基本過程能力指數(shù)的分析與應(yīng)用問題研究

韓亞利

（長沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410124）

在生產(chǎn)過程的質(zhì)量分析與控制中，計算與評價過程能力指數(shù)是一項非常重要的工作。特別是近年來，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，開發(fā)了很多質(zhì)量管理和質(zhì)量控制軟件，使得在計算過程能力指數(shù)值時，所需要的大量數(shù)據(jù)的實時收集、計算和分析，可以借助于計算機軟件來輕松地實現(xiàn)，極大地促進了過程能力指數(shù)的理論研究和在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用。

過程能力（Process Capability，PC）以往稱工序能力，現(xiàn)已根據(jù)ISO 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，統(tǒng)一稱為過程能力，是指在生產(chǎn)過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時，該過程所生產(chǎn)的產(chǎn)品能滿足質(zhì)量要求的能力。而過程能力指數(shù)（Process Capability Index，PCI）則是將過程能力量化后的評價標(biāo)準(zhǔn)，表示過程能力滿足質(zhì)量技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（產(chǎn)品規(guī)格、公差）的程度。

經(jīng)過長期的理論研究和實踐，從事數(shù)理統(tǒng)計質(zhì)量控制的研究人員提出了許多種過程能力指數(shù)。根據(jù)文獻的不完全統(tǒng)計，目前已在實踐中應(yīng)用和正在進行研究的單變量過程能力指數(shù)多達20 多種，多變量過程能力指數(shù)也有7 種。但從研究的原理和過程來看，這些過程能力指數(shù)都是從Cp、Cpk、Cpm和Cpmk等4個基本指數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展、變化而來的[1]。它們之所以被稱為基本指數(shù)，首先，是因為它們是最早提出來的(1986年，美國質(zhì)量專家V.E.Kane 在公開發(fā)表的文獻中就系統(tǒng)地介紹了這4個指數(shù))、也是最簡單的指數(shù)(單變量指數(shù))；其次，還因為這4個指數(shù)都是建立在過程特性值服從最常見的正態(tài)分布假設(shè)之上的，是當(dāng)生產(chǎn)過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時進行過程能力分析與評價的、最常用的幾個指數(shù)。因此，正確理解、把握、解釋這幾個基本過程能力指數(shù)的定義、概念和應(yīng)用特點就顯得尤為重要。

1 過程能力指數(shù)

對于穩(wěn)定受控的生產(chǎn)過程，由于不可避免地存在各種隨機因素的作用，其過程特性值總呈現(xiàn)一定的分散性。在一般情況下，過程特性值服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ 為過程特性值的總體均值，σ 為過程特性值的總體標(biāo)準(zhǔn)差。在正態(tài)分布曲線圖上，T=Tu- Tl為技術(shù)規(guī)格的公差幅度，Tu、Tl分別表示上、下規(guī)格界限，技術(shù)規(guī)格的公差中心

1.1 第一代過程能力指數(shù)Cp、Cpk

（1）過程能力指數(shù)Cp。美國著名質(zhì)量專家朱蘭(J.M Juran) 在1974年首先提出了用統(tǒng)計控制狀態(tài)下的6σ 表示的過程能力指數(shù)Cp，其定義式為：

在Cp定義式中，T = TU- TL反映產(chǎn)品質(zhì)量的設(shè)計要求，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ 反映了過程特性值的分散程度，可通過計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差S 來估計。所以Cp定義式將6σ 與T 比較，就反映了過程質(zhì)量滿足產(chǎn)品質(zhì)量設(shè)計要求的能力，定量的表征了該工藝過程滿足技術(shù)規(guī)范要求的能力。Cp值越大，表明該工藝過程滿足技術(shù)規(guī)范要求的能力越高，但對設(shè)備和操作人員的要求也越高，相應(yīng)的經(jīng)濟成本也越大。

Cp就是通常所說的過程能力指數(shù)，該指數(shù)討論的是過程特性值均值μ（分布中心）和技術(shù)規(guī)格的公差中心M 重合一致的情況，即μ=M，但這只是一種理想的狀態(tài)。因此，Cp值僅表示工序過程能力的潛力，又稱為潛力過程指數(shù)。

