小波包變換用于雙模噪聲的信號檢測

吳雪蓮， 山拜·達拉拜

（新疆大學 信息科學與工程學院，新疆 烏魯木齊 830046）

0 引言

非高斯噪聲在信號分析和處理中具有重要的應用和研究價值。在通信和控制系統中，非高斯是比較常見的噪聲信號，傳統的信號檢測辦法是將其看為高斯噪聲來處理，這在部分情況下是準確的，但是由于現代通訊科學的發展，無線電發射和接受設備的增加，功率源的增加，若是將干擾的噪聲視為高斯噪聲來處理，就會是檢測結果不準確，很可能會破壞接收機的性能。研究一類非高斯噪聲——雙模噪聲中的信號的檢測與識別問題，將小波包良好的時頻分析性能用于雙模噪聲背景下信號的識別和檢測，并將此方法與經典檢測系統的性能做了比較，實仿真結果表明，小波包方法優于經典檢測系統方法。

1 雙模噪聲的模型分析

實際中，噪聲通常是混合噪聲，它們或許是雙模的或許是多模的。雙模噪聲它是一種簡單混合噪聲，其研究方法要比高斯噪聲復雜一些，但是可以代表混合噪聲的一些特性。下面要研究高斯過程疊加均勻相位振蕩過程以及高斯過程疊加碼間干擾過程。首先看一下雙模過程主要有3種簡化模型[1-2]。

1)高斯過程G加均勻相位振蕩過程Acosφ，概率密度為：

式中，σ是高斯分量的方差，萊斯衰落信道中的總噪聲可看成雙模噪聲。當然，萊斯衰落信道中的噪聲可以分為兩種情況：①均值不為零的高斯噪聲，即高斯噪聲迭加固定相位振蕩波；②雙模噪聲。

2)高斯過程G加碼間干擾過程a(t)=±a，其概率密度函數為：

當a＜σ/3時，可以把它等效為高斯過程。3)當a＞2σ時，概率密度可以寫成：

式中，Φ(x)為標準正態分布，sign(x)為符號函數。當然，如果模型1中時，模型2中a＜σ時，概率密度函數只有一個峰值，此時可按功率相等把雙模噪聲等效為高斯噪聲。

2 小波基本原理

小波分析是20世紀80年代后期形成的一個新興的數學分支，它是建立在泛函分析、調和分析、傅里葉分析基礎上的時頻原子。其在時域和頻域同時具有良好的局部化特性和多分辨率特性，常被譽為“數學顯微鏡”[3]。小波包是由 Coifan、Meyer及Wickhauser引入的。他們在研究正交小波基的基礎上創立了正交小波包的概念，后來又發展到半正交小波包和廣義小波包[4]。將小波變換用于雙模噪聲背景下的信號檢測，得到一個小波包信號檢測系統并將其與經典檢測系統進行比較，檢測結果有一定的提高。

2.1 小波變換基本概念

對于任意函數f(x)∈L2(R)的連續小波變換[5]：

式中，a是尺度參數（頻率信息），b為位置參數（時空信息），ψ(x)為小波母函數，且

頻域上則有：

2.1.2 小波包變換

正交小波包，粗略的可以理解為是一函數族，由它們可構造L2(R)的標準正交基庫，從此庫中可以選出L2(R)的許多組標準正交基庫，通常正交小波基使其中的一組。小波函數是小波包函數組中的一個。所以小波包是小波函數的推廣[5]。

設{hn}n∈Z是正交尺度函數φ(t)對應的正交低通實系數濾波器，{gn}n∈Z是正交小波函數ψ(x)對應的高通濾波器，其中gn=(-1)nh1-n，則它們滿足以下兩尺度方程和小波方程：

