大型拋物面天線輪廓度評價方法

臧嗣鑫，李郝林

ZANG Si-xin, LI Hao-lin

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

隨著現代通訊業的迅速發展，大型拋物面天線已被廣泛應用于通訊中，特別是軍事和航天事業中。工程中，天線反射面在制造和安裝時往往不能與原設計拋物面完全吻合，并且在各種外部因素如自重等作用下也會發生變形，導致天線表面精度大大降低。然而，天線電性能指標在很大程度上依賴于反射面表面精度，所以隨著天線工作環境越來越復雜，工作頻段愈來愈高，準確分析其反射面的表面精度就顯得非常重要。但是在眾多的科技文獻中，大部分都是關注于天線設計與其計算理論，但較少有人關注于拋物面天線檢測和輪廓度評價的研究[1,2]。

在實際中，拋物面天線的CAD模型是已知的，本文的重要工作就是在已知CAD模型的前提下，利用測得的數據準確評價拋物面天線的輪廓度。在對拋物面天線反射面進行測量時，由于零件本身形狀較大等因素的影響，使得測量坐標系與設計坐標系之間會產生一定的偏差，這種偏差將會對自由曲面的輪廓度的評價產生不利的影響，因此需要設計一種測量和數據處理方法來適應實際生產中對自由曲面的高精度測量要求。面輪廓度誤差評定通常按照最小區域原則進行，但由于最小二乘法具有計算簡單、易于實現的優點，而且精度也能滿足要求，所以本文提出一種基于最小二乘法[3]和遺傳算法的大型拋物面天線輪廓度誤差評定方法。

1 算法涉及的基本概念及預處理

1.1 理論輪廓與實際輪廓

在面輪廓度評定中有兩類理論輪廓的表達式，即以標準曲面方程表達或給出理論輪廓的有限個節點坐標值。本文研究的理論輪廓是以標準曲面方程給出的。被測輪廓是用三坐標測得的測頭中心軌跡的坐標值Ei(xi, yi, zi),i=1,2,…,N表示，測頭與被測輪廓接觸點的坐標值為Qi(xi, yi, zi),i=1,2,…,N，令測頭半徑為R，那如何由測得的Qi(xi, yi, zi)評價輪廓度是本文的重要問題，具體的解決辦法將在2.4小節得到體現[4]。

1.2 測點與測量方法的選取

對曲面面輪廓度誤差評價最關鍵的就是獲取點位信息的正確性、準確性。同時在采用三坐標測量機（CCM）觸發式測頭進行測量時，一般按照接觸測量的原則，這樣易于進行測頭半徑補償，而且能有效的防治測量中干涉現象的產生。在測量中，將工件穩固的放在工作臺上，目視使其對稱軸平行于機器的Z軸（一般可達3°左右），沿著Z軸的方向依次在垂直于Z軸的平面與拋物面的截線上測數據，截面面積越大，測量時測的數據點數要求越多。

1.3 被測輪廓節點與理論輪廓之間的距離

從輪廓度定義知，用理論輪廓到被測輪廓點的距離來評價面輪廓度誤差。在試驗中，已知實際被測點（即測得的數據）和理論輪廓的標準方程，通過計算，就可以得到被測點到理論輪廓的法向距離。

2 輪廓度誤差評價的具體方法

大型拋物面天線反射面輪廓度誤差的評價的核心是移動、旋轉測量點群使其與理論輪廓有很好的吻合。本文采用最小二乘法構造目標函數來評價旋轉后被測曲面與理論曲面的吻合程度，找到最佳的移動和旋轉參數，進一步求得輪廓度誤差值。

2.1 數學模型建立及預處理

在拋物面天線安裝或檢測中，測量系統給出的離散點三維坐標一般是在測量坐標系下。由于測量點的三位坐標系是在測量坐標系下，因此列方程必須進行坐標變換，將被測曲面的點云移動到與理論曲面極大吻合的地方，需要解決兩個問題，一是平移矩陣，二是旋轉矩陣[5]。

則經過旋轉后的坐標為：

因為在Z方向的旋轉不影響被測點云與理論輪廓的吻合程度，需要不計算Z方向的旋轉矩陣。所以本文的目的就是通過合適的手段來優化Tx, Ty, Tz, Rx, Ry五個參數，選擇合適目標函數，達到最大的吻合程度。

2.2 輪廓度誤差評定方法

采用最小二乘法對離散點進行平移和旋轉達到一種最適合的吻合程度，因為本文中需要優化的參數有5個，遺傳算法能有效的解決多變量優化問題，但是需要一個合適的目標函數。

通常使用的目標函數有4個：以軸向偏差最小量為目標函數、以徑向偏差最小量為目標函數、以法向偏差最小量為目標函數和以焦距最小量為目標函數。本文中在測量時使用的就是觸發式測頭進行測量，測的是法向的數據，所以選擇以法向偏差測量最小量為目標函數，這樣利于數據處理和半徑補償[6]。

