逆用特征根方程求解一類自主招生和競(jìng)賽試題

●錢(qián)衛(wèi)紅 (嘉善高級(jí)中學(xué) 浙江嘉善 314100)

在自主招生考試和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常會(huì)遇到一類含有因式的代數(shù)綜合題.它們看似與遞推數(shù)列毫無(wú)聯(lián)系，卻可以逆用特征根方程構(gòu)造遞推關(guān)系，然后利用其遞推關(guān)系因勢(shì)利導(dǎo)，經(jīng)過(guò)變形處理，從而達(dá)到證題的目的.

特征根法是求由常系數(shù)(齊次)線性遞推式及初始值確定的遞推數(shù)列通項(xiàng)表達(dá)式的有效方法.這里以二階常系數(shù)線性遞推式為例來(lái)說(shuō)明.

設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推公式為

定義 稱x2=px+qx為式(1)的特征方程，其根為特征根.

定理1 設(shè)數(shù)列{xn}由初始值x1，x2及遞推公式(1)確定.

(1)若式(1)的特征方程有2個(gè)不相等的特征根 α，β，則其通項(xiàng)為

其中A，B為初始值所確定的待定常數(shù).

(2)若式(1)的特征方程有2個(gè)相等的特征根α，則其通項(xiàng)為

其中A，B為初始值所確定的待定常數(shù).

根據(jù)定理1，可由{xn}滿足的常系數(shù)線性齊次遞推公式(1)及初始值 x1，x2，用特征根法求出{xn}的通項(xiàng);反之，如果知道數(shù)列{xn}的特征根，那么也可用特征根法求出這個(gè)數(shù)列滿足的遞推公式，并用這個(gè)公式去證明數(shù)列{xn}應(yīng)滿足的各種結(jié)論.

1 逆用特征根方程證明一類存在性問(wèn)題

例1對(duì)任意的正整數(shù)n，(1+)n都可表示為的形式，其中 s∈N+.

(2012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題)

下面只要證明s∈N+，可利用二項(xiàng)式定理得到證明(本文不詳細(xì)展開(kāi)).

無(wú)獨(dú)有偶，2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的第20題，考查的也是這個(gè)問(wèn)題，只是將具體的數(shù)字變?yōu)槌橄蟮淖帜?

例2 設(shè) p，q∈Z+且 q≤p2.試證對(duì) n∈ Z+，存在 N∈Z+，使(2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

分析這是一個(gè)較有難度的競(jìng)賽試題，從題目的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看，可以從二項(xiàng)式定理、構(gòu)造方程或逆用特征根方程去考慮.若逆用特征根方程，我們能導(dǎo)出該數(shù)列具有整系數(shù)的線性遞推關(guān)系，則問(wèn)題就可迎刃而解.

逆用特征根方程得數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系

因?yàn)?a1=p，a2=2p2-q，p，q∈Z+且 q≤p2，所以an∈N+.由

此類代數(shù)綜合題在2005年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題中也出現(xiàn)過(guò)：

2 逆用特征根方程證明一類整除性問(wèn)題

分析可以從二項(xiàng)式定理求出sn的通項(xiàng)公式，從而求出sn的特征根.再用特征根法求出{sn}滿足的遞推關(guān)系，利用這個(gè)遞推關(guān)系求出sn被8整除的一切正整數(shù).

因?yàn)閟1=1，s2=3，所以{sn}為整數(shù)數(shù)列.又由式(2)得

因5和8互質(zhì)，故8|sn?8|sn+3.而 s1=1，s2=3不被8整除，s3=2s2-s1=8被8整除.因此 s3k+1，s3k+2(k∈N*)不被8整除，s3k(k∈N*)被8整除.

綜上，使sn被8整除的一切正整數(shù)n=3k(k∈N*).

［1］ 熊斌，冷崗松.高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前輔導(dǎo)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011：80.