頻率選擇MIMO信道多用戶塊傳輸SCFDE系統的聯合波束成形

徐立洲，姜建，丁盛，王營冠

（中國科學院 無線傳感網與通信重點實驗室，上海 200050）

1 引言

高速無線通信中，信號易受頻率選擇性衰落的影響，在抵抗頻率選擇性衰落的技術中塊傳輸單載波頻域均衡（SCFDE, single carrier frequency domain equalization）[1]憑借峰均比低、對頻偏敏感度低與均衡結構簡單[2]的優點已經成為了可與正交頻分復用（OFDM, orthogonal frequency division multiplexing）相比的寬帶傳輸技術。

多入多出（MIMO, multiple input multiple out-put）技術可增加頻譜效率并提高數據速率，進而提供了在空間上進行分集與復用的形式[3]。在一些頻率選擇性MIMO信道中SCFDE與多天線結合顯示出了良好的性能[4]。為了獲得MIMO信道最佳的分集增益，發射機會采用一些信號處理的方法：當發射端未知信道狀態信息（CSI, channel state information）時，一般使用空時編碼（STBC, space time block coding,）提高接收端的誤碼性能；當發射端已知信道狀態信息時，會利用發射波束成形（TBF,transmit beam forming）來提高接收端的信噪比（SNR, signal to noise ratio）改善接收端的誤碼性能；文獻[5～7]介紹了單用戶場景中由若干中繼節點構成分布式 MIMO時網絡波束成形在平坦衰落信道下的形式以及實現方法，其中，文獻[5]對接收信噪比表達式采用函數分析的方法得到成形系數；文獻[6,7]以最大化接收信噪比為目標使用簡單的最大特征值方式得到成形系數。文獻[8]介紹了頻率選擇性多入單出（MISO, multiple input single output）信道下 SCFDE的波束成形問題，該文以最小化接收誤碼率為目標將波束成形系數分為模值和輻角，用最大化調和平均數（MHM, maximize harmonic mean）的方法得到各個系數的模值，而成形系數輻角與信道輻角相抵消。

最近，凸優化（convex optimization）方式下的分布式 MIMO波束成形得到了快速發展，文獻[9]介紹了凸優化方式下波束成形在不同目標函數與約束條件下優化問題的標準形式與解決辦法。當系統中存在多用戶或多個通信對的情況下，接收節點還會受到來自其他用戶的干擾，此時波束成形用來提高接收處的信干噪比（SINR, signal to interference plus noise ratio）。文獻[10,11]介紹了在多用戶平坦衰落信道下中繼節點構成分布式 MIMO時的波束成形，這些文獻以最小化單節點發射功率或最小化整體發射功率為目標，以接收端滿足給定信干噪比為約束條件建立出二階錐優化（SOCP, second order cone programming）或半正定優化（SDP, semi definite programming）問題，利用內點法（interior point method）求解。

在頻率選擇性信道下，一些波束成形則表現為時域濾波。文獻[12]介紹了頻選信道下中繼構成分布式 MIMO時多用戶單載波系統時域波束成形濾波的結構，該文使用與[10,11]相同的系統模型，通過時域信號分析得到接收端信干噪比，然后解凸SDP問題得到波束成形系數。文獻[13]介紹了 MIMOOFDM系統的時域波束成形，該文通過優化載波信道容量并采用迭代的方法解決優化問題得到時域波束成形系數。

通過對已有工作的了解，發現大多數工作都是建立在平坦衰落中繼分布式 MIMO信道的基礎上，對頻選信道中單載波系統波束成形技術的研究不多，此信道下的研究對象大多集中于OFDM，并且在凸優化的方式下對多用戶聯合波束成形模型的研究也很少。基于這樣的情況，本文希望在以往研究基礎上嘗試建立一個新穎的頻率選擇 MIMO信道下多用戶單載波頻域均衡系統模型，系統包含多組發射接收節點對，其中發射節點配備多天線而每個接收節點只配備一根天線。本文期望解決一個使用波束成形對系統發射端信號進行預處理以使各接收節點判決處信號的信噪比在滿足一定服務質量要求條件下讓所有發射節點總發射功率盡量小的問題。文章首先將頻域波束成形轉化到時域，這樣可使成形系數的數目減少，并在時域建立各個接收節點判決處信噪比的模型，從而使整個問題轉化為二階約束二次規劃問題（QCQP, quadratically constrained quadratic program）。最后通過對QCQP問題的變換與約束條件的松弛，形成一個半正定規劃（SDP）問題，最終完成求解。

