基于統計理論的橋梁應力趨勢預測與評估方法

涂 雪，熊 文，肖汝誠，沈旭東，魏樂永

(1.同濟大學橋梁工程系，200092上海;2.東南大學交通學院橋梁工程系，210096南京;3.浙江省交通規劃設計研究院，310006杭州;4.中交公路規劃設計院，100085北京)

混凝土結構應力測量是橋梁結構必不可少的監測手段，隨著科學技術的發展，對應力測量的要求越來越高，無線通訊自動實時監測也已成功應用于很多橋梁結構之中.但是由于監測應力通常是汽車荷載、人群荷載、溫度荷載、風荷載、結構自身變化(退化)、測量系統誤差的綜合反映，無法得到各自相應數值，難以準確獨立地觀測到其結構退化過程，從而造成安全性能評估困難［1-3］.另外，在實時監測過程中得到的混凝土應力是一系列隨時間變化的海量數據，但是大多數的應力監測系統僅僅起到一個自動記錄器的作用，或是設置一個閥值，簡單地判斷當前的應力狀況［2-4］.而實際上這些應力-時間變化曲線所包含的信息量卻是相當大的，完全可以通過統計理論以及數據分析的方法來進行深入分析，以得到更為接近實際情況的結構信息或預測未來結構安全狀態［4-5］.

本文以寧波招寶山大橋為工程背景，采用一種基于統計理論的應力趨勢預測模型，從隨時間變化的海量應力數據中得到結構真實有用的信息.具體來說，以數據統計為理論方法，將季節性荷載、隨機性荷載產生的應力(變)從應力(變)監測值中分離，從而準確獨立觀測到結構退化所引起的應力變化趨勢，以此定量評估結構安全性能，并對未來應力發展進行理論預測.在整個評估過程中可充分利用每一個監測數據，并可實時根據新的觀測數據進行評估修正.該方法基于實時監測數據，理論結合實際，投資少、可操作性強，能進行實時結構安全評估以及未來狀態預測.

1應力趨勢預測與評估方法

1.1 應力時間序列分類與模擬

現階段觀測混凝土應力主要還是利用應變計觀測混凝土的應變，然后計算混凝土的應力［2，6］.根據應力應變之間簡單的線性關系，本文認為監測數據直接以應力形式得到.實時監測得到的應力是一系列隨時間變化的海量數據，從這些數據中依一定方式采集數據并按原先的時間順序排列的一系列數據稱之為應力時間序列，該應力時間序列又可看作是若干子時間序列之和.本文將采用數據統計中的平穩無趨勢時間序列、呈現趨勢時間序列以及季節性時間序列來分別模擬這些子應力時間序列并對其和進行分析.

1.1.1 平穩無趨勢時間序列

假設某時間序列n個數據:y1，y2，…，yn，其真正平穩的數學概念依賴于時刻(t1，t2，…，tk)的隨機變量(yt1，yt2，…，ytk)的分布情況.假設yt具有二階矩，如果E(yt)=μ為常數，E(ytμ)(ys-μ)=γ(｜t-s｜)僅與｜t-s｜有關，那么{yt，t=1，2，…}稱為寬平穩序列.γ(｜t-s｜)稱為序列的自協方差，因此寬平穩序列的均值與自協方差隨時間的平移而不變.假如t=s，那么γ(0)即為yt的方差，顯然寬平穩序列的方差也隨時間平移而不變.這些平穩序列一般地沒有向上或向下的走向或趨勢，也稱之為無趨勢序列.于是對一個無趨勢的序列用其歷史數據去估計它的平均數，這個估計就成了對未來的預測.

1.1.2 呈現趨勢時間序列

時間序列如果受到某些因素的影響，從而使得序列相應的期望值序列隨時間的變化而發生改變.倘若這樣的動態變化比較長期且變化具有方向性(例如上升或下降)，則此類序列為有趨勢序列.即待分析的時間序列在每一時刻t的隨機觀察值yt構成的期望值數列E(yt)在整體時間范圍內顯著地呈現上升或下降的趨勢.鑒于上述定義，有趨勢時間序列模型可描述為

其中:yt為序列在t時刻的觀察值;Tt為趨勢函數，也就是序列在t時刻的期望值;∈t為隨機誤差，一般可假設為平穩的隨機序列.

按照對趨勢的假定不同，又可分為線性趨勢模型、二次趨勢模型、簡單指數模型以及修正指數模型.以線性趨勢模型為例，其模型表示為

繼而通過已觀察到的數據y1，y2，…，yn，對參數β0，β1作出合理有效的估計.

1.1.3 季節性時間序列

一般季節模型分為加法型與乘法型2種.

加法型:

乘法型:

其中:L為1年中季節的長度;St為時刻t時的季節影響，St=St+L=St+2L=…(不變季節性);∈t為隨機誤差，假定為隨機平穩序列，視加法或乘法模型其均值分別為0或1.