（2）實際過程能力指數(shù)Cpk。在實際生產(chǎn)過程中，經(jīng)常有分布中心與公差中心不重合的情況，即μ≠M有偏移量ε，如圖1 所示。

圖1 μ≠M 有偏移量ε 時的情形

從圖1 可得知，當(dāng)μ≠M 有偏移量ε 時，不合格品率PU明顯增大，過程能力減小。此時，Cp已不足以反映有偏移的實際情況，需要加以修正。

美國質(zhì)量專家V.E.Kane 在1986 提年出了需要定義一個校正因子來表征偏移量的大小，并將修正后的指數(shù)Cpk定義為：

顯然，偏移系數(shù)0≤k≤1。即：當(dāng)μ≠M 時，Cpk

CPk的定義式充分考慮了分布中心μ 與公差中心M 之間的位置關(guān)系，克服了Cp指數(shù)的缺陷。因此，Cpk在實際生產(chǎn)過程中比Cp應(yīng)用更多，很多質(zhì)量研究學(xué)者又稱其為實際過程能力指數(shù)[2]。

1.2 第二代過程能力指數(shù)CPm

雖然Cpk考慮了μ 偏移M 的程度，但對于μ 偏離目標(biāo)值T 的情況仍無法反映。無論Cp還是Cpk的定義式，對于給定區(qū)間(TL，TU)內(nèi)的μ 值，當(dāng)σ →0 時，Cp和Cpk都會發(fā)散至無窮大，因此Cp和Cpk不能很好的用于過程集中程度的度量。針對指數(shù)Cp和Cpk的缺點，一些質(zhì)量研究學(xué)者又在此基礎(chǔ)上進行了修正，并引入田口損失函數(shù)期望值的概念，將其定義為“田口指數(shù)”CPm：

其中：σ'2= E[（Y-T）2]，表示Y 偏離目標(biāo)值T 的方差的期望。

由于田口指數(shù)CPm的設(shè)計考慮到μ 與T 之間的關(guān)系，故無論使過程方差變大，還是過程偏離目標(biāo)變大，都會引起CPm的減小，因此，CPm能綜合反映過程偏離目標(biāo)的離散程度。

該指數(shù)把顧客期望的理想值(也即目標(biāo)值)引入進來，體現(xiàn)了Taguchi 質(zhì)量管理思想——產(chǎn)品偏離目標(biāo)值就會有質(zhì)量損失。所以CPm在反映過程期望損失的能力上要明顯優(yōu)于CP和CPk，通過計算CPm可以對過程的經(jīng)濟性進行客觀的估計。這就是CPm與Cp、Cpk的本質(zhì)區(qū)別。

1.3 第三代過程能力指數(shù)CPmk

Pearn Kotz 和Johnson 將CPk和CPm的 優(yōu) 點 相 結(jié)合，于1992年提出了過程能力指數(shù)CPmk的定義：

由定義可知，CPmk同時考慮了μ 與M 及T 之間的關(guān)系。Peam Kotz 同時還證明，當(dāng)T=M 且μ=T 時，CPmk指數(shù)比CPk和CPm都靈敏，即CPmk的下降速度最快。因此，CPmk指數(shù)能同時反映過程的不合格品率和期望損失[2]。

CPmk又稱為混合指數(shù)，由CPk的分子與CPm的分母混合而成，其對過程能力的綜合評價效果要好于CPk和CPm。但是，研究表明在很多情況下該指數(shù)與實際生產(chǎn)過程也還是有一些差距[3]。

2 過程能力的分析和評價

對過程能力評價的基本原則是：既要考慮生產(chǎn)過程有充足的過程能力，又要考慮生產(chǎn)過程有合理的經(jīng)濟性指標(biāo)。在一般情況下，由抽樣采集的樣本數(shù)據(jù)計算出過程能力指數(shù)后，即可根據(jù)Cp、Cpk值對過程能力進行評價，如表1 所列；如果存在偏移系數(shù)k，則需要根據(jù)Cp、Cpk值的大小對某些參數(shù)進行處理，如表2 所列。

