國際大學生數學建模競賽培訓策略的一些探討

柴中林 王航平 王義康 趙承業 劉學藝

（中國計量學院理學院 浙江 杭州 310018）

數學建模競賽起源于美國，第一屆數模競賽于1985年在美國舉行[1-2]。在這個賽事影響下，國內諸多數模競賽，如全國大學生數學建模競賽（以下簡稱國賽），蘇北地區數學建模競賽等都轟轟烈烈的開展起來[1]。然而，在國際上影響力最大，真正稱得上國際數學建模競賽的仍是美國大學生數學建模競賽（以下簡稱美賽）。這不僅因為該項賽事舉辦最早，還因為它參加的隊伍最廣泛，影響力也最大（2011年有17個國家和地區的3509支隊伍參加了該項比賽）。因此，美賽一般的也稱為國際大學生數學建模競賽。但相對于國內數學建模競賽，對美賽培訓方式方法的研究不多。該項賽事畢竟有著一些不同于國內競賽的地方。筆者結合我校在美賽中的實踐，與國賽相比較，擬在這方面做一些探討。

1 美賽特點分析

1.1 題目的開放性

數模競賽的題目必須開放，但美賽題目相對于國內競賽更加開放。國賽題目一般是對一些有意義且有價值的實際問題經過適當簡化加工而成[2-3]，故其解決問題的思路和模型大致可以確定。美賽賽題也來源于實際問題，但問題對社會的涉獵面更廣，與社會的聯系更貼切，加工的味道更淡，僅是對有意義的那些實際問題提煉出若干具有明確要求的問題而已，其包含的不確定性更強。美賽賽題的開放性主要表現在以下幾個方面。一是美賽賽題要解決的問題具有更多的不確定性，可以從多種角度對之進行研究。二是美賽賽題一般都不提供數據，但會提供幾個涉及相關數據的網站，讓大學生自己從中去查找數據，選取數據。三是美賽賽題在模型假設上更加開放。對于許多國賽題目，雖可提出不同的假設，但合理的模型假設就其實質內容來講不會有大的差異，但美賽題目則不然，可以提出大相徑庭的假設。四是美賽賽題在模型上更多樣，根據問題研究的角度和假設的不同可以構造出不同但都很合理的模型。

1.2 解答的多樣性

對于國賽，雖然題目不設定標準答案。但對于大部分題目來講，由于數據給定，問題經過加工之后已有比較明確的解題方向和適用模型，從而其結果也是大致確定的，但美賽則不然。由于美賽中的問題可以從多種角度進行，可以形成多種類型的模型，數據也是根據自己的需要選取的，這就使得美賽題目的結果更多樣。美賽題目所得結果的多樣性不僅表現在不同優秀論文所得結果的數值不同，還表現在這些結果所表征的問題的特征也不同。

現用2011年的兩國賽題來說明。2011年國賽本科組的兩個賽題是“城市表層土壤重金屬污染分析（A題）”和“交巡警服務平臺的設置與調度（B題）”。兩個題目都給出了數據，并且不難發現針對題目的合理的模型假設不會有實質性的差異。此外，針對兩個題目所建立的合理的模型也不會有太大的差異，從而使得在相同數據下所得的合理的模型結果也不應有大的差異。2011年美賽的賽題有三個：“滑雪賽道的設計（A題）”，“中繼器的協調配置（B題）”和“電動汽車的廣泛使用在經濟和環保上的可行性 （C題）”,三個題目都沒有數據。我們以C題為例來分析。對“電動汽車的優勢和廣泛使用的可行性”的討論可以從多種角度進行，如宏觀的角度，或具體的汽車品牌來做分析。對影響問題的諸多因素，如電動汽車的方便性，技術進步程度，對環境的污染程度以及政府的支持力度等均可形成許多合理但又很不相同的假設。因而，針對問題可以建立多種模型，如種群競爭模型，多項式模型和優化模型等，從而結果不僅數值多樣，角度也多樣。

1.3 討論的透徹性和內容的連貫性

對一個數模題目，可以建立不同的模型，這些模型可以有優越程度的差異。然而，一個好的模型的價值并不是當它建立起來就夠了。一個好的模型的價值是在對多種情況的適應性分析的基礎上被反映出來的，這就需要討論。尤其是美賽，開放性很強，在不同假設不同情況下其模型的結論差異很大，必須利用模型對相關的各種情況進行討論，并對模型的靈敏度和優缺點進行分析。這是因為這些情況每一種都會發生，而未來或實際問題中發生哪種情況是未知的。此外，美賽的評閱者認為，做數模題目相當于做一個小科研項目，是為了解決實際問題的。而問題的實施者和決策者對數學和模型常常并不精通。所以，單純的擺出模型是不能被他們所理解和接受的，只有通過模型對各種情況的透徹的分析和討論以及從中自然的得到的結論才是他們所易于接受的。

