形協同提高無線通信系統容量的研究

史軍，沙學軍，張欽宇,2，宋曉程，張乃通,2

(1. 哈爾濱工業大學 通信技術研究所，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業大學 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

1 引言

作為世界各國高新技術支柱產業，無線通信一直保持了強勁的發展勢頭。然而，已有的和即將推出的系統由于在無線資源綜合優化利用等方面的局限性，仍然不能很好地解決有限頻譜資源與迅速增長業務需求的矛盾，由此產生的無線通信瓶頸問題日益突出。解決無線通信瓶頸問題的關鍵是從根本上提高無線頻譜資源利用的有效性，即在滿足服務質量的前提下，最大限度地提高頻譜效率及資源共享系統容量。

傳統無線通信系統的基本信號波形是正弦波，信號分析和處理的工具是以正弦波為基函數的傅里葉變換。由于傅里葉變換存在只能提供基于單個時域或頻域信號分析與處理的固有缺陷，使得進一步提高頻譜效率，增加系統容量面臨著“瓶頸效應”的制約。此外，傳統無線通信體系框架主要基于時間和頻率資源獨立優化及簡單調度使用模式，在此基礎上演進和發展的技術已逐漸受到各種“邊界效應”的制約，頻譜效率和系統容量很難再得到提高?；诖耍紤]到正弦信號與線性調頻信號分別為傅里葉變換和分數傅里葉變換的基函數，且它們在頻域和分數域上的能量積聚特性具有對偶性，提出了一種基于信號波形協同的無線通信技術。

對于正弦和線性調頻信號，從頻域來看前者能量相對聚集，頻譜呈現沖激特性，后者能量相對擴散，頻譜近似為矩形譜；而在分數域它們的能量聚集特征和分數譜特性恰好與頻域的情況相反。因此，可以利用正弦和線性調頻信號在變換域的差異性來區分不同的用戶信息，即在傳統正弦信號波形上疊加與其頻譜中心完全重疊的且能量相等的線性調頻信號波形來傳輸不同的用戶信息，并通過優化信號參數設計使它們在頻域或分數域呈現出最佳的前述能量聚集的差異性，從而可以分別在頻域和分數域利用濾波處理實現2類用戶信號波形的分別提取，進而達到提高頻譜效率以及增加系統容量的目的?；谶@一思路，本文建立了系統架構模型，給出了理論分析，并進行了數值驗證。研究結果表明，在傳統正弦載波通信體制的基礎上，通過信號波形協同及變換域濾波處理可以有效地提高頻譜效率，理論上能夠將系統容量提升近一倍。

2 預備知識

2.1 分數傅里葉變換簡介

分數傅里葉變換(FRFT, fractional Fourier transform)理論是自20世紀80年代以來在傳統傅里葉變換(FT,Fourier transform)理論基礎上迅速發展起來的一門新興學科。作為一種廣義的傅里葉變換，FRFT不但繼承了傳統FT基本性質，而且還具有很多傳統FT所不具備的特性，在科學研究和工程技術應用中受到了越來越多的關注[1～8]。

FRFT定義最早由Namias從特征值與特征函數的角度提出，之后在該定義的基礎上又出現了多種等價的定義方式[1]。FRFT可以解釋為將信號的坐標軸在時頻平面繞原點作逆時針任意角度的旋轉[2]，即若FT可理解為將信號f(t)從時間軸(時域)逆時針旋轉角度π/2，變換到頻率軸(頻域)的表示，則FRFT就是將f(t)從時間軸逆時針旋轉任意角度 α(α≠nπ/2)變換到分數傅里葉域的表示。

信號f(t)∈L2(R)的FRFT定義為[1]

其中，變換核Kα(u,t)可以表示為

特別地，當α=0和α=π/2時，FRFT分別退化為恒等變換和傳統傅里葉變換。

根據式(1)，可得FRFT標準正交基函數為[1]

表1 分數傅里葉變換與傅里葉變換基函數特性比較

可見，α角度FRFT的一組標準正交基函數{φα,n(t),n∈Z}實際上是由調頻斜率相同，起始頻率不同的線性調頻信號組成，其瞬時角頻率為不難看出，當α=π/2時，φα,n(t)便退化為FT的標準正交基函數。這也進一步說明，FRFT是一種廣義的傅里葉變換。表1給出了FRFT基函數與FT基函數的特性比較。

