通性通法與高考數(shù)學解題的萬能模式

●過伯祥 (浙江海洋學院數(shù)理與信息學院 浙江舟山 316000)

1 高觀點下的中學數(shù)學

數(shù)學是什么?“一切數(shù)學學科的決定性特點總是某種形式化的方法”(辛欽)，“數(shù)學為科學研究提供簡明精確的形式化語言”.從一定意義上說，數(shù)學是一門形式科學.《數(shù)學課程標準》與它的解讀中，也強調(diào)要這樣認識數(shù)學：“把數(shù)學看成是一系列數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的人類活動，即用數(shù)學的思想與方法，不斷把與實際問題有關的材料進行整理和組織起來的活動.”《標準》中數(shù)學學習內(nèi)容的6個核心概念：數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應用意識、推理能力.其中說到，“符號表示是人類文明發(fā)展的重要標志之一，數(shù)學課程的一個任務就是使學生感受和擁有使用符號的能力”.

中學數(shù)學的主要形式是：方程、不等式、算式與函數(shù)式.概括地說，數(shù)學解題總是這樣兩大步驟：把問題進一步形式化(最終列出方程、不等式，算式、函數(shù)式);然后進行合乎數(shù)學規(guī)范的形式操作.

例1 設等差數(shù)列{an}(n≥1)包含1和.證明：{an}中任意3項均不構(gòu)成等比數(shù)列.

分析本題解題過程的本質(zhì)就是：首先，用形式符號表達出滿足條件的數(shù)列中的任意3項;然后，通過形式推理(這里用的是反證法)說明結(jié)論成立.

證明設ak=1，al=，數(shù)列的公差為d.

用反證法，設am，an，ar構(gòu)成等比數(shù)列.據(jù)此列出算式，進行運算推導，得出矛盾am=an=ar，從而完成證明.事實上，

假定 am，an，ar構(gòu)成等比數(shù)列，則

由此得

由此可推出M=N=R，即am=an=ar，矛盾.因此結(jié)論成立.

評注本例是一道證明題.形式符號設定，數(shù)列的任意3項表示出來后，過程中的大部分內(nèi)容，即為(運用等式運算性質(zhì)的)算式的形式推導.其中的要點是：選擇哪幾個量為主變量;過程中如何適當?shù)剡\用變量代換，以簡化過程;主要借助于有理數(shù)加無理數(shù)的特殊性質(zhì)引出矛盾，說明道理.

2 中學數(shù)學中的通性通法

“通性通法”最早是由美籍華人數(shù)學家項武義教授在主編一套初中數(shù)學實驗教材中提出來的.后來，這種提法就風行開了.然而很多人認為“常用多用的性質(zhì)方法，就是通性通法”.因此，應該先對“通性通法”作一界定.

中學數(shù)學，特別是高中數(shù)學，有十多個系統(tǒng)領域.每一個領域中的內(nèi)容，一般說，可以分為兩大部分：一部分是本領域?qū)俚男聦W的定義、性質(zhì)與方法，即其自身獨特的概念、性質(zhì)、符號體系與形式變換常用的方法技巧;另一部分是己學的通用常用的性質(zhì)方法.這后一部分，“用通性通法操作”式子(方程、不等式、函數(shù)式)的原理、變換與運算，便是數(shù)學的通性通法.這樣的通性通法是確確實實存在著的.

多數(shù)數(shù)學問題需要通過方程求解;通常通過不等式求某變量的取值范圍;通過算式求值;通過函數(shù)研究變量的變化規(guī)律.因此，中學數(shù)學的四大基本形式是：方程、不等式、算式與函數(shù)式.

3 從笛卡兒模式到高考數(shù)學解題的萬能模式

(1)約三百七十多年前，近代著名的法國哲學家、數(shù)學家笛卡兒曾試圖要創(chuàng)造萬能的方法，來解決數(shù)理上的一切問題.他的這個“萬能方法設想”，畫成模式圖可以表示如下：

這樣一個常用的統(tǒng)一處理數(shù)學問題的方式，著名數(shù)學家波利亞后來把它叫做笛卡兒模式.

(2)通過分析大量的高考數(shù)學試題與高考模擬卷中的試題，發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學解題中最常用的通法是：把問題的條件通過種種途徑，化為4種基本形式(方程、不等式、算式和函數(shù)式);然后，再對它們進行計算、變換、求解.

