一道例題及其變式的設(shè)計(jì)和初探

●王 云 (浙江師范大學(xué)教育碩士 浙江金華 321004)

“幾何概型”是人教版高中《數(shù)學(xué)》(必修3)第3章中的內(nèi)容.幾何概型是一種概率模型，它不同于古典概率，建立幾何模型要求隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果是無限的且試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布.隨機(jī)事件概率的大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).幾何概型把概率問題與幾何問題(長度、面積與體積)完美結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.在實(shí)際教學(xué)中，如何選擇度量刻畫所涉及的幾何圖形是幾何概型教學(xué)的難點(diǎn)之一.針對(duì)這一情況，在幾何概型第2課時(shí)的教學(xué)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下例題及其相關(guān)探究：

例1 如圖1，設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C，求3條線段AC，CB，AM能構(gòu)成三角形的概率.

圖1 圖2

問題1 滿足條件的x是有限個(gè)，還是無限個(gè)?能否用古典概型來解決這個(gè)問題?

問題2 幾何概型中可用長度、面積、體積來解決問題，對(duì)于此問題，大家覺得用什么來解決好呢?為什么?

通過這2個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分幾何概型與古典概型，讓學(xué)生體會(huì)如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.此題因只設(shè)有一個(gè)未知數(shù)，可以嘗試用一維的幾何(即線段的長度)來解決，具體解法如下：

講授完該例題后，學(xué)生對(duì)幾何概型題有了初步的認(rèn)識(shí)，第3個(gè)問題也就隨之而來.

問題3 例1中只有一個(gè)未知數(shù)，在解題過程中用線段長度的比值解決了該問題.設(shè)想如果有2個(gè)未知數(shù)是不是還能用這一方法解決?請(qǐng)大家看探究1.

探究1 將一條長為1 m的繩子，剪2刀后，分成了3段，問恰能構(gòu)成三角形的概率?

比較例1的解法，可設(shè)3條邊長分別為x，y，1-x-y.探究1與例1一樣也是構(gòu)成三角形問題，但不同的是，探究1設(shè)了2個(gè)未知數(shù)x，y.設(shè)“能構(gòu)成三角形”為事件B，則樣本空間

此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生用幾何概型解題.

問題4 探究1能否用線段長度的比值求解?與例1相比較，有何不同之處?大家能否找到解題的途徑?

圖3

針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)有余力的學(xué)生可進(jìn)一步提出如下探究2，嘗試從二維面積測(cè)度向三維體積測(cè)度轉(zhuǎn)變.

探究2 在線段［0，a］上隨機(jī)地投3個(gè)點(diǎn)，試求由原點(diǎn)O到此3點(diǎn)的3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.

如圖4，由題意設(shè)組成三角形的3條線段分別為OA=x，OB=y，OC=z，并記“能組成三角形”為事件C，容易得到樣本空間

圖4

在三維空間Ω中表示邊長為a的立方體.同樣，事件C要求滿足此題的難點(diǎn)是如何正確作出C所表示的空間圖形.可先以x+y＞z為例，類比二維平面中y＞x的作圖法講解.

問題5 請(qǐng)學(xué)生回憶，在平面直角坐標(biāo)系中如何作出y＞x的圖像?如何確定直線y=x?y=x與y＞x有何區(qū)別與聯(lián)系?

此問題已轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性規(guī)劃問題.不等式的作圖可通過等式的作圖來實(shí)現(xiàn)，即作出區(qū)域的邊界并驗(yàn)證區(qū)域滿足不等式.教師要注意引導(dǎo)學(xué)生回憶探究中經(jīng)過兩點(diǎn)作一條直線的方法，為解題做好鋪墊.

問題6 將二維升至三維，如何作出x+y＞z的圖像?它與x+y=z之間是否存在著聯(lián)系?

問題7 x+y=z是否表示一條直線?如果不是直線，那么它表示什么呢?

問題8 2個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，類似地，在空間幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面?這些點(diǎn)有沒有其他的要求?

設(shè)計(jì)這一系列的問題，目的是為學(xué)生的思考做鋪墊，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換，即等式與不等式之間的轉(zhuǎn)換、直線與平面之間的轉(zhuǎn)換、二維與三維之間的轉(zhuǎn)換、面積與體積之間的轉(zhuǎn)換.此間可讓學(xué)生進(jìn)行合作討論，從而得出結(jié)論.

不妨設(shè)a=1，可通過不共線的3個(gè)點(diǎn)A(1，0，1)，O(0，0，0)，B(0，1，1)，先確定平面 x+y=z，即平面AOB;先通過特殊值驗(yàn)證點(diǎn)C(1，1，1)滿足不等式，可得不等式x+y＞z表示平面AOB位于點(diǎn)C一側(cè)所在的部分空間(如圖5);同理，可依次作出其他2個(gè)平面AOD和BOD(如圖6).事件C在空間中表示多面體OABCD內(nèi)部，而樣本空間Ω表示為整個(gè)立方體，可得

圖5 圖6

在解題過程中學(xué)生對(duì)一維或二維比較熟悉，而對(duì)三維的空間直角坐標(biāo)系還不是很了解.在講解探究2的過程中，根據(jù)學(xué)生的具體情況可引導(dǎo)學(xué)生先降維.樣本空間為

Ω ={(x，y，z)|0 ＜x＜a，0 ＜y＜a，0 ＜z＜a}，若把其中的x，y當(dāng)成是未知數(shù)，把z看作為參數(shù)，不妨設(shè)0＜x＜y＜z＜a，這樣一來原本的樣本空間可以修改為

事件C'要求滿足

即可，下面可用面積測(cè)度解決該問題.

如圖 7，Ω'表示三角形OBC的內(nèi)部，而事件C'中的x+y＞z表示為斜率為 -1、截距為z的直線x+y=z的一側(cè)，并對(duì)任意的0＜z＜a成立.經(jīng)分析可得 C'應(yīng)為△GBC的內(nèi)部，可得

圖7

綜上所述，從例1、探究1到探究2都涉及到三角形的構(gòu)成問題，其例題及其變式教學(xué)設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分古典概型與幾何概型.經(jīng)歷建立幾何概型問題的數(shù)學(xué)模型過程，即選擇恰當(dāng)?shù)亩攘?長度、面積、體積)建立一維、二維和三維幾何概型的模型.在課堂教學(xué)中，筆者運(yùn)用了上述設(shè)計(jì)并滲透類比推理、數(shù)形結(jié)合和降維等思想方法，取得了較好的教學(xué)效果.

以上是筆者在幾何概型教學(xué)方面所作的一點(diǎn)嘗試，期待和同仁探討，共同提高.