動圓探索型問題賞析

☉江蘇省睢寧縣梁集中學 田步剛

動圓問題是初中數學常見問題，近幾年在各地中考試卷中也經常出現.由于此類試題靈活性較強，涉及的知識面較廣，對學生的思維能力要求較高，常常令學生束手無策.因此，如何正確快速地求解成為學生學習中的難點.本文特選近幾年各地數學中考試題舉例如下.

例1 如圖1，點A，B在直線MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半徑均為1cm.⊙A以每秒2cm的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（s）之間的關系式為r=1+t（t≥0）.

（1）試寫出點A，B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數表達式.

（2）問點A出發后多少秒兩圓相切.

分析：由題意可知，A，B的距離越來越小，直至兩點重合，而后兩點距離逐漸增大.故要進行分類討論.兩圓相切意味著可以內切，也可以外切，因此，解決此題的前提是認真審題.

解：（1）當0≤t≤5.5時，函數表達式為d=11-2t；

當t＞5.5時，函數表達式為d=2t-11.

（2）兩圓相切可分為如下四種情況：

①當兩圓第一次外切，由題意可得11-2t=1+1+t，t=3；

③當兩圓第二次內切，由題意可得2t-11=1+t-1，t=11；

④當兩圓第二次外切，由題意可得2t-11=1+t+1，t=13.

例2 一條拋物線y=x2+mx+n經過點（0，3）與（4，3）.

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標.

（2）現有一半徑為1、圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標.

（3）⊙P能與兩坐標軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線y=x2+mx+n使⊙P與兩坐標軸都相切（要說明平移方法）.

分析：這是二次函數與圓的綜合題，這是各地中考試卷中壓軸題的常見類型，難度較大.首先要做好基礎工程——正確求得二次函數解析式；第（2）問中與坐標軸相切是一個陷阱，必須想到既可與y軸相切，也可與x軸相切，因此也要分類討論！

解（1）因為拋物線過（0，3），（4，3）兩點，

所以拋物線的解析式是y=x2-4x+3，頂點坐標為（2，-1）.

（2）設點P的坐標為（x0，y0）.

當⊙P與y軸相切時，得|x0|=1，所以x0=±1.

由x0=1，得y0=12-4+3=0；由x0=-1，得y0=（-1）2-4（-1）+3=8.

此時，點P的坐標為P1（1，0），P2（-1，8）.

當⊙P與x軸相切時，得|y0|=1，所以y0=±1.

由y0=1，得

由y0=-1，得x02-4x0+3=-1，解得x0=2.

（3）由（2）知，不能.

拋物線y=x2-4x+3上下平移后的解析式為y=（x-2）2-1+h，

若⊙P能與兩坐標軸都相切，則|x0|=|y0|=1.

即x0=y0=1或x0=y0=-1或x0=1，y0=-1或x0=-1，y0=1.

取x0=y0=1，代入y=（x-2）2-1+h，得h=1.

所以只需將y=x2-4x+3向上平移1個單位，就可使⊙P與兩坐標軸都相切.

小結：通過以上兩例可以看出，解決動圓探索型問題的過程比較復雜，運用的數學思想比較豐富.解題的原則是以靜制動，動中找靜，力爭達到事半功倍的效果.