本文工作共分為4部分：第2部分介紹頻率選擇性 MIMO信道下多用戶單載波頻域均衡系統波束成形的基本模型；第3部分介紹在已知模型的基礎上將接收節點最小化總發射功率的問題轉換成凸優化問題的方法，并求解此問題獲得系統發射節點波束成形系數；第4部分給出本文的仿真結果及分析；第5部分是結束語。

標記法：[ ]T[]H[]*分別表示矩陣轉置、酉轉置以及共軛；IN表示N×N維單位矩陣；[A]ij表示矩陣A的第i行第 j列的元素；E[]表示取期望；[ ]mod(N)表示對N取模；diag(A)表示對角線元素為向量A的方陣；Tr0[A]表示N×N維方陣A主對角線上元素的和；Trn[A]表示N×N維方陣A第n個子對角線與第n - N 個子對角線上元素的和，其中， n ∈｛0, 1, … ,N -1｝；? 表示kronecker乘積；rank()表示矩陣的秩；?表示對稱矩陣的矩陣不等式。

2 系統模型

本文考慮頻率選擇性信道多用戶場景中的分布式多天線單載波頻域均衡系統。系統包含Nnode組由單個發射節點和單個接收節點組成的通信節點對，其中每個發射節點配備有Nt(Nt≥2)根發射天線；每個接收節點配備有一根接收天線（如圖1所示）。這里每個發射節點發出信息只期望能夠達到與它對應的接收節點上，而每個接收節點收到的由其他非對應發射節點傳來的信息則被認為是干擾。這樣的場景常常出現在蜂窩通信系統若干個小區邊緣范圍中多個基站與多個端機通信的情況時；或者出現在無線傳感器網絡中配置有多個發射天線的若干個信源節點與若干個信宿節點間發生通信的情況時。

圖1 多用戶分布式多天線單載波頻域均衡系統

2.1 頻率選擇性MIMO信道

將本文中的無線信道建模為頻率選擇性空時不相關多入多出MIMO信道。假設第mt個發射節點的第i根發射天線到第mr個接收節點天線間的信道時域沖擊響應記為

其中，mt, mr∈｛0,1,…,Nnode-1｝，l∈｛0,1,…,Lh-1｝，i∈｛0,1,…,Nt-1｝，Lh是最大的信道響應長度。

2.2 發射波束成形

每個單載波發射節點采用塊傳輸方式，如圖2所示。時域被調制的信息構成發射符號向量snnode?其中，snnode(n)，0≤n＜Ns，Ns是塊傳輸長度，nnode∈{0,1,…,Nnode-1}，可以被認為是在第nnode個發射節點上從一個有限的線性符號集合中隨機抽選出的調制符號（線性符號集可以是QPSK、QAM等調制方式的星座圖），其方差為。每個發射符號向量塊首先經過長度為Ns的DFT變換到頻域得到，其中，F為DFT酉矩陣，元素為α, β∈｛0,1,…,Ns-1｝。

圖2 分布式多天線單載波頻域均衡系統的傳輸結構

隨后，發射機對頻域每個載波上的信號根據發射天線的個數分別乘以一個波束成形系數，可以得到所有發射節點上載波中波束成形后的信號序列為：其中，為對應于第nnode個發射節點中第i個發射天線的頻域波束成形系數。然后在各個發射天線上對進行IDFT到時域得到時域發射序列可以看到，前述頻域波束成形可由時域循環卷積波束成形等效：若定義時域波束成形系數，其中，Lw為時域系數的長度（假設每個發射節點中對應于每根發射天線的時域波束成形系數的長度都為Lw），使，其中，zeros(1,)N產生一個長度為N的0序列，那么相應的波束成形可重新表示。首先在每個發射節點的某一根天線上發射波束成形可以表示為