一個建模隊伍通常是由三人構成的。然而對于比賽的三個人來說，他們的能力是有差異的，長處也各不相同，而一個賽題中的多個問題以及論文的寫作等又使得三個人必須進行分工，這就會使得最終出來的論文出現不連貫現象，似乎是幾塊不太相關的內容的拼接。這種現象是美賽評閱者所忌諱的。美賽要求論文內容的前后必須一致連貫，沒有相互拼湊的痕跡，并將它作為論文評級的重要標準。

1.4 美賽賽題風格，論文的格式和規范

數學建模需要在對實際問題做適當簡化和處理的基礎上建立模型，這就需要熟悉問題的背景和特點。早期的美賽題目許多來自于美國的社會與生活，如2005年的 “水災計劃”和“收費亭”賽題。這就使得不熟悉美國社會特點的中國學生難以入手，常常得到一些不切實際的結果。現在美賽在題目上美國味淡了一些，但了解美國社會特點對美賽來說仍是有幫助的。

美賽論文的格式是科研論文格式與數模競賽特點的結合體，通常由摘要、問題分析、模型建立等構成，其格式與國賽并無大的差異，甚至在要求上相對于國賽更寬松，但卻要求采用的格式使得論文層次分明，邏輯嚴謹，可讀性強。然而，對于缺少論文寫作方面的訓練，又用非母語的語言進行寫作的中國學生來說，這種看似寬泛實則嚴謹的格式要求反而使學生無法適從，將論文的結構弄的很糟。

數模論文摘要對國賽很重要，對美賽更重要。美賽的論文評審分幾輪進行，其中第一輪應該是形式審查和摘要審閱。而當論文的摘要很差時，評審者會基本不看后面的內容就把論文定為參賽級，這就使得后面的內容再好也沒有用處。美賽摘要有一定的字數限制，其語法要正確，文字表述要流暢，涵蓋了論文的分析，模型和結果等主要內容，同時要打動人心。它不僅對第一輪評審很重要，對論文的最后評級也有重要影響。

1.5 文獻的引用

在做數模題目中，必然要看一些文獻，用一些文獻，于是在論文的后面就要寫上參考文獻。對于國內的數模競賽，一些人覺得參考文獻是無足輕重的，其表現是文章后面的文獻引注的不規范，不全面，數量也少，而評審者一般也不計較。但美賽論文屬于國際范圍的研究論文，就不一樣了。當文章中用到了前人的數據，結論等內容，就要將相應的文獻標上，否則就會被認為是學術不端行為，輕則影響競賽成績，重則會取消競賽資格。此外，美賽的評委大部都不懂漢語，所以最好引用那些來自于英文期刊和國際網站上的文獻。

1.6 英文寫作

參加美賽，提交的論文是英文，就要用英文進行寫作。對于一般的大學生而言，要用英文表達自己的意思并不容易，何況要對自己做的大段的研究內容用英語書寫出來。如何讓學生在短短的時間內基本熟練的運用英語進行寫作，并不是件容易的事情。

2 我們的培訓方法

2.1 學生的選拔和培訓時間的安排

美賽在二月里進行。根據國賽和美賽的時間特點，我們的美賽是在國賽的基礎上進行的。國賽在九月舉行，十一月成績就出來了。我們參閱學生們的國賽成績，以及他們的潛質，結合本人自愿，從中選出部分學生來參加美賽。我們的選拔在十一月份進行，月底就開始培訓，在臨近期末進行全面考試時就告一段落。寒假再抽出兩周左右的時間繼續培訓學生。當然，所有訓練都在業余時間進行，每周周末的培訓也只占用一天時間。事實上因為參賽學生有國賽的經歷，數模競賽的知識和能力都已具備，所以美賽的培訓就是熟悉美賽的風格，英文寫作能力的提高以及建模能力的恢復和訓練上，并不需要花太大的力氣。

2.2 學生的激勵

學生做數模競賽是件艱苦的事情：要犧牲多個節假日參加補課、培訓、做練習。而美賽就更艱苦了：比賽在寒假里進行，難以在家里過一個完整舒適的春節，比賽時間還是四天四夜。因此，要讓學生順利的完成比賽，必須對他們進行激勵。我們的做法是除了在選拔學生上選擇自愿參加的那些優秀學生外，還一開始就告訴學生要信守承諾，堅持到底。當然，對參加美賽的意義，進一步實現自我的人生價值和榮譽感等也是要宣傳的。此外，還多關心學生的疾苦。有了這些，學生的責任心和榮譽感被激發出來后，將比賽進行到底。

