新編經濟應用數學課程教學定位改革探索

◆馬廷強 曾憲祖 丁九桃 辛桂鳳

(云南經濟管理職業學院基礎部)

新編經濟應用數學課程教學定位改革探索

◆馬廷強 曾憲祖 丁九桃 辛桂鳳

(云南經濟管理職業學院基礎部)

一、課程教學原則

課程教學原則是“定位高職、注重直觀、弱化抽象、淡化技巧、強化應用”;不僅強調經濟應用數學的職業性特點，而且關注經濟應用數學的育人功能，有效解決課程學時少與學生生源多樣的問題。教學內容的先進性和教學方法的先進性并行，探索和解決以下數學教學中的主要矛盾:

1.課程學時少而教學內容多。教師可根據專業特點和生源的差異靈活組織教學。例如，布置課堂作業不必統一要求，可分為全班學生都要完成基本題和要求部分學有余力的同學完成的提高題，堅持分層次教學。

2.注重教學方法而忽視學習方法。教師要靈活運用發現法、歸納法、啟發式等直觀的教學方法，特別注意發揮學習優秀的學生的示范作用。對較難理解的內容采用直觀易懂的講法，讓學生了解本質、強化分類、簡單高效的掌握基本的計算方法(極限運算、求導運算、積分運算)。

3.強調應用價值而忽視育人功能。教師要展示數學知識的形成背景和對現實世界的影響，有利于發揮數學課程的育人功能，激發學生的學習興趣和提升數學應用的能力。

二、數學文化教育素材和教學定位

數學的人文精神表現在:通過學習數學史，培養堅韌的意志和品質;樹立正確的人生觀，培養愛國情懷;理論聯系實際，培養責任感;實踐獲真知，倡導追求真理的實踐精神。受過高等數學教育的人和沒有經過這種教育的人的區別，在于前者在分析定量問題時，總是用一些數學理論作為參考系，從而保證了分析定量問題時的科學性、系統性和一致性;表達有條有理，簡明干練。既有人文素質又有科學素質的人，做什么工作都讓人覺得像模像樣。

1.經濟學中常見的數學模型——經濟函數

函數(function)一詞最初由德國數學家萊布尼茲1692年開始使用，1859年清代李善蘭(浙江海寧人，近代著名的數學、天文學、力學和植物學家，中國進行微積分運算第一人，稱他為中國近代科學的奠基人可謂名至實歸)第一次將“function”翻譯成“函數”。最常見的經濟函數及其模型有:需求函數、供給函數、收益函數、總成本函數、平均成本函數、利潤函數、復利問題和貼現問題等。

學習經濟學中常用的函數時，要注意它們之間的內在聯系。例如，類似于力學的均衡概念，分析通過市場讓需求函數和供給函數之間達到平衡，則得到市場均衡價格。價格函數是需求函數的反函數。收益函數主要由價格的變化而確定。利潤函數有三種情況，盈利、虧損和盈虧平衡(保本)。關于函數概念的理解，特別要認識復合函數的結構，明確從外向內的復合過程，并把復合函數分解為簡單函數的過程進行到底。

2.無限變化的函數模型——極限與經濟函數

微積分學的研究對象是變動的量，注重變量的本質和規律，這一點對研究經濟變量非常重要。我們應關注變量的變化過程，更應從變量的變化過程中判斷它的變化趨勢。而要把握這兩個方面都需要借助極限的方法。極限的方法是人們從有限中認識無限、從近似中認識精確、從量變中認識質變的辯證思想和數學方法。“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，出自于《莊子·天下篇》。這十二個子看似簡單，其中卻包含了豐富的內容，它說明兩千多年前的莊子已經初步認識到以0為極限的過程!當然，它還說明古代中國已經有了長度的度量單位和對分數的認識。1821年，法國數學家柯西提出了關于敘述極限的ε方法，用不等式刻畫整個極限過程，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。柯西被人們稱為近代微積分的奠基者。在此基礎上，德國數學家魏爾斯特拉斯(1815～1897)完成了ε－δ方法，擺脫了對極限單純的運動和直觀的解釋。而微積分中的導數、定積分和級數等概念都是用極限來定義的。經濟學中的極限問題有連續復利、人口增長等。

學習極限首先要理解關于自變量變化趨勢的有關數學符號，體會數學符號和術語精確與簡約的優越性，沒有含糊不清或產生歧義的缺陷并清除了傳遞過程中的冗長信息;記住兩個重要極限公式;靈活掌握求極限的方法;注意判斷分段函數在分段點的連續性。