(3)又注意到：從高考數(shù)學命題的指導思想與原則的一系列提法：“發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數(shù)學的掌握程度，又注意考查進入高校繼續(xù)學習的潛能”，命題“堅持多角度、多層次的考查;注重對基礎知識的考查;……同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現(xiàn)實性，重視試題設計的層次性，合理調(diào)控綜合程度”，“期望整卷難度系數(shù)控制在0.6～0.65之間;……考查內(nèi)容，要求既有一定的覆蓋面，又突出重點內(nèi)容和主干知識;……問題設計力求入口寬，有層次;……重視數(shù)學概念、數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學思想和解決數(shù)學問題的常規(guī)方法.”

(4)從高考試題的整個命題過程來看，它就是命題人員在命題指導思想與原則的指引與約束下，對供題人提供的題目，在命題審題會議上，就程序的多寡、難易與創(chuàng)新性等，進行評估、評價、討論、修改，在這樣的權(quán)衡、爭洽過程中，一步步地磨出來的.命題人員們磨什么?在整體的問題情境、內(nèi)容范圍等確定后，就是磨小題與程序的具體安排與設計.考題，本來就是這樣“命”出來的，聰明的應考人也就應該順著這樣一條路去探索思考.

作者還查閱過笛卡爾《方法論》的各個版本，并己把它應用在如下的制表中.如今這張“新解題表”，是以笛卡爾的萬能方法設想為基干思想，仿照波利亞的“怎樣解題表”，適應高考數(shù)學試題程序化的結(jié)構(gòu)特點而制成的.這是一份針對程序化試題編制的更好用的“怎樣解題表”(如圖1)，是笛卡爾萬能方法設想在現(xiàn)代中國(程序化考試題)的高考中的參考應用.

圖1

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A在點(-2，0)和(-1，0)之間(包括這2個點)，頂點C是矩形DEFG(包括邊界與內(nèi)部，它內(nèi)部的點的橫坐標在1與3之間;縱坐標在2與3之間)上的一個動點.求a的取值范圍.

分析笛卡兒萬能思路模式的2個步驟：(1)設定一個或幾個未知量與參量，把所有的條件都用方程、不等式表示出來;(2)通過消元、代換、運算、變換，設法解出這個混合組.關鍵是設哪幾個量為主變量，以及怎樣表示出各個條件的問題.

解法1 設 A(x1，0)，另一交點 B(x2，0).如圖 2，因為 a ＜0，x1為二次方程的小根，從而

圖2

于是，問題轉(zhuǎn)化為：

求a的取值范圍.

由式(1)，式(2)，得

由式(1)，式(3)，得

式(2)-式(4)，再兩邊平方得

由式(6)，式(7)得

解法2 考慮開口最大、最小這2種極端情形：以 D(1，3)為頂點，過點(-1，0)的拋物線為

以 F(3，2)為頂點，過點(-2，0)的拋物線為

評注本例是不等式組的求解.整個過程，用適當?shù)姆柫谐鍪阶雍螅饕褪切问椒査闶降淖儞Q與推導.解法1雖是典型的形式推演，但它的運算推導途徑較難選擇，等價性的理由亦較含糊、隱晦.

(2008年浙江省數(shù)學高考理科試題)

上述式子全部相疊加，得

由 an＜1，化簡即得 Sn＞n-2.

上述(n-2)個式子交叉相乘得

又因為 T1＜T2＜T3，所以 Tn＜3.

4 對高考數(shù)學教學的指導意義

據(jù)此萬能思路，教師在教學中重點是分析，并要讓學生掌握常用的把條件轉(zhuǎn)化為方程、不等式的辦法;掌握常用的解方程、不等式組，變換推演算式、函數(shù)式的方法技巧;掌握常用的分解討論、映射轉(zhuǎn)換方法及其注意點.因為學生的困難往往在于：某幾個條件沒法把握，從而列不出與它相關的方程或不等式;或是解方程、不等式組，變換某個算式的某些特殊方法技巧掌握得不太好，臨場沒想到.

可以注意與預測到，創(chuàng)新試題主要就是情景創(chuàng)新與條件創(chuàng)新.方向可以預見，具體的內(nèi)容很難猜測到.筆者深信，一些重點高中的名師，必有應對創(chuàng)新試題方面的不可輕易外傳的指導經(jīng)驗.