本文以理論輪廓的標準曲面方程建立坐標系，對測得點的坐標值向標準曲面方程坐標系進行適當的偏轉，利用數學知識求得偏轉后的點到理論曲面的方向距離εi，再以法向偏差最小為目標函數，利用遺傳算法優化5個未知參數，達到最佳的吻合程度。本文中利用RMS均方根值δn最小為目標函數[2]：

利用遺傳算法，迭代結束后得到的RMS均方根值δn就作為評價拋物面曲面輪廓度的值。

2.3 利用遺傳算法處理時的簡化

利用遺傳算法優化Tx, Ty, Tz, Rx, Ry5個參數，由于參數較多，常常會導致不能收斂或者收斂速度很慢，所以需要選擇合適方法來減少優化參數的數量。

在測量時，選取Z軸較高的位置，選取兩個間隔較大的交線（Z為某一數值時的XY平面與拋物面的交線），在測量這個交線的數據時，需要均勻的測量足夠多的點，保證測量出來的坐標值能精確的反應這個交截面的型心。通過計算出來的兩個型心的連線計算出與標準坐標系的夾角作為，這樣就可以簡少優化的參數。

2.4 測頭半徑補償

從2.2小節中的內容可以知道，本文以RMS均方根值δn最小為目標函數，且就以RMS均方根值δn作為評價拋物面曲面輪廓度的具體數值。分析圖1可以知道，測頭的圓心與被測點的連線就是被測點的表面法矢，他們之間的距離就是一個測頭半徑。實際試驗采集到的數據是測頭中心的坐標，經過2.3節獲得的偏轉參數偏轉之后，就能消除被測輪廓的Z軸與實際輪廓的Z軸不平行，只需要通過遺傳算法優化得到X、Y、Z方向的平移參數，就可以使測頭中心軌跡輪廓、被測點輪廓和實際輪廓保持兩兩間距相等的關系[7]。

在計算目標函數時，本文采用的是計算法向距離。由于已經消除X、Y方向偏轉參數的影響，在計算目標函數時，假設偏轉和偏移的點在拋物面曲面內部的為正，外部的為負值，然后在這個數值的基礎上減去一個測頭半徑值，以這個數值來計算均方根值進而優化平移參數和評價拋物面輪廓度。這樣就可以有效的消除測頭半徑的影響，達到測頭半徑補償的效果。

圖1 測頭半徑補償

3 拋物面曲面輪廓評價仿真及結果

為了驗證算法的正確性，仿真時以x2+y2=z為標準拋物面方程，任取曲面上的20個點，先進行平移和旋轉，再在這些點的X,Y,Z某一個坐標值上隨機加一個微小變動值，從而得到另外一組數據，通過本文提出的方法來驗證計算的結果是否能達到很好的精度。雖然本例中使用的是很小的一個拋物面，但是只要能在小拋物面上達到良好的效果，可以驗證方法的正確性，就能說明此算法能很好的用到大型拋物面曲面輪廓度的評價上。

試驗中選取20個點的坐標作為分析對象，測頭的半徑補償暫不作考慮，測得的數據如表1所示。

通過matlab編寫運算程序，計算得到的輪廓度誤差結果是0.03，精度已經基本符合要求，能很好的實現評價輪廓度誤差的目的。

4 結論

本文采用遺傳算法和最小二乘法相結合的方法對大型天線拋物面反射面的輪廓度誤差進行評價，以測點到標準曲面的均方根值作為具體評價標準，可以消除測量基準與標準拋物面曲面基準不一致導致的誤差，得到很好的評價結果。由于優化的參數較多，計算時間較長而且精度也有可能受到影響，本文中采用一定的處理預先求到兩個參數，減少優化的變量數目，大大的節約計算時間，也能提高計算結果的精度。最后仿真的結果驗證了算法的準確性，提高了可行性。

[1]李劍, 鞠華, 王恒奎, 王文, 陳子辰. 自由曲面測量研究綜述[J]. 測量與設備, 2001, 1: 8-11.

[2]王從思, 段寶巖, 仇原鷹, 杜敬利. 一種拋物面天線形狀誤差的合理評價方法[J]. 上海理工大學學報, 2006,28(1): 14-18.

[3]武殿梁, 黃海量, 丁玉成, 趙萬華. 基于遺傳算法和最小二乘法的曲面匹配[J]. 航空學報, 2002, 23(3): 285-288.

[4]王東善, 李明, 卓軍. 一種自由曲面輪廓度誤差評定方法[J]. 機械設計與制造, 2004: 64-66.

[5]李劍, 王文, 陳子辰. 自由曲面測量若干關鍵問題研究[J].機械科學與技術, 2001, 20(5): 764-767.

[6]陳繼華, 李廣云. 離散點拋物面擬合的算法研究[J]. 天線技術, 2005, 35(4): 32-35.

[7]王紅敏. 三坐標測量機測頭半徑補償技術及應用[J]. 工藝與檢測, 2010, 6: 109-115.