3.經濟分析的基本工具——導數、微分

導數反映了函數的變化率，它在經濟領域中有著極其廣泛的應用。微分則指自變量有微小改變時，函數增量的主部是多少。17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲各自獨立地研究和完成了微積分的創立工作。牛頓從變速直線運動研究微積分(但嚴格的說，自然萬物都偏離了直線而以螺旋的形式旋轉，遺傳基因中DNA、攀援植物的卷須、河水的旋渦、龍卷風、漩渦星云……世界就是一個漩渦，這是大自然醉人的腳步)。萊布尼茲則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念，得出運算法則(最漂亮的數學積分符號“∫”也是萊布尼茲發明的)，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。

微積分是繼歐幾里得幾何學之后，整個數學發展史上的最偉大的創造。正如馮·諾伊曼所言，“微積分是近代數學中最偉大的成就，對它的重要性怎樣的估計都不過分”。特別是微積分基本定理，把微分和積分這兩個貌似無關的問題聯系在一起給微積分以特有的魅力，使得微分和積分成為一個整體，促進一門嶄新的數學學科——微積分的形成。

微積分的奇妙使數學家產生強烈的好奇心。好奇心是科學之母。沒有一個偉大的數學家不是對浩瀚的宇宙懷著極端的好奇心的人。但好奇心需要有支撐它的淵博的基礎科學修養和睿智高雅的判斷能力，需要有專心致志于一件有意味的研究的堅韌毅力;不為偽科學和贗科學所迷惑，而沉浸于一種內心寧靜和愉悅的思考之中。矢志不渝，積以年月，登上科學的崇高殿堂。

4.導數在經濟上的應用問題——邊際、彈性、最值

在經濟學中，邊際是與導數密切相關的一個經濟學概念。邊際分析源于數學中的增量分析，它反映了經濟函數中的自變量發生微小變動時，函數如何隨之變動。邊際分析把導數引入了經濟學，從此，許多經濟現象開始由定性分析轉入了定量分析。西方經濟學家非常重視“邊際分析方法”，把邊際分析方法的發現和應用看成是一場“邊際革命”，自19世紀70年代“邊際革命”興起后，邊際概念(邊際成本、邊際收益、邊際利潤)和邊際分析法立刻廣泛傳播，并構成西方經濟學的重要組成部分。

邊際分析中考慮的是經濟函數的絕對增量和絕對變化率，但在研究實際問題時是遠遠不夠的。我們還有必要研究函數的相對增量和相對變化率，即需求彈性和收益彈性。彈性函數實質上是邊際函數除以平均函數。

學習導數在經濟學中的應用時，要著重理解其經濟涵義。例如，邊際利潤為零時，達到最大利潤。需求彈性表示需求量對價格變化的敏感程度。舉一個實例，生活必需品的價格變化對需求量影響較小，缺乏彈性。適當提價后，需求量不會有太大的下降。學習最優化問題時，要明確目標函數，確定決策變量，這是解題的前提，往往不易掌握。

5.微分的逆運算問題——不定積分

積分學的起源要比微分學早很多。自古以來，面積和體積的計算一直是數學家們所感興趣的問題。萊布尼茲將曲邊形看成無窮多個底邊為無窮小的矩形之和，從而導致了積分的產生。牛頓則從面積的變化率(即導數)入手，通過求變化率的逆過程來計算面積，倆人都得到了積分計算法，又幾乎同時得出了不定積分與微分的互逆關系，提供了計算定積分的一般方法，由此創立了積分學。但是，他們的定積分概念缺少邏輯基礎，嚴格的定積分定義則是由19世紀的法國數學家柯西和德國數學家黎曼建立的。

6.求總量或變化量的問題——定積分及其經濟應用

不定積分是微分法運算的一個側面，而定積分(和式的極限)則是它的另一個側面。不定積分和定積分既有區別，又有聯系。微積分的基本定理提供了計算定積分的一般方法，自此，定積分成為解決實際問題的有力工具。而原本各自獨立的微分學和積分學則緊密地聯系在一起，構成了理論體系完整的微積分學。

定積分在經濟學中的應用表現為邊際函數和經濟函數之間的關系。例如，從邊際成本函數求出總成本函數;從邊際收益函數求出收益函數;從邊際利潤函數求出利潤函數;資金流在連續復利計息下的現值與將來值;消費者剩余與生產者剩余;洛倫茲曲線與基尼系數等。

計算定積分的著眼點是算出數值。因此，除了利用牛頓－萊布尼茲公式計算定積分外，還要盡量利用定積分的幾何意義、求對稱區間上定積分時考慮被積函數的奇偶性。

7.偶然中的必然——隨機事件與概率

法國數學家拉普拉斯是這樣描述概率論的:“一門開始于研究賭博機會的科學，居然成了人類知識中最重要的學科，這無疑是令人驚訝的事情”。三四百年前，在歐洲許多國家盛行賭博之風。參賭者將他們遇到的問題請教當時法國數學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，但他沒有立即回答，而轉交給另一位法國數學家費馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數學問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被來的巴黎的荷蘭數學家惠更斯獲悉。回到荷蘭后，他獨立地進行研究。帕斯卡和費馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現的各種問題，終于建立了概率論的一個基本概念——數學期望。而惠更斯經過多年潛心研究，寫成了《論擲骰子游戲中的計算》，迄今為止，這本書被認為是概率論最早的專著。可以說，早期概率論的創立者是帕斯卡、費馬和惠更斯。這一時期主要研究各種古典概率。例如，購買彩票中獎的可能性有多大?以某地體育彩票為例，經計算，買一注彩票的中獎概率為:

特等獎——0.000001323，一等獎——0.000006614，二等獎——0.00006614，三等獎——0.0005952，四等獎——0.0041667，五等獎——0.05556。

這就是說，每1000注彩票，約有55注中獎(包括特等獎到五等獎)。結論是，買彩票中大獎的概率幾乎為零!

概率論有鮮明的直觀，懂得這一點，有利于理解與想象，為理論的理解和證明提供思路、模型和方法。例如，排列組合實際上是建立在加法原理和乘法原理之上，由此引發出貝努利大數定理(保證事件發生頻率的穩定性，即當試驗次數很大時，便可以用事件發生的頻率來代替事件的概率)、中心極限定理(正態分布在現實世界中大量存在，如一個地區的成年男子的身高、學生期末考試成績、測量誤差、海洋波浪的高度、半導體器件的熱噪聲電流或電壓等)。

8.隨機現象的函數化——隨機變量及其分布

隨機事件可以數量化，即產生了隨機變量的概念。引入隨機變量后，對隨機事件的研究便轉化為對隨機變量的研究，其本質是為了借助微積分及測度來處理隨機現象。由此隨機事件可以用隨機變量的數值來表示，同時把隨機事件出現的概率，用隨機變量取某個值或取某個確定范圍內的值的概率來確定。在概率論中借助變量的思想，引入隨機變量及其相關概念，使之逐漸成為描述隨機現象的主要工具。可以說，隨機變量是從動態的觀點來研究隨機現象。隨機變量以一定的概率取各種可能值，按其可能取值全體的性質，可將隨機變量分為離散型隨機變量和連續型隨機變量兩大類。常用離散型隨機變量的分布有伯努利分布、二項分布、泊松分布。常用連續型隨機變量的分布有均勻分布、指數分布、正態分布等。

隨機變量主要有兩個數字特征:一個是數學期望。引入隨機變量后，數學期望是概率加權平均，它反映隨機變量取值的“平均大小”;另一個是方差，它描述隨機變量取值的“分散”程度。

把樣本看成隨機變量是數理統計的一個基本觀點，由部分推斷總體是數理統計的基本思想。經驗分布函數實際上是事件{ξ≦X}發生的頻率。實際推斷原理(小概率事件原理)貫穿于假設檢驗的始終。未知參數的極大似然估計，就是使要在參數的可能取值中找出對試驗結果最有利(出現的概率最大)的那個參數的取值。線性回歸中求回歸參數的最小二乘估計，其思想也是要使擬合直線最靠近試驗數據點(擬合的偏差平方和達到最小)。

概率統計的理論與方法的應用是很廣泛的，幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產和國民經濟各個部門中。直觀的說，衛星上天、導彈巡航、飛機制造、人口普查、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞。例如，氣象預報、水文預報、地震預報、產品抽樣驗收、機場跑道修建、在新產品研制中試驗設計和數據處理、電子技術發展、在可靠性工程中元件或系統平均壽命估計、在自動控制中數學模型建立、在通信工程中信號抗干擾性和分辨率的提高、通貨膨脹率估計、金融(保險、證券)業風險預測與防范等等都是跟概率論與數理統計密不可分的。

9.矩陣和線性方程組的內容可用“線性方程組為體，矩陣理論為用”來概括。即以矩陣為工具研究線性方程組，把線性方程組的問題轉化為矩陣問題，再用矩陣運算和理論加以解決，最后得出線性方程組的結果。矩陣的性質是在行列式的發展中建立起來的。矩陣和行列式的緊湊表達式和簡化記法是深奧理論的源泉，充分體現了結構好的數學語言的優越性!

本章在教法上不僅要將知識灌輸給學生，更要引導學生重新經歷一次發現利用這些知識用來解決問題的過程。例如以線性方程組方程的個數與解集之間的關系為線索，引出相關的知識，體會前人探究這些知識的原創性的想法和實質。

［1］康永強.經濟數學與數學文化［M］.北京:清華大學出版社，2011，9.

［2］高鴻業.西方經濟學［M］.北京:中國人民大學出版社，2003，1.

［3］顧靜相.經濟數學基礎(第三版)(上、下冊)［M］.北京:高等教育出版社，2011，9.

［4］左平，張飴慈.什么事數學(對思想和方法的基本研究)(增訂版)［M］.上海:復旦大學出版社，2008，3