為“數(shù)”配“形” 凸顯數(shù)學(xué)思想

●盧 明 (元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

1 問題的提出

在高中數(shù)學(xué)中，許多問題單純用“數(shù)”的方法去解決較繁瑣，若能從“形”著手，則會(huì)事半功倍.這就是數(shù)形結(jié)合思想在解決實(shí)際問題時(shí)的經(jīng)典運(yùn)用，其核心就是為“數(shù)”配“形”.需要指出的是，為“數(shù)”配上什么樣的“形”，是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題時(shí)的一大難點(diǎn).那么，有沒有規(guī)律可尋呢?本文將對(duì)此作一些探索，以拋磚引玉.

2 利用常見函數(shù)模型構(gòu)圖

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx，a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈(0，3e］，恒有 f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

下面僅對(duì)本題第(2)小題進(jìn)行分析.

分析當(dāng) x=a∈(0，3e］時(shí)，f(x)=(xa)2lnx≤4e2顯然成立.

圖1 圖2

①若 a=3e，則

即函數(shù)g(x)與h(x)的圖像有公共點(diǎn)(e，1).又因

由圖2知，在(0，3e］上 g(x)的圖像是上凸且遞增的，h(x)的圖像是下凸且遞增的.因此，對(duì)任意的 x∈(a，3e］恒有 g(x)≤h(x)，即 f(x)≤4e2.

圖3 圖4

③若 a ＞3e，則由①知，在區(qū)間(0，3e)上，g(x)與h(x)的圖像有交點(diǎn)，故不滿足對(duì)任意的x∈(0，3e)恒有g(shù)(x)＜h(x)，如圖4所示.

能用為“數(shù)”配“形”思想來解的題目一般有2種情況：一種圖形是顯現(xiàn)的，例如“已知直線y=k(x-3)與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍”，解題時(shí)可以直接畫出直線和圓的圖形;另一種圖形是需要通過等價(jià)變形來構(gòu)造的，不同的構(gòu)造方法可以得到不同的圖形，如本文例1.

3 挖掘“數(shù)”的幾何背景

圖5 圖6

變式1 函數(shù)的值域是________.

點(diǎn)評(píng)例2與變式1的差別在于：例2中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所在的曲線是顯然的，即在函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖像上，而變式1中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所在的曲線不是一目了然的，需要通過換元、變形，才能將曲線的形狀顯現(xiàn)出來.

點(diǎn)評(píng)變式2經(jīng)過換元得到單位圓的參數(shù)方程.若將sinx或cosx的系數(shù)作適當(dāng)改變，則換元后得到橢圓的參數(shù)方程，變式2可以用類似的方法來處理，不過求切線斜率的難度會(huì)高一些.

4 轉(zhuǎn)化為曲線的位置關(guān)系

例3 不等式x2-2x＜logax-1對(duì)任意x∈(1，2)恒成立，則 a 的取值范圍是 .

圖7 圖8

分析將不等式變形為(x-1)2＜logax，此不等式左邊表示拋物線y=(x-1)2，右邊是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像.于是，原命題等價(jià)于在區(qū)間(1，2)內(nèi)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像恒在拋物線的上方，如圖7所示.因此，只要滿足loga2≥1即可，從而1＜a≤2.

變式1 函數(shù) f(x)=-x2+2，g(x)=|x-m|，若存在 x0∈(0，+∞)使得 f(x0)≥g(x0)成立，則m的取值范圍是 ( )

分析本題是一個(gè)存在性問題，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像很容易畫出.函數(shù)g(x)=|x-m|的圖像為2條關(guān)于x=m對(duì)稱的射線，其方程分別為y=-x+m和y=x-m(y≥0).

當(dāng)直線 y=x-m 過點(diǎn) B(0，2)時(shí)，m=-2，這是圖像的另一個(gè)極端位置.當(dāng)m≤-2時(shí)，不存在x0∈(0，+∞)滿足 f(x0)≥g(x0)，故 m ＞ -2.

點(diǎn)評(píng)不等式問題，從“形”的角度去考慮，等價(jià)于不等式2邊所對(duì)應(yīng)的圖像的位置關(guān)系.

圖9 圖10

點(diǎn)評(píng)方程的根等于2個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，討論根的個(gè)數(shù)問題從“形”的角度去思考，就等價(jià)于討論2個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

5 利用向量加法的幾何意義構(gòu)圖

例4 若非零向量a，b，滿足|a+b|=|b|，則( )

A.|2a|＞ |2a+b| B.|2a|＜ |2a+b|C.|2b|＞ |2a+b| D.|2b|＜ |2a+b|

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題用代數(shù)方法解非常困難.若能用向量加法運(yùn)算的三角形法則來構(gòu)圖，則問題可以變得非常直觀而簡單.

由條件得和向量a+b與向量b的模相等，但夾角不定.由于本題是選擇題，可以取特殊角，并結(jié)合排除法.讓(a+b)⊥b，構(gòu)造等腰直角△OAB，如圖10 所示，其中|OA|=|b|，|AB|=|a|，|OB|=|a+b|.在鈍角△OAC中，

|AC|=2|a|，|OC|=|2a+b|.

顯然鈍角∠AOC所對(duì)的邊AC最長，故有|2a|＞|2a+b|.排除選項(xiàng) B，C，D，故選 A.

例5 已知平面向量 α，β(α≠0，α≠β)滿足|β|=1，且α與β -α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是_______.

分析由條件知β是單位向量，故其終點(diǎn)可以在單位圓上.又 α與 β-α的夾角為120°(定值)，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法可以構(gòu)造△OAB，讓AB=β-α，如圖11所示.

圖11 圖12

點(diǎn)評(píng)向量加法運(yùn)算的幾何意義可用平行四邊形法則和三角形法則來刻畫，向量的模問題常與圓建立聯(lián)系，這些都是向量問題構(gòu)造圖形的依據(jù).

為“數(shù)”配“形”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它常與等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想有機(jī)地結(jié)合在一起.在為“數(shù)”配“形”時(shí)，還經(jīng)常會(huì)用到換元法、構(gòu)造法和極端原理等重要的數(shù)學(xué)方法.因此，筆者認(rèn)為：有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行為“數(shù)”配“形”思想的教學(xué)和訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性意識(shí)和創(chuàng)新能力.