表1 過程能力指數(shù)Cp 值評價標(biāo)準(zhǔn)

表2 存在偏移系數(shù)k 時的處理

上述Cp值評價標(biāo)準(zhǔn)只是傳統(tǒng)的一般要求，只能作為實際工作的參考，其它幾個過程能力指數(shù)的評價標(biāo)準(zhǔn)可參考有關(guān)文獻資料。

需要說明的是，所謂過程能力不足或過高，都是針對特定生產(chǎn)制造過程以及特定產(chǎn)品的特定工序過程而言，不應(yīng)理解為統(tǒng)一的模式。例如，當(dāng)Cp叟1.33時，過程能力充分滿足質(zhì)量要求，故在ISO9000 標(biāo)準(zhǔn)中要求Cp叟1.33；而在一些企業(yè)推行的六西格瑪管理模式中，則要求Cp值達到2，這是現(xiàn)代企業(yè)的高標(biāo)準(zhǔn)、嚴要求，也是高新技術(shù)發(fā)展的必然。

由已知條件計算可得，公差中心M=20.007 5；又已知分布中心向右偏移，偏移量ε=偏移系數(shù)k=0.2，過程能力指數(shù)Cp=0.933。

由表1 所知，Cpk=0.933，在1.0＞Cpk叟0.67 范圍內(nèi)，屬于Ⅲ級過程能力，表現(xiàn)為該工序的過程能力不足，質(zhì)量保證能力較差；應(yīng)分析原因，采取工藝措施，提高過程能力以保證產(chǎn)品質(zhì)量。具體有以下幾種途徑：

（1）針對零件設(shè)計功能，適當(dāng)加大內(nèi)孔公差范圍，減少工序加工難度；

（2）選用高精度機床設(shè)備，減少偏移量ε，提高工序加工精度；

（3）查找原因，確定質(zhì)量改進方向，減少過程特性值的分散程度σ。

3 幾個技術(shù)問題的處理

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，過程能力指數(shù)的計算和分析已非常簡便、快捷，但在實際工作中，質(zhì)量管理人員還是會出現(xiàn)一些技術(shù)問題，使得他們不能很好地利用這一質(zhì)量工具來分析、評價過程能力。本文主要涉及與過程能力指數(shù)的定義、特征有關(guān)的兩個技術(shù)問題的處理。

3.1 樣本容量和異常值的處理

在實際生產(chǎn)現(xiàn)場的質(zhì)量控制中，有些質(zhì)量管理人員為了節(jié)省抽樣時間，只抽取少量的樣本數(shù)據(jù)就計算過程能力指數(shù)，這樣往往會導(dǎo)致其分析結(jié)論和生產(chǎn)過程的實際情況產(chǎn)生很大差異。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)原理，這種基于樣本得到的過程能力指數(shù)估計值本身就會產(chǎn)生估計偏差。特別是，當(dāng)抽取的樣本容量n 太小、且樣本中還存在某一個或幾個異常值時，就將很難保證抽樣結(jié)果反映出隨機性變量的主要特征。即這些異常值的存在會影響到數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性，對樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計算帶來很大誤差，從而使過程能力指數(shù)嚴重失真。

當(dāng)樣本容量n 很小時，過程能力指數(shù)的置信區(qū)間也會很大。我們可以根據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù)，計算當(dāng)過程能力指數(shù)的估計值=1 時，不同的樣本容量n所對應(yīng)的CP置信區(qū)間，如表3 所列。

表3 與樣本容量n 對應(yīng)的Cp 置信區(qū)間

事實上，在小樣本條件下（n 小于20 ~ 30）難以判定過程特性值數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性，也很難說明在抽樣時，過程是否處于穩(wěn)定或受控狀態(tài)，計算出的過程能力指數(shù)值可能和實際值有很大的偏差。因此，有些統(tǒng)計質(zhì)量學(xué)專家質(zhì)疑、反對在小樣本條件下計算過程能力指數(shù)[4]。

