主從軸運動控制中5次方曲線的設計

劉澤洋

（上海交通大學自動化系，上海 200240）

現在一般伺服運動中，如果是控制電機走固定位置的方式，上位控制系統PLC 一般都是讓伺服走一個梯形的位置塊。這種模式都是單軸的運動模式，在這種情況下，每個軸的運動都是獨立的，而不是關聯的。在這類運動方式下，如果要將2個軸或者多個軸的運動建立聯系，只能通過上位PLC 將2個軸或多個軸進行邏輯關聯。

例如在某個時間節點，PLC 通過邏輯判斷要某2個軸一起運動，則發出一個觸發信號，觸發2個軸開始運行先前設定好的速度指令或者位置指令。但是在這個模式下，一旦PLC 發出觸發指令后，2個軸就開始各自進行運動，在完成當前運動前，PLC 是無法進行過程干預，或者2個軸之間是無法進行速度或者位置關聯的。所以，這類模式是無法保證過程中的2個軸的關聯性。

如果在運行的過程中，任意一個軸的速度有變化，或者位置有波動，其他軸是無法獲知這個情況，還是會根據之前的設定繼續完成該步驟。

圖1 PLC 控制的2 軸運動方式圖

所以為了解決這個問題，市場上出現了運動控制器。運動控制器集成了原先PLC 的所有功能，同時增加了多軸的同步運動控制。

多軸的同步運動控制，就是將原先PLC 的軸和軸之前的邏輯關系，轉變成了一一對應的位置關系。

圖2 走位置同步的從軸塊位移和速度曲線圖

圖2 顯示的就是一條同步運動中從軸相對于主軸的位置曲線。紅色的是位置曲線，藍色的是速度曲線。用戶先在程序中完成想要實現的曲線動作，然后下載到運動控制器中，運動控制器在程序運行的過程中，根據這條曲線來判斷主軸和從軸的位置關系，并實時地根據主軸反饋回來的位置信號，發送對應的位置命令給從軸，從而實現了軸和軸之間的位置同步功能。

這個功能在市場上一部分運動控制器中都能夠實現。但并不是說，使用了這個功能做出來的設備的效果，就一定非常好，非常完美了。

從圖2 中可以發現，在伺服電機從位置零走到100%完成點的過程中，位移曲線實際上是一條由3段曲線拼接而成的。第一段是一條加速曲線，中間是段勻速區間，最后一段是條勻減速曲線。

相對應的，速度曲線也是由3 段曲線拼接完成，第一段是斜率恒定的勻加速曲線，所以速度是從0開始加速上升的；中間段是勻速過程，所以速度值是一個恒定的值；最后一段是勻減速，所以速度從勻速值開始減速下來到0。

這條曲線初看起來好像挺不錯的，位移曲線比較圓滑，速度是勻加速的，也沒有跳變。但是再進一步分析之后，就會發現有問題存在。

圖3 走梯形位置塊速度和加速度曲線圖

圖3 中綠色的線是加速度曲線，可以發現加速度曲線也是分成3 段的，而速度曲線的加速和減速，實際上是因為加速度曲線的改變。在速度曲線的勻加速段，加速度曲線有一個恒定的正向輸出值，從0時刻開始存在，一直到勻加速段結束。在勻速運動段，加速度為零。在勻減速段中，加速度值從0 變為負值，是伺服電機的速度從勻速開始逐步減速到0。

這個時候問題就出現了，雖然位移和速度都是逐步變化，沒有跳變，但是對于加速度來說，則是一個跳變的過程。因為從零位開始，加速度是從0 直接跳變到一個恒定值，中間沒有遞變過程；然后在要達到勻速運動的時候，又是一個加速度跳變，從恒定值直接跳變回0；在勻減速運動開始的時候，又從0 直接跳變成一個負值；最后在運動結束的時候，再次從負值直接跳變成0。

這樣問題就出來了：對于伺服系統來說，加速度對應伺服電機的扭矩，加速度的變化對應的實際上就是電機扭矩的變化。如果伺服系統的加速度跳變的話，對應的伺服電機的扭矩就會跳變。上圖顯示的一個完整的運動過程中，一共有4 次加速度跳變，所以對于伺服電機來說，一個運動周期就會有4 次扭矩跳變。雖然扭矩的變化對于伺服電機來說比較正常，但是如果伺服系統帶的負載是一個比較大的設備，扭矩輸出很大；或者負載端是比較精密的設備，不允許有任何跳變引起的振動；又或者產品剛性比較差，不允許有扭矩的突變的話，這個時候，問題就比較麻煩了。