理論研究表明，FRFT突破了傳統只能基于時、頻域的信號分析方式，能夠在介乎于時域和頻域之間的分數域上分析信號，可以展示出信號從時域逐漸變化到頻域的所有特征[1]，因此分數域是一種新的信號表征域，可視為一種新的變換域資源。在傳統變換域資源劃分中，頻分多址(FDMA, frequency division multiple access)是利用頻率來區分用戶，即使用不同頻率的正弦信號波形來傳輸不同用戶的信息。同樣，具有不同分數頻率的線性調頻信號也可以用來區分不同用戶，即用一組調頻斜率相同，起始頻率不同的線性調頻信號來調制不同用戶的信息，可使不同用戶的信號經過適當角度的 FRFT后，得到的分數譜在分數域上是彼此分離的，如圖1所示，從而實現分數頻率的復用。這里將由此原理構成的分數域資源復用方式稱為分數頻分多址(FrFDMA, fractional frequency division multiple access)。

圖1 調頻斜率相同而起始頻率不同的一組線性調頻信號的分數譜

2.2 線性調頻信號與正弦信號在變換域的對偶性

將線性調頻信號 c(t)和正弦信號 s(t)的表達式分別建模為

其中，A1、k、ω0、T分別為線性調頻信號c(t)的幅度、調頻斜率、起始頻率(亦為正弦信號頻率)以及持續時間，A2是正弦信號s(t)的幅度。

首先，考察該線性調頻信號和正弦信號的頻譜特性。根據FT定義可知，式(7)中線性調頻信號c(t)頻譜C(ω)的最大幅度和頻帶范圍分別[9]為

進而得到c(t)頻域帶寬為B=T|k|，則其時寬帶寬積 TB=T2|k|。計算表明[9]，當 TB＞10時，信號c(t)有95%的能量在式(9)所示的頻帶范圍內，其頻譜近似為矩形譜。同理，式(8)中正弦信號s(t)頻譜S(ω)的最大幅度和頻帶(以第一過零點為例)范圍分別為

且S(ω)呈沖激函數特性，包絡為sinc函數。那么，可得s(t)頻域帶寬為B′=4π/T。下面進一步考察上述線性調頻信號與正弦信號的分數譜特性。

根據 FRFT與時頻分布的關系可知[2,10]，當FRFT旋轉角度滿足α=-arccot(k)時，式(7)所示線性調頻信號 c(t)在該角度分數域上能量最佳聚集，可得其分數譜為

于是，有

因此，線性調頻信號c(t)在α=-arccot(k)分數域上分數譜幅度的最大峰值為

進一步地，c(t)分數譜(以第一過零點為例)在α=-arccot(k)分數域占據的范圍為

那么 ，c(t)在 α=-arccot(k)角 度分 數域帶 寬為Bu=4π|sinα|/T。

此外，根據式FRFT定義，式(8)中正弦信號s(t)的α=-arccot(k)角度分數譜為

其中，積分上、下限分別為

利用下述菲涅爾(Fresnel)積分定義和性質[9]：

于是，式(17)可進一步改寫為

則正弦信號s(t)分數譜的幅度特性為

且s(t)分數譜在α=-arccot(k)角度分數域上占據的范圍為

那么，s(t)在 α=-arccot(k)角度分數域上帶寬為B′u=T|k||sinα|。根據前述線性調頻信號的頻譜特性可知，當 T Bu′＞ 1 0時，正弦信號 s(t)就有 95%的信號能量在式(25)所示的分數域范圍內，且其分數譜近似矩形譜。通常 T Bu′? 1，此時 C(x1)、C(x2)、S(x1)、S(x2)的函數值在0.5附近波動。則由式(24)可知，正弦信號s(t)分數譜的最大幅度為

圖 2給出了線性調頻信號 c(t)和正弦信號 s(t)在頻域和分數域的對偶特性。

圖2 線性調頻信號與正弦信號分數譜在頻域和分數域的對偶性(sin α＞0)

基于前述分析可知，線性調頻信號和正弦信號在頻域和分數域的對偶性體現為：線性調頻信號在頻域(或分數域)的頻譜(或分數譜)與正弦信號在分數域(或頻域)的分數譜(或頻譜)具有相似的分布特性。此外，線性調頻信號的頻譜(或分數譜)帶寬參數與正弦信號的分數譜(或頻譜)帶寬參數僅相差一個與FRFT旋轉角度α有關的因子sinα；而其頻譜(或分數譜)幅度參數與正弦信號的分數譜(或頻譜)幅度參數則相差一個因子，如圖2所示。

