基于小波包和奇異值的經驗模態(tài)分解方法研究

楊 斌

（中國人民解放軍第二炮兵工程大學裝備管理工程系 陜西 西安 710025）

0 前言

NE Huang提出的經驗模態(tài)分解[1-2]是一種新的信號時頻處理方法，由于其較高的頻率分辨率、良好的自適應性，在機械故障診斷、地球物理探測、醫(yī)學分析、圖像處理等領域得到了廣泛的應用。由于工程信號中往往存在著隨機噪聲干擾，嚴重影響了EMD分解質量。因此，對信號進行降噪處理再進行EMD分解是十分必要的。

苑宇[3]等提出基于吸引子SVD降噪的改進EMD法，但該方法在處理強隨機信號時效果不甚理想。徐峰[4]等提出中值濾波和奇異值分解聯合降噪方法，取得了一定的的效果，但是該方法對窄帶脈沖的效果不理想。郝如江等[5]利用形態(tài)濾波對信號濾波消噪，再利用EMD提取故障特征，但該方法受噪聲影響較大。柏林等[6]利用小波—形態(tài)組合方法對信號進行預處理，取得了較好的效果，但是由于離散小波對尺度采用的是過于粗糙的二進制離散方式，因此無法細致地刻畫信號。

基于以上原因，本文提出一種基于小波包和奇異值分解的故障特征提取方法。該方法以小波包奇異值作為EMD濾波單元，對信號濾波消噪后再進行EMD分解，利用IMF提取故障特征信息。

1 噪聲對EMD的影響

EMD基本原理：

經驗模態(tài)分解是通過篩分的方法把復雜信號分解為一組具有明確物理意義的本征模態(tài)函數 （Intrinsic Mode Function，IMF）之和。要得到本征模態(tài)函數應滿足以下兩個條件[7-8]：

（1）對于原信號序列極值點和過零點數目必須相等或至多差一個；

（2）由極大值點和極小值點構成的信號序列上下包絡線的均值為0。

經驗模態(tài)分解算法基本步驟如下[9-10]：

用三次樣條插值函數將信號x(t)的所有局部極大值點和極小值點插值擬合成信號序列的上下包絡線，計算上下包絡線均值h(t)，記：

重復第一步直到m(t)滿足IMF的要求，得到一階IMF，記為：

用原信號 x(t)減去 c1(t)，得到一個新信號 r1(t)，視 r1(t)為新的信號。重復以上過程，得到 c2(t)，c3(t)，…，cn(t)。當 cn或 rn(t)滿足分解終止條件時，EMD分解停止。原信號可表示為：

式中，rn（t）是信號的殘余分量，表征信號的變化趨勢。

當原信號中混入高頻噪聲分量，高頻噪聲分量的存在將改變原信號極值點的時間特征尺度信息，由于EMD算法是基于極值點時間特征尺度提取本征模態(tài)函數，因此混入的高頻間斷分量將被視為當前的高階模態(tài)分量分解到本征模態(tài)函數中，致使原信號的高階模態(tài)分量不能完全分解到當前的本征模態(tài)函數中，殘余的高階模態(tài)分量將會混入到其它本征模態(tài)函數中，造成各階本征模態(tài)函數中均含有不同時間特征尺度的模態(tài)分量，最終造成模態(tài)混疊。下面以仿真信號為例說明噪聲信號對EMD分解的影（圖1）。仿真信號如下：

從圖1中可以發(fā)現，對于含有高頻噪聲的信號直接進行EMD分解后將會不可避免的產生模態(tài)混疊問題，圖中各階IMF產生了嚴重的模態(tài)混疊，各信號分量嚴重失真。

圖1 z(t)直接EMD結果

2 小波包和奇異值基本原理

2.1 小波包降噪理論

小波包降噪原理是根據噪聲與信號在各尺度上的小波包系數具有不同特性的特點，去除噪聲分量占主導地位的尺度上的噪聲小波分量，保留的小波包系數為原始信號的小波包系數，然后重構原始信號。小波包降噪步驟為：

（1）選擇小波及小波分解的層次j。

（2）對于一個給定的熵標準，確定最佳小波包基。

（4）對閾值處理后的小波包系數進行小波包重構。

2.2 奇異值降噪理論

令 A 是 m×n(假定 m×n)矩陣，秩為 r（r≤n）,則存在 n×n正交陣V和m×n正交陣U,使得UTAV＝∑，式中∑是m×n的非負對角陣。

對含噪信號 s（i）（i＝1，2，3，…N－1），構造重構矩陣 X

對X進行奇異值分解，X包含源信號和噪聲信號，矩陣X的奇異值集中體現了信號和噪聲的集中程度。前t個較大奇異值主要反映源信號，其余奇異值主要反映噪聲信號。將反映噪聲信號的奇異值置零，利用式（6）進行重構矩陣估計，將矩陣中相應的項相加，取平均值還原出信號。

3 基于小波包和奇異值的EMD原理

3.1 基本原理

從小波包降噪原理來看，小波包降噪可以有效保留有用信號中的高頻成分，但是小波包降噪效果的優(yōu)劣直接與閾值選取有關。利用奇異值降噪后可以有效保留原信號中的固有成分，除去噪聲信號的特點。可以利用奇異值分解原理對小波包分解后的高頻系數進行量化處理。對量化后的小波包系數進行重構即可濾去原信號中的噪聲成分。以s(t)信號為例，根據信號的特點選取合適的小波基函數，確定小波包分解層次N（本文假定為3），如圖1所示。本文提出的改進算法具體步驟如下：

（1）以s(t)信號為例，根據信號的特點選取合適的小波基函數，確定小波包分解層次N；（2）對小波包系數進行軟閾值量化后進行小波包重構；（3）對重構后的小波包信號構造奇異值矩陣，按照式（13）進行奇異值降噪處理；

（4）對降噪后的信號進行EMD，得到去除高頻噪聲信號的各階IMF。

3.2 仿真驗證

為驗證本文方法抑制模態(tài)混疊的有效性，用式（4）的仿真信號驗證本方法的有效性。采用本文改進的EMD算法結果如圖2所示，信號中的三個頻率分量都被有效的分離出來，各階IMF與信號中的各分量基本一致，分解得到的殘余分量符合信號的變化趨勢。圖3是奇異值EMD結果，圖中各階IMF雖然都被分解出來，但是IMF1和IMF2都發(fā)生了明顯的混疊現象，信號有一定的失真。綜合比較，本文提出的小波包奇異值算法效果更好。

圖2 小波包奇異值EMD結果

圖3 奇異值EMD結果

4 結論

針對應用EMD處理非線性、非平穩(wěn)信號時噪聲對EMD的影響，在分析現有方法的基礎上，提出基于小波包和奇異值的改進算法。該方法對含噪聲信號先進行小波包分解，對分解后的信號重構奇異值矩陣，最后進行經驗模態(tài)分解。該方法能有效的抑制噪聲對EMD分解的影響，提高了分解精度。通過仿真計算表明了本方法的有效性。

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