隱性目標函數的破解策略例析

☉河北省邱縣第一中學 杜 建

在高考數學命題“以能力立意”的趨勢下，線性規劃問題也由單純的知識型考查向知識和能力立意并舉的考查形式轉變，尤其是目標函數與其他知識交匯后，呈現出多樣性和隱蔽性的特點，對學生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力提出了更高的要求.本文根據近幾年出現的精彩問題，闡釋破解隱性目標函數的幾種策略.

一、利用其他知識，尋求目標函數

圖1

圖2

例1（2011年湖北理）已知向量a=（x+z，3），向量b=（2，y-z），且a⊥b.若x、y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為___________.

解：由題意得不等式|x|+|y|≤1約束下的可行域如圖1所示（含邊界）.因為a⊥b，所以（x+z，3）·（2，y-z）=0，即z=2x+3y.由“頂點坐標代入法”，得直線z=2x+3y過點（0，-1）時，z=2x+3y取得最小值-3，直線z=2x+3y過點（0，1）時，z=2x+3y取得最大值3.因此z的取值范圍為［-3，3］.

例2 （2011年廣東理）在平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組給定.若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為的最大值為____________.

解：由題意得在平面直角坐標系內不等式組所確定的可行域如圖2陰影部分所示.

點評：上述兩個例題將目標函數向量化.通過向量的數量積運算尋求目標函數，從而使目標函數的幾何意義“截距化”，利用“頂點坐標代入法”求出目標函數的最值或取值范圍.雖然題目看似簡單，但命題人巧妙地把向量知識與線性規劃問題結合起來，不失為一道考查學生綜合運用知識分析問題和解決問題能力的好題.

二、利用距離公式，改造目標函數

圖3

例3 （2011年江西理）對于實數x、y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，則|x-2y+1|的最大值為____________.

解：由題意得點（x，y）在約束條件下的可行域為正方形ABCD（含邊界），如圖3陰影部分所示.由于可以看成可行域內的點（x，y）到直線x-2y+1=0的距離的倍，因此，當x=0、y=3時，|z|=|x-2y+1|取得最大值5.

三、利用斜率公式，明確目標函數

解：由題意得點D由不等式組所確定的可行域如圖4陰影部分所示.令，根據幾何意義，t的值即為可行域內的點與坐標原點連線的斜率，顯然t的取值范圍為

圖4

點評：本例看似毫無頭緒，令人無從下手.但經過巧妙“變形換元”，目標函數的幾何意義“躍然紙上”，然后“分離常數”，構造關于t的函數，利用函數的單調性得出目標函數的取值范圍.

解：由題意得不等式組所確定的可行域如圖5陰影部分所示.cos∠POQ的值越小，∠POQ的張角越大.顯然，由圖形可知：∠AOB即是所求角.

點評：本例中的目標為求角的余弦值，幾何意義看似無跡可尋.但根據斜率公式k=tanα，把角與斜率聯系起來，所求目標函數的最值“迎刃而解”.

四、利用二次函數，變形目標函數

例6（2008年上海文第11題改編）在平面直角坐標系中，A、B、C點的坐標分別為（0，1）、（4，2）、（2，6）.如果P（x，y）是三角形圍成的區域（含邊界）上的點，則w=xy的最大值是____________.

解： 由題意得A、B、C三點所確定的可行域如圖6所示.要求w=xy的最大值，實質上是求圖6陰影部分所示的矩形面積.易知在同一水平線上，點P越靠右，矩形面積越大；在同一豎直直線上，點越P靠上，矩形面積越大.因此只有當點P在線段BC上時，才能使矩形面積最大，顯然，線段BC的方程為y=-2x+10（2≤x≤4）.所以w=xy=x（-2x+10）=-2x2+10x，故當

點評：本例中目標函數的幾何意義很明確：求矩形面積的最大值.難在判斷何時點P才能使矩形有最大面積，通過分析只能在可行域的邊界上，這樣求出所在邊界的直線方程，通過換元變形將問題轉化成閉區間上二次函數的最值問題，從而使問題得到解決.