在抽樣的過程中，難免會發(fā)現(xiàn)有些抽樣數(shù)據(jù)明顯與其它數(shù)據(jù)不同（異常值）。因此，在計算和分析過程能力指數(shù)時，應(yīng)結(jié)合使用控制圖等質(zhì)量工具，通過數(shù)據(jù)分布檢查有無異常波動或異常值存在。異常波動對質(zhì)量的影響大，但采取措施不難消除，故在過程中一旦發(fā)現(xiàn)異常值，就應(yīng)該盡快追蹤其原因，采取措施加以消除，并納入標(biāo)準(zhǔn)，保證它不再出現(xiàn)。若找不到導(dǎo)致異常值的原因，則不能隨便剔除抽樣數(shù)據(jù)。

3.2 非正態(tài)分布的等效指數(shù)轉(zhuǎn)換

基本過程能力指數(shù)的定義都設(shè)定過程特性值服從正態(tài)分布，當(dāng)數(shù)據(jù)分布為非正態(tài)分布時，基本過程能力指數(shù)定義的理論基礎(chǔ)就不成立，此時計算過程能力指數(shù)是毫無意義的。因此，在得到樣本數(shù)據(jù)后，首先就要檢查數(shù)據(jù)分布是否為正態(tài)分布。有些現(xiàn)場質(zhì)量管理人員在計算過程能力指數(shù)時，往往會忽視對數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性檢驗，直接就根據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù)計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，這樣往往會造成誤判。

當(dāng)過程特性值不服從正態(tài)分布時，對基本過程能力指數(shù)進行修正的理論研究成果很多，但這些非正態(tài)分布總體下的指數(shù)設(shè)計方法，均具有一定的主觀性，大多比較抽象，不便于實際使用者掌握。但是，對于某些由于特殊的工藝原因?qū)е聰?shù)據(jù)分布非正態(tài)的情況，為了仍然能夠應(yīng)用過程能力指數(shù)表征工藝過程的質(zhì)量保證能力水平，可通過一些簡單的轉(zhuǎn)換方法，盡量把非正態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成正態(tài)，然后根據(jù)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)計算過程能力指數(shù)[5]。

等效指數(shù)轉(zhuǎn)換是一種能應(yīng)用于生產(chǎn)實際的、較為簡便的方法。等效指數(shù)轉(zhuǎn)換的主要思路是通過計算過程特性值的不合格品率，以在同樣不合格品率的情況下，當(dāng)質(zhì)量特征值的均值和目標(biāo)期望值重合時的過程能力指數(shù)作為等效過程能力指數(shù)。這樣，過程能力指數(shù)就和過程特性值分布類型無關(guān)，且只與工藝成品率對應(yīng)。對于總體均值與公差中心不重合時存在的偏離，也可以計算得到存在偏離時的等效過程能力指數(shù)。用這種方法處理非正態(tài)數(shù)據(jù)比較直觀，容易理解，具體的轉(zhuǎn)換方法可參考有關(guān)文獻資料。

4 結(jié)束語

科學(xué)地計算和分析過程能力，可以清楚地了解和評價過程質(zhì)量水平，對于產(chǎn)品設(shè)計、工藝制定、計劃安排、生產(chǎn)調(diào)度和技術(shù)改造等方面都具有重要意義，同時也是一項非常復(fù)雜的、技術(shù)難度很高的專業(yè)性工作。本文通過對上述幾個基本過程能力指數(shù)的定義、特點的研究，給出了各種指數(shù)的應(yīng)用特征和范圍，能夠為生產(chǎn)現(xiàn)場的質(zhì)量管理人員進行過程能力分析、評價提供指導(dǎo)，也為建立計算機系統(tǒng)模塊提供了清晰的數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的數(shù)據(jù)支持。

[1]劉光第.質(zhì)量管理學(xué)（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[2]龔益鳴.質(zhì)量管理學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2000.

[3]錢中侯，張公緒.質(zhì)量專業(yè)理論與實務(wù)[M]. 北京：中國人事出版社，2001．

[4]張公緒.質(zhì)量專業(yè)工程師手冊[M].北京：企業(yè)管理出版社，1994．

[5]張公緒，孫 靜.新編質(zhì)量管理學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003．