一類函數(shù)不等式的根源及應(yīng)用

●張世林 譚柱魁 覃德才 (巴東一中 湖北巴東 (444300)

在近幾年各地的高考壓軸題中大量存在構(gòu)設(shè)輔助函數(shù)證明不等式和求參數(shù)取值范圍的問題.這類問題具有極強的綜合性和思考性，小題之間由易到難，層層遞進，聯(lián)系緊密，渾然一體，入手容易，深入難，可使知識水平、能力層次不同的學(xué)生各有所得，具有較高的區(qū)分度.在解法方面，特別重視導(dǎo)數(shù)工具作用的考查，其中有一類函數(shù)不等式在高考試題中出現(xiàn)的頻率較高，有必要對其進行深入探討.

1 問題提出

設(shè)函數(shù)f(x)=axn(1-x)+b(x＞0)，n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線 y=f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x+y=1.

(1)求 a，b的值;

(2)求函數(shù)f(x)的最大值;

學(xué)生在處理本題第(1)和第(2)小題時，一部分基本功扎實的考生能夠正確迅速求解，但是第(3)小題卻少有考生問津，分析其中的原因，除了考試時間不夠外，第(3)小題也確有較大的難度，同時也暴露出考生綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理論證的能力較為薄弱.現(xiàn)就第(3)小題的證法進行深入探究.

2 合作共探，改進證法

參考答案如下：

在(0，1)上，φ'(t) ＜0，即 φ(t)單調(diào)遞減;在(1，+∞)上，φ'(t) ＞0，即 φ(t)單調(diào)遞增，故 φ(t)在(0，+∞)上的最小值為φ(1)=0，從而故所證不等式成立.

絕大部分考生在驚嘆考題設(shè)計之精巧、解答天衣無縫的同時，仍一頭霧水，滿腹疑慮，為什么一開始就能構(gòu)設(shè)出如此精準的輔助函數(shù)φ(t)，而不設(shè)成其他形式?其中有沒有規(guī)律可尋?涉及不等式證明的試題真是“自古華山一條路”，可望而不可及嗎?

帶著疑問，師生交流，合作共探，對參考答案的解法作出了以下改進：

兩邊取自然對數(shù)，只要證

從而只要證

根據(jù)不等式(1)的結(jié)構(gòu)特征，令所以g(t)在(0，+∞)單調(diào)遞增，即

在改進后的證法中，分析與綜合互相結(jié)合，構(gòu)設(shè)輔助函數(shù)自然流暢，給人以水到渠成之感，易于為師生所理解并認同，從而消除了參考答案中構(gòu)設(shè)輔助函數(shù)生硬、突然、深不可測的神秘和恐懼之感，增強了戰(zhàn)勝這類問題的信心.

3 嘗試變換，追根溯源

導(dǎo)數(shù)的引入為某些不等式的證明開辟了一條全新的途徑，上述改進的證法中采用了一個重要的蘊涵著高等數(shù)學(xué)背景的函數(shù)不等式：

若 x＞ -1，則

特別地，若 x＞0，則

事實上，上述不等式的源頭仍在教材之中，它可由人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》(選修2-2)第32頁第1題的第(3)小題“ex＞1+x(x≠0)”，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q而得：

用-x替換x，得e-x＞1-x，再取倒數(shù)得

兩邊取自然對數(shù)，得

在式(5)的兩邊用x-1替換x，得

在(6)的兩邊取自然對數(shù)，得

由式(5)，式(8)聯(lián)立，得

在式(10)的兩邊取自然對數(shù)，得

由式(4)，式(11)聯(lián)立并取自然對數(shù)，得

在式(13)中，取 k=1，2，…，n，得到的不等式相加，可得

在式(7)的兩邊令 x=k2(k≥2，k∈N*)，得

令 k=2，3，…，n，得到的不等式相加，可得

因此，在證明含有自然對數(shù)“l(fā)n”或“e”的數(shù)列不等式時，可以考慮構(gòu)設(shè)輔助函數(shù).證得上述函數(shù)不等式，再嘗試對函數(shù)不等式中的x賦予與n有關(guān)的恰當(dāng)?shù)闹担@是證題的關(guān)鍵;然后或裂項求和，或放縮后求和，或求和后放縮.它要求我們對函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)的知識能夠靈活地轉(zhuǎn)換和熟練地運用.

4 以題攻題，觸類旁通

近年來，在全國各地的高考試題或模擬試題中，有不少是由上述重要的函數(shù)不等式衍生而來的.

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足

分析(1)利用函數(shù)的不動點的意義可求得

(2)可求得an=-n(n∈N*).①待證不等式即為

取k=1，2，…，2 012，裂項相加求和即得所證不等式.

例2 已知函數(shù)f(x)=ex-x(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的最小值;

(2012年廣東省廣州市高三數(shù)學(xué)模擬試題)

分析(1)易得f(x)min=f(0)=1.

(2)由不等式(2)知：若 x＞ -1，有

分別取 k=n-1，n-2，…，2，1，0，再同向相加，得

評注第(2)小題的證明中，“e”究竟是如何變化出來的呢?只要將不等式(2)的對數(shù)式改寫成指數(shù)式，再對x賦值、求和、放縮即可.

5 演練身手，鞏固提升

(1)求a的值及f(x)的最大值;

(3)設(shè) g(x)=b(ex-x)，若 f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

(2012年湖北省武漢市數(shù)學(xué)調(diào)研試題)

(1)用 a表示 b，c;

(2)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求 a的取值范圍;

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

3.證明：對任意的正整數(shù)n，有

(2007年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(1)求 a，b的值;

(2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)f(x)=ln2(1+x)- x21+x.

5.已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2008年湖南省數(shù)學(xué)高考試題)