例談從二次函數中培養學生的直覺思維

●駱銀海 (牌頭中學 浙江諸暨 311825)

數學思維可以分為邏輯思維和直覺思維，邏輯思維用于證明，直覺思維用于發明.新課標十分強調學生創新意識與創新能力的培養，直覺思維是數學創造與創新的基礎.因此，如何培養學生的數學直覺思維至關重要.從解題教學來看，數學直覺思維也可理解為一看到題目時的題感，題感在一定程度上是可以后天培養的，每個人的數學直覺通過訓練可以不斷提高.

二次函數作為中學生應用最廣泛的初等函數，也是最簡單的非線性函數，具有許多優美的性質，是數學命題者感興趣的考點之一.試題中背景設計之精巧、過程之流利、答案之美妙常引起師生的共鳴.筆者有幸參與了諸暨市說題展示和浙江省數學教師教學能力評比與觀摩活動，頗有體會：在解決二次函數問題中可大力培養學生的直覺思維，也就是說增強學生的題感，迅速獲得接近正確答案的思路和方法.現舉例如下：

例1 已知函數f(x)=|x2-2x-3|，若x2＞x1＞1且f(x1)=f(x2)，求x1+x2的取值范圍.

反思 本題是諸暨市高三數學二模考試試題，正確率不高，有些同學做了很長時間也沒做對，有些同學一拿到題目，題感較好，馬上想到：是否存在2個極端位置，很快就有了答案.可見，數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，在過程上表現為跳躍性，在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質.直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化.

圖1 圖2

不僅僅在二次函數背景中可考慮直覺思維，類似地，在對數函數背景中也如出一轍.

2010年全國數學高考理科試題第10題是這樣設計的：

例2 已知函數F(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是 ( )

直覺思維培養 顯然a+2b→+∞.若能考慮到a+2b的最小值是當f(a)=f(b)→0時取到，再結合簡單的證明，那解題就變得既快又準，可以體會到直覺思維帶來的好處.

例3 設t為常數，函數f(x)=|x2-2x-t|在區間［0，3］上的最大值為2，求 t的值.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

分析由函數g(x)=x2-2x-t的對稱軸是x=1且 g(0)=g(2)=-t，可得 f(0)=f(2).分析可知，f(x)在區間［0，3］上的最大值是f(1)或f(3).

若 f(1)≥f(3)，則

從而當t≥1時，-(-1-t)=2，解得t=1;若 f(3)≥f(1)，則

從而當 t≤1 時，|3-t|=2，解得 t=1.

綜上所述，t=1.

直覺思維培養 本題是在二次函數的基礎上加了絕對值函數，-t實質是函數x2-2x的上下平移.結合導數知識fmax(x)=max{端點值，極值}，由于對稱軸x=1在已知的區間內，因此翻折后無論產生怎么樣的形狀，f(x)取到的最大值一定產生于端點值f(0)，f(3)及極值f(1)中，即

圖3

如圖3，當f(x)=2時，由直覺思維知，t=1滿足題意.

反思 直覺思維是基于研究對象的整體把握，不專于細節的推敲，是思維的大手筆，從而使認知結構向外擴展，因此直覺思維具有反常規的獨創性.

例4 已知二次函數 f(x)=ax2+bx+c，a∈N*，c≥1，a+b=c≥1 且方程 ax2+bx+c=0 有2個小于1的不等正根，求a的最小值.

解法1 如圖4，由根的分布知

由b2-4ac＞0得

圖4 圖5

解法2 如圖5，由題意設

反思 數學直覺思維的表現形式是以已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后，對研究對象作出較迅速直接的判斷，它不受固定的邏輯約束，能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能快速解決有關數學問題.

直覺思維對培養學生的創造力相當重要，而二次函數又是非常好的訓練背景，平時教師要強調：直覺思維雖具有創造精神，但由直覺思維得到的猜想需要經過邏輯方法加以驗證、猜想或被證明、被推翻.此外，直覺思維能力的形成是一個漸進的過程，不能操之過急.學生的猜想錯誤后，應鼓勵學生重新猜想.總之，只要長期堅持訓練，學生的直覺思維能力就能不斷得到提高，同時學生敏捷的思維和較強的知識綜合運用能力得到逐步培養.這不僅有利于智力開發，更有利于邏輯思維的培養、數學能力的提高.

［1］ 沈志明.二次函數的另類最值求法及其引申［J］.中學教研(數學)，2010(5)：15-16.

［2］ 胡耀宇.抓住圖象就抓住了二次函數的關鍵［J］.中學數學教學參考，2006(9)：20-21.

［3］ 唐恒鈞.案例的視角：幾何實驗與幾何證明［J］.中學數學雜志，2005(4)：16-17.