3 信號波形協同系統原理及參數分析

3.1 系統原理

前述分析表明，利用線性調頻信號與正弦信號的變換域對偶性，可以在傳統正弦信號通信波形上疊加與其頻譜中心完全重疊且能量相等的線性調頻信號波形來傳輸不同用戶的信息，并通過優化信號參數設計使兩者在變換域(頻域或分數域)呈現出最佳的能量聚集差異性，從而可以分別在頻域和分數域利用濾波處理實現2類用戶信號波形的提取，進而達到提高頻譜效率以及增加系統容量的目的。圖3以FDMA為基礎給出了系統原理。圖中 di(t)和(t)分別表示FDMA系統第i個用戶發送和接收判決的信息比特?！? t)和′( t)則分別表示FrFDMA系統第i個用戶發送和接收判決的信息比特，i=1,2,…,M。結合圖3所示，系統信號參數滿足以下3個條件。

1) FDMA系統第i個用戶信號(正弦信號)的頻率與FrFDMA系統第i個用戶信號(線性調頻信號)的中心頻率相同，且兩系統的用戶信息具有相同的帶寬，i=1,2,…,M。

2) FrFDMA系統第i個用戶信號與FDMA系統第i+1個用戶信號的頻譜不存在混疊，i=1,2,…,M。

3) 對于 FDMA系統而言，FrFDMA系統第 i個用戶信號在FDMA系統第i個用戶信號頻帶內的能量足夠小，能夠保證利用頻域濾波可以有效提取出 FDMA系統用戶信號，而有效地抑制 FrFDMA系統用戶信號，i=1,2,…,M。

可見，圖3所示信號波形協同通信系統的發送信號為M路正弦調制信號與M路線性調頻調制信號的疊加，且兩者分別攜帶著不同用戶的信息。圖3(b)給出了系統接收端的結構。

在接收端，首先對接收信號進行混頻，得到正弦調制信號(即FDMA系統用戶信號)和線性調頻調制信號(即FrFDMA系統用戶信號)的混合信號。然后將該混合信號分別在頻域和分數域進行濾波處理，提取出搭載不同用戶數據信息的正弦調制信號與線性調頻調制信號，如圖3(b)所示。最后對提取出的正弦調制信號與線性調頻調制信號分別進行解調從而恢復出用戶數據信息。

圖3 信號波形協同通信系統

3.2 系統參數分析

正弦信號與線性調頻信號在頻域和分數域的對偶性表明，基于頻域和分數域分析得到的系統參數是一致的，因此下面不妨以分數域為例給出系統參數分析的理論結果。根據前述分析，并結合圖3(a)可得信號波形協同通信系統信號的分數譜特性如圖1所示。

在發送端，發送信號是FDMA與FrFDMA系統用戶信號的疊加，且FDMA系統第i個用戶信號與FrFDMA系統第i (i=1,2,…,M)個用戶信號具有相同的分數譜中心。在FDMA系統中，為避免系統用戶之間的干擾，各個用戶信號的子載頻之間通常設置一定的保護間隔，記為ωd。設FrFDMA系統第i與i+1個用戶子載波(線性調頻信號)的中心頻率分別為ωi和ωi+1(0＜ωi＜ωi+1)，不妨以 sinα≥0為例，由式 (16)可得這2個用戶信號所占分數域區間分別為

那么，FrFDMA系統各用戶信號在分數域彼此分離的理論條件為

進一步地，有

其中，ud為FrFDMA系統相鄰2個用戶分數譜之間的保護間隔。此外，在FDMA系統中，第i與i+1個用戶子載波(正弦信號)不存在干擾的條件為

比較式(29)和式(31)可知，只要取ud=ωdsinα可以同時保證FrFDMA與FDMA系統各自用戶之間不會存在干擾。

此外，由于發送信號是FDMA與FrFDMA系統用戶信號的疊加，且FDMA系統第i個用戶信號與FrFDMA系統第i (i=1,2,…,M)個用戶信號具有相同的分數譜中心。因此在接收端不可能將這2個系統用戶信號完全分離。但由于 FDMA與 FrFDMA系統用戶信號在分數域能量分布特性截然相反，前者擴散，后者聚集，可以優化參數設計，通過分數域濾波盡可能降低兩系統用戶之間的干擾。在分數域濾波處理過程中，把關心提取的FrFDMA系統用戶信號(線性調頻信號)視為期望信號，而將 FDMA系統用戶信號(正弦信號)視為干擾。此時，分數域波處理后的信干比則成為衡量分數域濾波性能的主要指標。

設濾波前 FrFDMA系統第 i個用戶信號與FDMA系統第i個用戶信號的能量分別為Pc、Ps，經過分數域濾波后，FrFDMA系統用戶信號的能量被完全保留，而FDMA系統用戶信號的能量則被大部分濾除，如圖4(a)和圖4(b)所示。根據前述分析，FDMA系統用戶信號的能量在分數域分布在一個較大的范圍內，分數譜近似矩形譜，如圖5所示。由式 (16)和式(25)可得殘留在FrFDMA系統第i個用戶信號(期望信號)分數譜帶寬范圍內的FDMA系統第i個用戶信號(干擾)的能量為