2.3 美賽內容的訓練

美賽賽題如同國賽賽題一樣，其研究不能偏離問題的要求而進行。此外，美賽題目的開放性，結果的多樣性和討論的透徹性更利于學生聰明才智、創新理念和解決實際問題特性的展現，這也符合美賽對研究的原始性和創造性的要求。對此，我們的做法是在培訓的一開始，就將前面幾年的一些優秀論文及評判者的意見編纂成冊，使參賽學生人手一本。通過對若干優秀論文和評審者的意見的研讀使學生真切的了解美賽的風格和特點，定好美賽論文的基調，體會這些優秀論文不同于其他論文并所以獲得優勝獎的原因。再通過幾次具有美賽風格的題目的訓練以及對論文中出現的問題的討論就能使學生逐漸了解并掌握美賽的風格和特點了。

例如對于美賽題目的開放性和結果的多樣性，我們認為要根據賽題選自己熟悉的或適合自己的角度去做，不必追求全面和多角度，要有自己的想法，要在自己選擇的角度下進行嚴格認真的分析和研究，不能隨便切換角度。在研究中可以有文獻，但要理解文獻，在文獻的基礎上結合問題特點有所發展。當模型結果合理時分析其原因和應用價值，當模型結果不甚合理時也不加以掩蓋，篡改結果，而是對結果不合理的原因進行分析。不能將模型建立起來就結束了，不追求模型的多樣性和復雜性，而是用建立起來的模型將問題分析的透徹全面。

由于美賽題目的開放性，表現在要討論的問題常常具有多樣性和不確定性，故常常需要模擬和仿真。因此我們加強對蒙特卡羅算法等的仿真訓練，以適應美賽的風格。

2.4 文獻的查閱、引用和英文的寫作

因為是美賽，查閱文獻的能力更重要，而且盡可能看英文文獻。從題目給定的網站或文獻中查閱資料，從中篩選出對自己有用的資料。對于參考文獻，我們要求學生了解它的意義。對于用到的重要文獻，隨時進行記錄，以便最后成文時不被遺露。此外，美賽雖要求用英文表述，但對文辭的要求并不高，只要能基本的表達清楚含義即可。而科技性的文章以陳述的句式為主，不需要華麗的修辭文字。因此，對于有一定英語功底的學生，只要讓學生熟悉英文的幾種常用句式，科技文獻的寫作特點，再輔一定的練習即可掌握。為此我們要求學生一開始就用英文寫作，幾次練習之后學生的英文表達能力就上來了，當比賽時就可以用英文進行寫作了。

2.5 寫作格式和學生間的協調

相對于國賽，美賽在格式上有所側重，既要求論文層次分明，也講究圖文并茂，賞心悅目。為外在論文的內部，我們建議學生適當的插入一些輔助說明性圖片，將模型的一些結果用圖的形式加以顯示，并輔以分析討論，以增加文章的可讀性。

美賽論文的格式很重要。鑒于學生缺乏論文寫作方面的訓練和用英語寫作，我們的做法是先給出一個適合我們學生的模板，并通過優秀論文的研讀使學生了解這個模板的特點和合理性。學生在這個模板基礎上做論文就容易掌握美賽寫作的格式了。至于摘要的寫作以及論文連貫性、可讀性的提高則是需要花大力氣通過討論和多次練習逐漸提高的。

在協調性上，要求學生多做討論。學生間的討論不單在選題上，分工上，疑難問題的共同分析和處理上，還在相互分工的交叉銜接上，對問題研究的角度和符號運用的一致上等。使學生在這些方面都協調一致，整個論文就會前后連接一致，沒有明顯拼湊的痕跡。

在美賽組織的其他方面，如宣傳，學生的組隊和管理，學習能力的訓練和提高上，已有多位學者進行過討論[4，5]，這里與他們并無大的差異。

3 實踐效果

我校是2010年開始組隊參加美賽的，當年參賽隊伍有7支，其中2支取得了一等獎。2011年有9支隊伍參賽，其中5支隊伍取得了一等獎，2支隊伍取得了二等獎。而2012年有12支隊伍參賽，全部獲獎，其中3支隊伍取得了一等獎，9支隊伍取得了二等獎。

［1］謝海.淺析數模競賽對數模文化建設的推動作用[J].中國電力教育，2010（1）：159-160.

［2］李喬祥.大學生數學建模競賽的宗旨淺析[J].高等理科教育，2005（5）：123-126.

［3］謝金星.科學組織大學生數學建模競賽 促進創新人才培養和數學教育改革[J].中國大學教學，2009（2）：8-11.

［4］王順芳.如何在備戰數學建模競賽中提高大學生的綜合能力[J].高等理科教育，2009（5）：84-87.

［5］王義康，王航平.數學建模競賽培訓策略研究[J].重慶科技學院學報：社會科學版，2010（3）：196-198.