其中，n∈｛0,1,…,Ns-1｝；根據式(2)可得到所有發射節點全部天線第n時刻的波束成形。設

其中，n∈｛0,1,…,Ns-1｝。由式(3)可知，分布式多天線單載波頻域均衡系統所有發射節點全部天線發射信號的波束成形是原始時域信號與時域成形系數的循環卷積。

經過發射波束成形后，各發射節點在每個天線上采用單載波塊傳輸的方式。首先對每個發射向量塊添加循環前綴（CP, cyclic prefix），循環前綴的長度應不小于Lh-1，最終將添加循環前綴的單載波信號經相應天線發射出去。

2.3 接收端處理

任意接收節點接收所有發射節點全部天線發射的信號在節點處疊加，去掉CP后可觀察到接收信號是信道和發射信號的循環卷積。設為第mt個發射節點全部天線到第mr個接收節點在第l個采樣點的信道響應向量，那么：

ynnode(n)為第個接收節點去掉循環前綴后接收到的傳輸塊中的第n個數據，包含一個方差為的高斯噪聲。設

為第noden個接收節點相對于所有發射節點全部天線在整個采樣時間上的時域信道響應；然后再設，分別為第n個采樣時間的發射循環數據塊以及所有發射節點全部天線在第n個采樣時間的所有時域波束成形系數；那么進一步推得式(4)可以轉換為

其中，n∈｛0,1,…,Ns-1｝。式(5)將接收節點接收塊中第n個采樣數據用發射端所有的時域波束成形系數、所有時域信道響應及所有原始發射數據表示出來。

觀察式(5)，可以發現最右側的原始數據是一個LhNnodeLw×1維的列向量，若假設從第一個數據起每Lh個連續數據作為一個單位數據塊，那么每隔Nnode個這樣的單位數據塊的所有Lw個單位數據塊中的數據恰好都是從同一發射節點發出。共有Nnode組這樣的數據塊組合，它們恰好構成所有發射數據。若利用向量行置換將同一發射節點發射數據都排列在相鄰位置，那么就可以將特定接收節點需要接收的有用數據與不需要的干擾分離開來，以做進一步的干擾抑制。設向量行置換矩陣為，那么式(5)可以轉換為

觀察式(9)，顯然第1項是接收節點期望的有用數據，第2項干擾信號，第3項是噪聲數據。

3 分布式波束成形的時域優化

由式(9)可以得到接收信號解調處的信干噪比為

其中，Rdata、Rinter、的形式分別可以表示為

在接收端希望每個接收節點滿足給定最低的服務質量要求，此處服務質量由每個接收節點解調處的信干噪比表示；在此基礎上使所有發射節點總發射功率達到最小。如此，整個問題可被描述為一個優化問題：

將式(10) 帶入式(14)，可以得到：

式(15)描述的問題中目標函數是一個二階凸函數，但約束條件可能沒有凸性。將約束條件進一步變換，可以得到：

這里nnode=0,1,…,Nnode-1。觀察式(16)，發現它為二階函數。聯系式(15)中的目標函數，可以定義整個優化問題成為一個二階約束二次優化問題。進一步，若式(16)中的矩陣為半正定矩陣，那么約束條件會具有凸性[14]。但由于信道的隨機與不確定性不能保證此矩陣半正定，因此約束不是凸函數，那么式(15)就不是凸優化問題，這使問題的求解變得困難。如果令X=ΨΨH，可以將原始問題轉換為

X≥0,

rank(X)=1

由式(17)可以發現若將rank(X)=1約束條件松弛，式(17)可成為凸SDP問題，從而可以利用文獻[14]中內點法求解(17)獲得X。利用X，可以建立出原始問題解的下界。最后利用文獻[15]中的隨機化方法（randomized techniques）可從X中取得等效時域波束成形系數。