這樣回到最初的問題，因為現在的伺服系統基本都是采用這種運動方式來走定位，如果不能采用梯形位置塊模式，那還能采用什么模式呢？

通過查閱相關資料，加上一些研究，發現有一種類型的曲線，可以不受加速度跳變的限制，并且可以自由設定加速度值，甚至可以設定加速度的加速度，即加加速度。這種曲線就是5 次方曲線。

圖4 5 次方曲線圖

圖4 顯示的是一條標準的5 次方曲線，紅色的是位移曲線，藍色的是速度曲線，綠色的是加速度曲線，紫色的是加加速度曲線?？梢园l現，和普通曲線相比，多了一條加加速度曲線，也正式因為有了這條加加速度曲線，加速度曲線才能不用跳變。

如果將5 次方曲線應用在之前的梯形位移曲線上，效果會如何？

圖5 應用5 次方曲線后的梯形位置塊

可以很明顯的發現，在應用了5 次方曲線之后，速度曲線、加速度曲線，都比之前的曲線更平滑柔順，沒有任何的階躍和跳變了。速度曲線和之前一樣，是從0 開始增加，一直增加到勻速段，之后勻速運行到減速段，在逐步減速到0。

而加速度曲線則和之前的完全不同：之前的曲線，加速度是從0 直接跳變的，之后保持恒定值，直到勻速段后再突然跳變回0。而現在5 次方曲線中，加速度是從0 開始有弧度的增加，在達到拐點后再有弧度的減少，當曲線要達到勻速運行段的時候，加速度正好回復到0。這中間沒有一點階躍或者跳變，都是平滑的運動。減速段也是一樣，平滑地減速到0。

所以在用了5 次方曲線之后，就不用擔心因為扭矩階躍跳變而引起的負載突然變化，精度變差甚至損壞產品的問題發生了。

那么5 次方曲線到底是個什么曲線？為什么叫做5 次方曲線？曲線的方程式是什么？它又是如何影響曲線的速度，加速度和加加速度的呢？

5 次方曲線之所以叫做5 次方曲線，是因為在其位移方程式中，對于自變量X 最高有5 次方指數來影響方程式結果的。5 次方的方程式具體結構如下：

式中A、B、C、D、E 都是系數，而X 代表的是時間，或者是主軸的位置；而Y 代表的是從軸（或者說是該伺服電機本身）的位置。

5 次方曲線按照上面方程式求出來的結果是位置值，也就是位移曲線；如果要求速度曲線，就必須將該方程式求導，也就是將位移對時間求導，得出速度曲線。所以5 次方曲線的速度曲線方程式是：

同樣的，加速度曲線的方程就是對速度曲線方程再求一次導：

而加加速度的方程就是對加速度方程求導：

現在方程式有了，但是方程式的系數ABCDE 都沒有確定，還是無法求出具體數值的。所以需要將特殊的點帶入方程式中，來求出系數ABCDE。

通常選取的特殊點是曲線的起始點和終點。比如起始點的起始位置是0，對應的從軸位置也是0，起始速度是0，加速度是0，則對應的求解方程就有：

根據這3個方程式，可以得出D 和E 的值是0。

但是知道這2個系數還不夠，還需要知道ABC的值才能最終確定方程式。所以我們需要終點的數據：終點X 位置值1（100%），從軸位置1（100%），速度為0，加速度0。

同時帶入之前求得的D 和E，求出ABC 的值分別為：

A =6,B=-15,C=10。

所以按照之前給的設定條件，初始點和終點的具體值：

初始點：主軸位 置0，從軸位置0，起始速度0，起始加速度0；

終點：主軸位置1，從軸位置1，終點速度0，終點加速度0；

得到的5 次方曲線為：

這個就是條標準5 次方曲線的方程了，如果按照方程式畫出曲線來的樣子就如下：

圖6 5 次方曲線位置，速度，加速度和加加速度圖

但是有一點要確定的是，每條5 次方曲線都會因為初始條件的不同（起始點和終點的位置，速度，加速度），而是每條曲線的ABCDE 都不一樣。所以，只要前提條件變化了，就必須重新計算方程式，不然曲線就不是一樣平滑的5 次方曲線了。