通過φ(t)、ψ(t)、g、h在固定尺度下可定義一組稱為小波包的函數[6-7]。

小波包可以用一個完全的二叉樹來表示：其中二叉樹左，右子樹上的系數分別是g和h。

從多分辨分析的角度來看，小包分析就是對L2(R)進行正交和分解，即：

而小波包是對小波空間Wj進行更精細的分解，使得在新的標準正交基下，能夠對包含大量細節的信號進行更好的時頻局部化分析[8-9]。

2.2 模型1,2,3的高斯化分析

對上文提到的雙模噪聲進行小波包變換，來觀察一下這種方法的高斯化效果。

2.2.1 模型1的高斯化效果

高斯噪聲加均勻相位振蕩過程，其中，高斯噪聲均值為 0，方差為 1，均勻相位振蕩過程為2.5cosθ(t)，概率密度為式（1）。

這里選用sym15小波波函數和log energy熵，分解尺度為5，選用100 000個采樣點，圖1列出了模型 1的小波包變換系數在子空間[2,1]的概率分布的直方圖。由圖1可以看出很接近高斯分布。

圖1 模型1的小波包變換系數在子空間[2,1]的概率分布的直方

2.2.2 模型2的高斯化效果

高斯噪聲叫碼間干擾過程，b(t)=±b,b=1.5，±b的概率均為0.5，高斯噪聲均值為0，方差為1。概率密度函數為式（2），選用db20小波波函數和log energy熵，分解尺度為5，選用100 000個采樣點，圖2列出了模型2的小波包變換系數在子空間[2,2]的概率分布的直方圖。圖 2反映出在[2,2]子空間上的高斯化效果比較好。

2.2.3 模型3的高斯化效果

在模型 2中當a＞2σ時，模型 2就為模型 3即，b(t)=±b,b=2.5，±b的概率均為0.5，高斯噪聲均值為0，方差為1，概率密度函數為式（3），選用sym15小波波函數和log energy熵，分解尺度為5，選用100 000個采樣點，模型3的小波包變換系數在子空間[2,2]的概率分布的直方圖。同樣，在此空間上高斯化效果很好，如圖3所示。

圖2 模型2的小波包變換系數在子空間[2,2]的概率分布的直方

圖3 模型3的小波包變換系數在子空間[2,2]的概率分布的直方

3 小波包檢測系統的系統模型

考慮二元檢測假設檢驗問題：

式中，x(t)是已知的確知信號，s(t)是以上提到的非高斯噪聲。

假設i尺度上某一子空間的信號的小波包變換是：是根據有用信號的大致的頻率分布來決定需要分析輸出的子空間的編號，Wx是信號的小波包變換。對應的在相應子空間上噪聲的小波包變換為Wsj(k)，j=1,2,…,N＜2i。信號檢測過程如圖4所示。

圖4 信號檢測過程

有前面的分析，設

那么，判決準則為：

4 數據仿真及結果分析

根據圖4，分析在虛警概率為0.01時模型1的小波包變換檢測系統和經典檢測系統的檢測概率。

信號的占空比為0.5，長度N=172-2，噪聲s(t)是雙模過程（模型1）。圖5是信噪比和檢查概率曲線，小波包變換的檢測效果要優于經典檢測系統的檢測結果，當信噪比是10 dB的時候，小波包檢測系統的檢測概率幾乎達到了 1，而經典檢測系統的檢測概率不到0.85。

圖5 檢測概率

5 結語

傳統的信號處理理論一般是建立在高斯噪聲基礎上的。但是在實際問題中這種假設往往難以滿足要求。利用小波包的良好的時頻分析能力，將小波包變換應用于雙模噪聲背景下的信號檢測與識別的問題，將3種雙模噪聲在一定的尺度下進行小波包變換，將其在該尺度上等效為高斯噪聲，此時就可以用經典的信號檢測于識別的方法進行信號的檢測與識別。實驗的仿真結果圖5證明該方法優于經典的信號檢測方法，此方法有一定的使用價值。

[1] 黃玉劃，山拜·達拉拜.雙模噪聲中號的檢測[J]. 電路與系統學報，2002,7（01):37-40.

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