數學教學中的分類與劃歸思想

韓新社

（武漢船舶職業技術學院公共課部，湖北武漢 430050）

數學工作者面臨的數學問題浩如煙海，也是千變萬化，且新的問題層出不窮。隨著科學技術的發展，人們逐漸使用“題庫”來貯存數學問題，然而要一個人對里面的問題一一作答，恐怕耗盡畢生的精力也于事無補，更何況題庫相對于已有的數學問題其容量也只不過是滄海之一栗。

上述事實告訴我們：在教學中企圖“以多取勝”，師生忙碌于題海之中是不足取的。任何“重知識，輕方法，重結論，輕思想”的作法，也是沒有出路的。

在科學技術高度發展的今天，我們的數學教學一定要適應時代的需要。這就要求我們教師把數學思想、方法貫穿于教學的始終，從而培養學生自覺提出問題并解決問題的能力。最終培養出具有自我發展能力的新型人才。

解決問題所需要的特殊手段叫技巧，技巧只能在某些問題中發揮特殊的作用。解決一類問題可采用的共同手段叫方法。而指導我們解決問題的最深層的精靈就是思想。方法和思想在一定范圍內有通用性。方法要在實踐中不斷完善、創新，而思想則經久閃耀著不滅的光輝。一般說來，技巧累積到規律化的程度就出現了方法，方法升華到通用性的境地就形成了思想。技巧永遠走在方法的前面，而方法永遠是思想的先導，它們都是長期社會實踐的產物。

人類在長期解決數學問題的進程中，總結出了許多解題方法（如待定系數法、數學歸納法等），形成了許多數學思想。形象地說，一個方法就像一把鑰匙，一把鑰匙只能開一把鎖。如待定系數法，僅能解決知道結果形式的問題；數學歸納法只能解決與自然數有關的問題。而數學思想就相當于制造鑰匙的原理。如果把技巧比作交通工具，方法比作交通方式，那么思想就是指示方向的路標和燈塔。解決任何問題無不是在某種思想的指導下進行的。

在教學實踐中，我們深深地體會到：只有用數學思想武裝起來的學生解決問題才有遠見和洞察力，只有把人類積累的思想財富運用于課堂教學的始終，才能使我們的教學朝氣蓬勃，充滿生機。才能叩開學生思維的大門，培養他們的創造意識，才能把課堂變成同學們吐才露華的幸福樂園。

1 把分類的思想貫穿于教學的始終

高職生有一個弱點，那就是害怕討論問題。雖然他們有時也能把問題分成幾種情況去加以解決，但在絕大多數情形下，都是一種被動的模仿。當問及為什么要那樣分時，他們往往答不上來，且解答不全的情況時有發生。至于遇到一個需要分多種情況討論的新問題，大多會沒有思路、束手無策。通過教學發現，學生不能自覺地討論問題，是因為同學們不了解討論背后的思想——分類。

1.1 問題的論域與分類

人類解決任何問題都是在一定的范圍內進行的，這個范圍就是問題的論域。當人們在整個論域里解決問題遇到困難時，往往先把論域劃分為若干種情況。然后對各種情況一一作答。由于劃分后每次解決問題的范圍小了，且各種情況都有自身的特性，因此解決起來容易些。當這種辦法重復使用于各類問題中后就形成了一種思想——分類的思想。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個擊破。

數學問題的論域往往表現為一個大集合——全集。分類就是將大集合分為一些小集合，每個小集合叫一個類，分類要選取一定的標準（依據），不同的標準就產生了不同的分類。在教學中我們要有意識地灌輸分類的思想。如講函數的性質時，我們是以函數的奇偶性為標準把函數全體分為奇函數、偶函數、非奇非偶函數和既奇又偶函數四大類。又以周期性為標準把它們分成周期函數和非周期函數兩大類的。又如在研究直線與平面的位置關系時，我們選取公共點的多少為標準將其分為平行、相交和在內三類，然后再逐步研究就順利達到了目的。

1.2 分類與討論

把數學問題進行分類，然后逐一求解的過程叫討論。顯然分類是討論的先導和源泉。數學中需討論的問題是非常多的，我們在教學中每次都注意站在分類思想的高度對學生解題的過程及思維進行指導，經過長時問的培養，學生的思維能力有較大的提高。他們害怕討論問題的程度大大降低。如在學習不等式證明時，例題“已知a∈R，求證f（a）＝a8－a5＋a2－a＋1＞0?！苯Y果大多數同學都用分類思想順利地作了證明。如有一位同學證明道：“（按a的取值分類）①當a≤0時，－a5－a＞0?f（a）＞0顯然成立；②當a＞0時，若a＝1?f（a）＝1＞0；若a∈（0，1）有a2，a5∈（0，1）且a2＞a5?f（a）＝（1－a）＋（a2－a5）＋a8＞0；若a＞1，有a8＞a5，a2＞a?f（a）＝（a8－a5）＋（a2－a）＋1＞0”。

