永磁電機分析的場路耦合時步有限元法

梅 凡， 謝寶昌， 高 強， 蔡 旭，2

(1.風力發電研究中心，上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240;

2.海洋工程國家重點實驗室，上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

0 引言

在自起動永磁同步電機中，氣隙中的磁場會由于繞組分布以及定轉子開槽等原因而發生畸變，從而影響電機的運行特性。電流會產生高強度的諧波分量，電磁轉矩出現一定的脈動，振動噪聲和諧波損耗等干擾也會隨之產生，會降低電機的效率，給系統運行的穩定性帶來危害。在傳統的基于d、q軸的理論分析中，往往忽略電流的高次諧波分量，這會給永磁電機的電磁場計算和性能分析帶來一定的誤差。可以采用場路耦合的模型來解決此問題，并結合有限元的方法，使計算和分析的結果更加精確。首先建立好定轉子回路的電路方程和電機模型各個區域的電磁場方程，再將電磁場有限元方程與瞬態定轉子電路方程聯立起來，這樣就能夠解出每個瞬時時刻對應的定子相電流和電機的電磁轉矩。采取此方法，經過傅里葉分析可得到各次諧波分量，這樣使計算結果更能模擬永磁同步電機的實際運行情況，分析更具有實際的應用意義。

文獻［1］采用場路耦合時步有限元法分析永磁電機時，并未將轉子電路方程與電磁場方程耦合。本文考慮轉子導條時采用異步電機的鼠籠條的等效方法，給自起動永磁同步電機建立了較為完整的場路耦合模型。首先建立了永磁電機的定轉子電路方程和電磁場方程，然后再將它們耦合。在實際仿真運行時，采用氣隙邊界運動法來模擬轉子的運動，并給出具體的計算和求解過程。最后對一臺2.2 kW的自起動永磁同步電機采用場路耦合的方法進行了有限元仿真，分析其電磁場及運行特性。

1 電機的定轉子方程和電磁場穩態方程

1.1 電機的定轉子電路方程

永磁電機定子繞組的等效電路圖如圖1所示。

圖1 定子繞組等效電路圖

為了更加精確地計算電機的參數，在定子電路方程中，要將定子的端部效應計入其中。同時，諧波分量帶來的影響以諧波漏抗的形式反應到定子漏電感當中去。各個線圈按照一定的串并聯的連接方式并分相后構成各相繞組，接到電源上。以電壓為輸入量，列寫定子繞組各相的回路方程:

其中:下標j=a，b，c;

uj——各相的輸入電壓;

ij——每相繞組的定子電流值;

Rj——定子各相繞組的等效電阻，與導體材料的用量和連接方式有關;

Lj——各相的漏電感，包括槽漏電感，端部漏電感，諧波漏電感等;

ej——各相繞組的反電勢。

在分析永磁電機的穩態運行且僅考慮磁場基波分量的情況下，轉子導條中的感應電流可忽略不計。這是因為在穩態情況下，轉子以同步速旋轉，轉子與電源產生的旋轉磁場之間無相對運動，所以鼠籠條中也就沒有感應渦流。但是為了分析高次諧波磁場的作用，就必須考慮轉子導條中的

式中:uk——轉子第k個導條上的電壓;

ik——第k個導條上流過的電流;

Re——兩相鄰導條間的端環的等效電阻;

Le——等效電感;

iek——流經第k個和第k+1個導條之間的端環的電流。

1.2 電機電磁場的穩態分析模型

忽略定、轉子鐵心中的渦流及轉軸方向上的磁場變化，計及轉子導條的感應渦流。各個區域的電磁場方程如下。

1.2.1 無外加電流區域

在這個區域包括定轉子鐵心部分，氣隙部分及永磁體部分。永磁體用面電流模擬，體現為邊界的面電流密度，其余部分電流密度為零。所以該區域的電磁場方程為電流，因為電源產生的高次諧波的轉速不等于同步速，轉子導條與高次諧波產生的磁場之間有相對運動，就產生了感應電動勢，從而形成感應電流。

轉子導條的電流回路和電壓平衡方程式為

1.2.2 定子繞組區域

定子繞組由線圈組成，線圈中流有電流，該部分的方程為

式中:N1為一個線圈的匝數，α為并聯支路數，Sb為線圈一個邊所占面積，αi(i=a，b，c)為單元繞組電流系數，且他們的值為

J為電流密度，且:

其中，i=A，B，C。可以看到，繞組電流系數的取值與該區域槽電流是否導通和電流的方向有關。

1.2.3 轉子導條區域

轉子導條部分的電磁場方程為

式中:Lef為導條有效長度，磁矢位和導條電壓為未知量。

2 場路模型的耦合與有限元法計算

場路耦合法就是以三相電壓源作為已知量輸入，將用瞬時值表示的電機定、轉子回路的電路方程與電機電磁場方程通過電樞繞組的感應電動勢聯立起來，并結合轉子的機械運動方程，直接計算電機的磁矢位、繞組電流和電磁轉矩等，運用電機瞬態電磁場的方法，精確分析電機從起動過程到穩態運行整個過程的運行性能。在每個求解時刻下，電機的電磁場近似按照穩態場來處理，電機的轉速也假定不變，在求出此時刻電機運行的各項參數之后，根據機械運動方程，就可以得到下一求解時刻轉子位置，從而開始下一個穩態時刻的求解。將這些穩態求解時刻的計算結果結合起來，就得到動態解。因此，只要計算的步長Δt選取得合理，計算結果就能完全模擬電機的實際運行情況。

利用場路耦合時步有限元法，可以將鐵心飽和造成的磁路非線性，齒槽效應，端部效應，渦流效應等都考慮進去，并且能計算出漏磁系數、波形系數、漏電感、諧波損耗等初步設計不易計算的參數，從而使設計和分析更加精確和合理。

2.1 場路模型的耦合

定子繞組的感應電勢是把定子區域場路耦合模型耦合起來的樞紐，這是因為每相的感應電勢是繞組回路電壓平衡方程式中的一項，但是它需要通過電磁場的計算來得到。反電勢可以通過交鏈磁鏈的變化率求得，而磁鏈的值又與節點的磁矢位的大小有關。每相繞組的反電勢為

式中:下標x=a，b，c;

Ψx——相繞組磁鏈;

Lef——繞組有效長度;

np——單元總數;

p——極對數。

在電磁場的方程中，定子繞組部分的電流和磁矢位，以及轉子導條部分的電流和電壓是未知量。采用差分來代替求導，運用加權余量法，取權函數等于形狀函數。并將定轉子的電磁場方程和電路方程進行耦合，得到整個電機的場路耦合方程:

其中第一行是電磁場方程，第二行是定子繞組電路方程，第三行是轉子的回路電流方程式，第四行是轉子的電壓平衡方程。A表示矢量磁位，is表示定子繞組電流，u表示轉子導條的電壓，ir表示轉子導條的電流。M表示永磁體的勵磁作用，us表示定子繞組的電壓。系數矩陣中的系數要通過單元分析和總體合成得到。

為了能夠得到永磁同步電機的瞬態特性，計算電機的轉速和每個時刻對應的轉子軸線的機械角度，要將轉子的機械運動方程與上述場路耦合方程相結合。機械運動方程為

可以在區域求和代替面積分。

2.2 轉子運動的模擬

當模擬轉子運動時，如果對每一個轉子運動位置的情況重新建模，再劃分網格進行求解，那將要耗費大量的時間，使得前處理太過復雜。可以采用氣隙邊界運動法解決此問題。將氣隙部分沿著氣隙中心線平均分成兩部分，靠近定子側的部分，位于定子區域的靜止坐標系中，靠近轉子側的

其中電磁轉矩的計算為部分，位于轉子區域的旋轉坐標系中。當轉子旋轉時，兩部分的氣隙相對于各自的坐標系都是靜止的。只有兩部分重合的邊界，也就是氣隙中心線是相對運動的。因此可以將氣隙中心線沿圓周進行等距離的設置節點，這樣當轉子運動時，定子氣隙部分的節點方程不變，只需要將轉子氣隙邊界的節點編號進行旋轉后的重新對位，列寫方程即可。

2.3 求解過程

為了分析永磁電機的機電能量轉換，要同時求解電機的電磁場方程和機械運動方程。計算過程如下:

(1)給定負載轉矩，設定初始時刻的定子繞組三相電壓，并設定求解的步長Δt。

(2)在每一個求解時刻t=t0+nΔt，利用場路耦合方法，求解電磁場有限元方程，直至收斂，得到此時的磁場分布，各個節點的電流的大小和磁矢位的值。

(3)計算氣隙中心線上節點的電磁轉矩，再根據轉子的機械運動方程求出機械角速度Ωr的變化率，然后得到下一時刻的角速度和轉子中心線的位置。

(4)反復執行(2)和(3)，直至仿真時間達到設定的終止時刻且電機已進入穩態運行，最終得到電機的暫態運行曲線。

3 場路耦合有限元法的仿真實例

本文以一臺2.2 kW的永磁同步電機為例，先利用傳統的等效磁路法對這臺電機的尺寸大小，永磁體的結構，定、轉子的槽型等進行了設計;然后通過場路耦合時步有限元法對設計好的電機進行仿真計算分析。

3.1 電機的基本結構和主要參數

利用等效磁路法所設計的永磁同步電機的基本參數如下:額定功率2.2 kW，額定電壓380 V，極對數3，定子槽數27，轉子槽數24，定子內徑140 mm，鐵心長度120 mm，氣隙長度0.25 mm，其截面圖如圖2所示。

采用內置徑向式的轉子結構，結構簡單，轉子的機械強度高，有較強的安全性和可靠性。

為了永磁同步電機的自起動需要，并且能盡量減小反電勢中的高次諧波，定子槽數采用分數槽，這樣的設計也有利于減小齒槽轉矩，同時為便

圖2 永磁同步電機的截面圖

于控制極弧系數，盡量滿足轉子磁路的對稱性，并考慮極槽配合的情況下，選定轉子槽數為極數的整數倍。因為是永磁體勵磁，將繞組連接成星型，有利于減小雜散損耗，并且可以防止三次諧波在繞組之間產生環流。

3.2 空載電磁場分析

當沒有外加的激勵源，只有永磁體磁場的獨立作用下，永磁同步電機的磁力線分布如圖3所示。

圖3 永磁同步電機空載時的磁力線分布

可以看到，大部分的磁力線都從永磁體的磁極出發，依次經過轉子齒，氣隙，定子齒，定子軛，然后再經過定子齒，氣隙，轉子齒，最后回到永磁體。這是因為鐵磁材料的磁導率比繞組導體大得多，大量磁力線從鐵心中流過，各部分磁力線分布合理。

靜態情況下，還可以得到永磁同步電機的空載氣隙磁密波形，如圖4所示。由于是永磁勵磁，所以氣隙磁密波形近似矩形波，但是由于定轉子開槽的影響，使得氣隙磁阻不均勻，進入槽的磁力線比較稀疏，而進入鐵心齒部的磁力線比較密集。

3.3 額定負載運行特性分析

圖4 空載氣隙磁密

給永磁同步電機施加額定負載TN=20 N·m，聯立機械運動方程和場路耦合方程，就能得到電機帶負載起動的運行特性。電機的相電流、電磁轉矩、機械角速度的相應曲線分別如圖5～圖7所示。

起動過程中，電磁轉矩比較大，由轉子導條提供，轉子角速度曲線的坡度比較陡，加速度比較大，能較快牽入同步速。在t=0.4 s后，相電流基本為正弦波，電磁轉矩等于負載轉矩，有輕微的脈動，電機轉速穩定在同步速。永磁同步電機進入穩定運行狀態。

4 結語

本文利用場路耦合時步有限元法來分析永磁同步電機，并對一臺2.2 kW的電機進行了二維電磁場的有限元仿真分析，得到了電機的磁場分布、相電流波形、轉矩響應曲線和轉速特性曲線，通過與實際值比較分析，驗證了所建立的場路耦合模型的合理性。此方法在分析永磁電機時，考慮到了齒槽效應、繞組分布、鐵心飽和引起的磁路非線性等問題，給永磁電機的設計和分析提供一個借鑒，同時對計算得到的電流和轉矩進行傅里葉變換，可以得到各次諧波的分量，這給電機設計的優化提供了參考。因為是以定子端電壓作為輸入量，所以這種場路耦合時步有限元法不僅適用于三相正弦波供電的情況，也可應用在多相永磁電機，電壓為逆變器供電等其他波形的情況。

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