其中，B=T2|k|為 FrFDMA 系統用戶信號的頻域帶寬。那么，分數域濾波前后的信干比(SIR)分別為

根據前述分析，顯然有

結合圖3(b)中的分數域濾波模塊，經過分數域濾波后，FrFDMA系統用戶信號的能量被完全保留，而FDMA系統用戶信號的能量則被大部分濾除，如圖 4(a)和圖4(b)所示。圖4(c)則給出了輸入信干比ηin=0dB時分數域濾波后輸出信干比ηout隨FrFDMA系統用戶信號時寬帶寬積TB變化的情況。由于分數域濾波器濾除的是信號帶外噪聲，當TB≤4π時，干擾全部留在信號帶寬內，輸出信干比等于輸入信干比；而當TB繼續展寬大于4π時，由于帶外噪聲被濾除，輸出信干比將逐漸提高，見式(34)。

圖4 分數域濾波示意圖及濾波后信干比隨FrFDMA系統用戶信號時寬帶寬積的變化曲線

圖4(c)表明，分數域濾波的性能與FrFDMA系統用戶信號的時寬帶寬積TB有關，TB越大，分數域濾波性能越好，即對FDMA系統用戶信號的抑制越好。但為了保證FDMA系統第i個用戶信號不影響FrFDMA系統第i+1個用戶信號，如圖5所示，就需要對FrFDMA系統用戶信號的TB加以限制。

以 sinα≥0為例，由式(16)和式(26)可得，FDMA系統第i個用戶信號與FrFDMA系統第i+1個用戶信號的分數譜在分數域占據的區間分別為

此外，結合圖5可得FDMA系統第i個用戶信號與FrFDMA系統第i+1個用戶信號不發生干擾的理論條件為

進一步地，則有

再由式(34)和式(38)可得

該結果表明，只要FrFDMA系統用戶信號的時寬帶寬積 TB滿足式(39)便可確保分數域濾波能夠實現對FDMA系統用戶信號的抑制；同時，FDMA系統第i個用戶信號不會對FrFDMA系統第i+1個用戶信號造成干擾，i=1,2,…,M。

3.3 仿真驗證

根據前述正弦信號與線性調頻信號在頻域與分數域的對偶性可知，基于頻域或分數域的系統性能分析結果是一致的。由于FrFDMA系統用戶信號與FDMA系統用戶信號相互疊加，互為干擾，為了驗證這2類用戶信號之間的干擾對整個系統性能的影響，下面不妨以圖3中的頻域提取支路為例，并按照圖6所示功能模塊對信號波形協同通信系統的誤碼性能進行仿真驗證。

圖5 信號波形協同通信系統的信號分數譜特性

圖6 系統仿真

設用戶信息碼元寬度為 T，則信息帶寬為Bd=2π/T，取FDMA系統子載頻之間的保護間隔為ωd=Bd/3。根據式(39)可得FrFDMA系統用戶信號時寬帶寬積TB=16π/3。經過頻域濾波后，FDMA系統用戶信號與殘留在其帶內的 FrFDMA系統用戶信號功率之比(即信干比 SIR)為 1.25dB。仿真中的參數設置為：碼元寬度 T=1μs，用戶數量 M=10，第一個用戶的載波頻率為10MHz，子載頻之間的保護間隔為1/3MHz，信號帶寬為1MHz，線性調頻信號調頻斜率為 16π/3。在此參數條件下，信號波形協同通信系統的誤碼特性曲線如圖7所示。可以看出，在信噪比為 10dB情況下，系統誤碼率達到 10-3～10-4數量級，能夠滿足實際應用的需求。因此，在傳統正弦載波通信體制的基礎上，通過信號波形協同及變換域濾波處理可以有效地提高頻譜利用效率，理論上能夠將系統容量提升近一倍。

圖7 信號波形協同通信系統誤碼率曲線

4 結束語

針對有限頻譜資源與迅速增長業務需求的矛盾，利用正弦信號和線性調頻信號在頻域和分數域上能量積聚特性的對偶關系，提出了一種基于信號波形協同的無線通信技術。建立了系統模型，給出了理論分析，并進行了數值驗證。研究結果表明，在傳統正弦載波通信體制的基礎上，通過信號波形協同及變換域濾波處理可以有效地提高頻譜效率，理論上能夠將系統容量提升近一倍，從而為頻譜資源利用日趨緊張的問題提供了一種解決思路。

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