4 仿真與分析

本文通過蒙特卡洛仿真對所提出的頻率選擇性MIMO信道多用戶單載波頻域均衡系統波束成形進行驗證。系統參數為：SCFDE傳輸塊長度Ns=64，用戶數設為2或3對；對應不同的用戶數，每個發射節點天線的數量分別設為2、3和4根，則系統共有6種配置。每個發射節點上的每根天線到任意接收節點間的信道采用5徑瑞利衰落信道模型，能量成指數分布，可分徑之間統計獨立。所有接收節點采用相同的目標信干噪比閾值，在每個接收節點上仿真實現1 000組實際的信道響應來獲得發射節點發射功率的平均值。設每個發射節點數據的功率=100，并且假設所有接收節點收到噪聲的功率相等為=1。

由于等效時域波束成形系數的長度與單載波傳輸塊長度無關，那么可用仿真確定在指定信道條件下與不同發射接收節點對配置下等效時域波束成形系數的合適長度。首先將接收節點目標信干噪比閾值設為12dB；然后設置不同的等效時域成形系數的長度觀察所有發射節點的總發射功率。圖3給出了等效時域波束成形系數長度變化導致總發射功率變化的情況。由圖3可知，隨著等效系數長度的增加，各種發射接收配置下的總發射功率表現為收斂。并且總發射功率收斂時等效時域波束成形長度遠小于單載波系統傳輸塊的長度。進一步，圖 3還說明不同發射接收節點對配置下總發射功率的收斂值不同。當所有發射節點總發射功率收斂時可以確定出不同發射接收節點對配置下合適的等效系數的長度。這里令 Lw= 3 5為合適的時域波束成形系數的長度值作為對所有配置下的仿真參數。

圖3 不同等效時域波束成形系數長度下所有發射節點發射功率(SINR=12dB)

進一步，利用上述等效時域波束成形系數的長度本文對不同目標信干噪比（SINR）下所有發射節點的總發射功率進行仿真。圖4給出了不同發射接收節點對配置下接收節點不同目標信干噪比（SINR）時所有發射節點的總發射功率。由圖可見隨目標SINR的增加，所有發射節點總發射功率會增加；當發射天線數確定并固定接收節點的目標SINR時，隨發射接收節點對數的增加，所有發射節點總發射功率會增加；進一步，當發射接收節點對數一定并固定接收節點目標SINR時，隨發射天線數減少，所有發射節點總發射功率也會增加。

圖4 不同目標SINR條件下所有發射節點的發射功率

雖然本文并沒有給出發射節點波束成形系數的確切表達式，但利用本文方法獲得的結果可得到滿意的結論：首先，當接收節點目標 SINR要求提高時，所有發射節點會發射更大的功率來滿足要求；其次，當通信場景有新節點對加入時，整個系統的干擾變得嚴重，那么發射節點發射的總功率會增加來滿足接收節點QoS的要求；最后，當新節點對加入到通信場景中，為了滿足接收節點 SINR要求，并且不希望所有發射節點發射功率增加，系統可通過增加發射節點天線數來降低發射功率并滿足QoS要求。

5 結束語

本文分析了頻率選擇性信道多用戶場景中分布式多天線單載波頻域均衡系統的波束成形問題。首先將頻域波束成形轉化到時域，使等效時域波束成形系數長度小于單載波系統傳輸塊的長度，進而在時域建立出接收節點判決處信噪比。本文要解決設置發射節點處的波束成形系數并在所有接收節點滿足給定服務質量要求的條件下使所有發射節點的總發射功率最小化的問題。在凸優化的方式下，文章將問題原型描述成了二階約束二次優化（QCQP）問題；通過對約束條件的松弛，整個問題可轉化為一個半正定（SDP）問題，最終通過內點法求解。仿真結果表明在整個問題可解的情況下可得到滿意的結論：發射節點的總發射功率隨系統設計的接收信干噪比閾值、發射接收節點對數以及發射節點天線數的不同設置呈現有規律的變化，為相關的系統設計提供了參考。

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