1.3 染色、賦值與分類

解題時經常給事物染色、賦值。事實上，給事物染色就是給事物分類；賦值雖不是直接給事物分類，但賦了值后，每個事物都有一個數值代表，而數集通常易于分類，所以賦值的目的仍然是為了分類。如給一排樹上編1，2，3，…號，就是給樹賦了值，而賦了值就能輕易地進行奇偶分類。由此看來，染色和賦值等手段的實質都是為了分類。另外設計抽屜也是分類，這樣講就能使學生獲得較高層次的統一的思想認識，在以后的解題中就能化為一種自覺的指導。

2 用化歸思想駕馭教材

所謂化歸就是把面臨的問題化解開來，歸結為一個或幾個已解決了的問題或簡單易解的問題。人們解決問題時都自覺不自覺地用到劃歸的思想，當我們遇到一個陌生的問題時我們總是把它與我們熟悉了的模式、方法掛鉤。更一般地，人類知識向前演進的過程中，無不是化新知為舊知，化未知為已知的。從這個意義講，化歸是一種具有廣泛的普適性的深刻的數學思想，也是我們解決教學問題的總策略。它不但在科學家的發明創新中顯示了巨大的作用，就是在學生的解題過程中也有普遍的指導意義。

在教學中，我們十分注意化歸思想的教學。在宏觀上，我們指出解決立體幾何問題總是把空間問題轉化到某一平面上去，再用平面幾何的已有結論去解決；解決解析幾何問題，又總是通過建立坐標系，把幾何問題化歸為代數問題去解決；解復數問題，總是用代數形式或三角形式把其化歸成實數問題或三角問題加以解決的。作輔助平面、建立坐標系及用代數（三角）式都是在創造化歸的條件，由此可見，創造“一定條件”是實現化歸的技術和關鍵。

在微觀層次上，我們也十分注意對學生化歸意識的培養。比如我們在講“加法定理”一節時，先對公式Cα－β進行了認真推導。接著我們要學生自己推導公式Cα＋β，同學們由于沒有化歸意識，大都模仿Cα－β的推導思路，在坐標系中畫單位圓進行繁雜的推演。我們馬上告訴同學們，由于“減去一個數等于加上這個數的相反數”，就有Cα－β＝Cα－（－β），這時若把（－α）看成一個整體，就可應用已證明了的公式Cα－β去證明Cα＋β了。當然這里Cα－β中參數角β具有任意性是關鍵。等同學們證明出來后，我們進一步告訴他們，已知互逆的兩種運算中一種具有某種性質，推導另一種運算的類似性質時可考慮用化歸思想，無需另起爐灶。其條件是：“減去一個數等于加上這個數的相反數，除以一個數等于乘以這個數的倒數…及其參數的任意性”。此外，在建立了公式后，我們告訴同學們，本公式為把正、余弦的問題互相轉化提供了契機。于是再要同學們推導Sα－β時，有一部分同學就能自覺地把Sα－β通過公式轉化到用Cα－β加以解決，并把Sα－β轉化成Cα－（－β）去解決。至此我們繼續指出，加法定理公式系統中幾十個公式全是用“母”公式Cα－β通過化歸的方法推導出來的，從而使學生體驗到數學思想的和諧之美。

3 結 語

反復的實踐使我們認識到，數學思想是數學的靈魂。思想和方法是數學的重要基礎知識，也是學好數學的重要武器。只有在教學中不斷暴露思維的過程，用思想駕馭教學內容，才能提高思維水平，減少思考問題的強度，提高思維的自動化程度。才能把學生教活，在學生身上產生自我發展機制。只有強化思維的自我意識，用數學思想武裝的學生，才有內溢的意識流，才能在解決問題中表現得機智靈活，產生四通八達的思維境界。因此，我們認為只有努力讓數學思想、方法閃現在教學過程的始終，才能使我們的教學充滿活力。

1 王棟.論數學課堂教學實踐探索［M］.華東師大出版社，2009，（12）

2 王安.數學教學案例分析［M］.福建教育出版社，2008，（12）

3 張奠宙等.數學教育學［M］.江西教育出版社，1996.

4 傅前曉.數學教學新理念［M］.中國人民大學出版社，2008，（11）