內插法簡析

張春敏

（襄陽職業技術學院經管學院 湖北 襄陽 441021）

1 內插法的內涵

我們知道，當我們在投資決策時想要知道方案的實際利率、項目有效期、項目內含報酬率和債券到期收益率時，往往都需要使用內插法來求解。而現行相關教材中既沒對內插法以明確定義，也在其解法上含糊其辭。這往往使初學者深感困難。而內插法的實質其實就是根據指標之間的相關關系（正相關或負相關），利用數學原理在有限區域內看成是成正比或反比關系來推算其數值的一種求解方法。諸如利息與期數、利率與凈現值、現金流量與項目期限等相互間都存在一定的相關關系。如果我們要想知道實際利率、項目周期、項目內含報酬率及債券的到期收益率等，都必須應用內插法求解。

2 利用“數軸”的“比例推算法”求解

2.1 現行內插法存在的缺陷

現行相關教材中的內插法求解存在兩大缺陷：其一“內插法或稱插補法、插值法”無明確定義，而實際上它就是在有限范圍內的 “比例推算法”。即根據指標值之間的相關關系而采用數學上的“比例推算法”。其二，求解方式模糊、單一，求解時只采用下界臨界值求解。而利用“數軸”采用“比例推算法”，既可以采用下界臨界值也可以采用上界臨界值求解，其結果并無二致。

2.2 利用“數軸”的“比例推算法”求解

假設某投資者本金1000元，投資5年，年利率8%，每年復利一次，其本利和是1000×（1+8%）5=1469元，若每季復利一次本利和 1000×（1+8%÷4）4×5=1486 元， 后者比前者多出（1486-1469）17元。此時8%為年名義利率，小于每季復利一次的年利率 （即實際利率）。要求實際利率需用內插法來求解。

根據上述資料， 已知 1000×S/P8%，5=1469， 又知 1000×S/P9%，5=1000×1.538 （查復利終值系數表）=1538。 而要求的1000×S/Pi.5=1486中的i介入8%～9%之間，我們利用“數軸“的“比例推算法”求解過程如下：

第一，設一數軸，根據“數軸“原理把指標值在“數軸”上標示出來（見下圖）

第二，計算數軸上各已知點距離

第三，利用各點數值與利率的相關關系，按“比例推算法”求出終值1486或終值系數為1.486點的利率。其具體程序步驟如下：

（1）計算數軸各點間的距離

由“數軸”上各點數據可知，點S/P8%.5與點S/P9%.5終值系數距離為1.538-1.469=0.069,終值距離為1538-1469=69，二點間的利率距離為9%-8%=1%，點S/Pi,5與前后兩點終值系數距離分別為1.486-1.469=0.017，1.538-1.486=0.052，終值距離分別為1486-1469=17，1538-1486=52。

（2）設點S/Pi,5與前后兩點i的距離分別設為X和Y

因為利率與終值或終值系數從左至右是成正向變化的，所以點S/Pi,5的實際利率是介于8%～9%之間的，應為 8%+X或9%-Y(按“比例推算法”原理)。

（3）利用“比例推算法”及點P/Si,5上下臨界值求解

按 “比例推算法”X、Y的求解表達式應為0.069：0.017=1%：X 或 69：17=1%：X、0.069：0.052=1%：Y 或 69：52=1%：Y

因此 S/Pi.5點的利率應是 8%＋0.25%=8.25%或者 9%－0.75%=8.25%

3 利用“數軸“進行比例求解應注意的問題

無論用任何方式應用內插法求解，有一個問題必須清楚，那就是這種求解方式顯然建立在指標值之間的相互關系上，而且是在盡可能小的區間范圍內的一種成比例（正比或反比）關系，而事實上數值之間并非完全成比例關系。因此在求解時，一定要注意在采用逐步測試法時測試的間距不應過大，利率以不超過2%為宜，否則得出的結果便不精確了。

［1］中國注冊會計師協會.財務成本管理[M].北京：中國財政經濟出版社,2010.

［2］財政部會計資格評價中心.財務管理[M].北京：中國財政經濟出版社，2010.