一道中國香港數學奧林匹克幾何賽題的三角證法

●王伯龍 (彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

題目在Rt△ABC中，已知∠C=90°，作CD⊥AB于點D.設O是△BCD外接圓的圓心.在△ACD內有一圓O1分別與線段AD，AC切于點M，N，并與⊙O相切.證明：

(第12屆中國香港數學奧林匹克競賽試題)

文獻［1］提供的參考答案是先證明一個不易想到的引理，然后利用托勒密定理進行解決，思路崎嶇，令人費解.其實，雖然所證的結論中涉及的線段較多，但所給的圖形比較特殊，因而更容易聯想到用解直角三角形的方法證明.

證明如圖1，聯結OO1，O1N，作 O1E⊥BC，垂足為點 E.設 BC=2R，O1N=r，∠BCD=2θ(R＞r).

(1)在 Rt△BCD中，CD=2Rcos2θ，BD=2Rsin2θ，由∠ACB=90°，CD⊥AB，得

圖1

在Rt△ANO1中，由圖形的幾何性質知，∠NAO1= θ，故 AN=rcotθ，從而化簡式(3)，得關于r的一元二次方程

于是又得到如下一個結論：

結論在Rt△ABC中，已知∠C=90°，作CD⊥AB于點D.設O是△BCD外接圓的圓心.在△ACD內有一圓O1分別與線段AD，AC切于點M，N，并與⊙O相切，則

(3)CM平分∠ACD;

(4)DM·AB=AM·BM;

［1］ 中等數學編輯部.2009-2010國內外數學競賽題及精解［J］.中等數學2011(增刊)：25-26.