本文采用Kruskal-Wallis法進行季節性的統計檢驗，其基本步驟如下［7］.

假設H0序列是平穩的(或隨機的)，它沒有季節性;H1序列有季節性.

檢驗統計量

其中:Ri為在第i個季節里yt的秩和;ni為在第i個季節里yt的個數;N為所有yt個數，N=n1+n2+…+ni.

在原假設H0為真的情況下，ni適當地大，那么統計量H近似地服從χ2(L-1).給定顯著性水平α，如果H＞χ2α(L-1)，則拒絕H0，以(1-α)×100%置信度認為序列具有季節性.相反，則在一定程度上支持模型不具有季節分量的原假設.

1.2 應力趨勢預測建模步驟與評估

橋梁結構混凝土主梁的應力一般主要由隨機性荷載、季節性荷載以及趨勢荷載引起.隨機性荷載為汽車荷載、人群荷載以及測量系統誤差，這些荷載引起的應力都呈現不規則起伏，本文假定為平穩無趨勢時間序列(1.1節中序列1);季節性荷載為溫度荷載、風荷載，這類荷載引起的應力年復一年地重復同一規律變化，具有很強的季節性，本文假定為季節性時間序列(1.1節中序列3);趨勢荷載指得是結構退化(包括橋梁結構車流量的增大或減小)的廣義荷載，其應力呈趨勢變化，這是判斷橋梁或預測結構是否退化以及安全的重要觀測對象，本文假定為呈現趨勢時間序列(1.1節中序列2).本文所提出的橋梁結構應力趨勢預測與評價方法的核心思想就是將趨勢荷載所引起的應力從整個實測應力中分離出來，并進行趨勢模擬，以找到其結構退化的表現，從而對測點處的應力狀態作出相關預測、判斷.該應力趨勢預測建模方法的4個重要步驟.

1.2.1 分離季節性荷載引起的應力

為將季節分量從應力時間序列中濾出，即從yt中分離出St與∈t，一般采用滑動平均方法來實現.

對于加法型季節模型(yt=Tt+St+∈t)，考慮到季節影響St在加法模型中滿足條件St+1+St+2+…St+L=0，采用長度為L的滑動平均數:MAt=(Tt+…+Tt-L+1)/L+(∈t+…+∈t-L+1)/L.

按滑動平均方法原理，該均值可代表呈現趨勢時間序列考察長度內中間點數值.若L為奇數，MAt≈Tt-(L-1)/2，可構造序列{yt-(L-1)/2-MAt}，它等于序列{St-(L-1)/2+∈t-(L-1)/2};若L為偶數，(MAt+MAt+1)/2≈Tt+1-L/2，可構造序列{yt+1-L/2-(MAt+MAt+1)/2}，它等于序列{St+1-L/2+∈t+1-L/2}.至此將季節分量從應力時間序列中分離.

對于乘法型的季節模型，yt=Tt·St·∈t，利用加法型的討論，可以構造y/MA=S·∈形式的序列將季節分量從應力時間序列中分離.

分離出季節分量之后還需對其進行季節性的統計檢驗.

1.2.2 擬合應力時間序列中的趨勢函數，并得到預測方程

對現有觀測數據已濾出季節分量St+∈t(加法型)或St·∈t(乘法型)，為盡可能再次排除∈t的影響，對在同季節里(第i個季節)的季節分量求平均.

加法型:

乘法型:

根據式(7)，式(8)中St的特性，一年中所有St的平均值可以寫為

加法型:

乘法型:

然后進行基本轉換消除∈t的影響，得到如下形式.

加法型

乘法型:

加法型:

乘法型:

若取用加法型線性趨勢模型以及加法型季節模型，基于當前時刻之前所監測數據，可得到應力預測公式為

其中:St為時刻t時相對應的，按步驟2預測公式已理論上排除∈t的影響.

另外，一旦新的數據與信息又被采集，而準備再對以后的未來作預測時，很自然要求不斷對模型進行“修正”，以盡量使模型與數據進一步擬合且避免預測誤差的增長.這種修正對簡單的線性加法型趨勢函數特別有必要，可以實現用最簡單的函數形式進行較為準確的數據擬合.以式(14)為例，本文采用指數平滑方法以Holt-Winters模型對t時刻的Tt、β1以及St按照t-1時刻的相應數值進行不斷修正［8］，得

其中:α為趨勢平滑常數;γ為斜率平滑常數;δ為季節平滑常數;Tt(t1)、β1(t1)、St(t1)為基于y1，y2，…，yt1關于序列最近無季節化趨勢對Tt、β1、St的修正估計;Tt(t1-1)、β1(t1-1)、St(t1-1)為基于y1，y2，…，yt1-1關于序列最近無季節化趨勢對Tt、β1、St的原來估計;et為一步預測誤差.各個參數具體數值可參考相關文獻，在此不再贅述［7］.

至此，按應力時間序列趨勢函數便可推斷出橋梁混凝土結構應力發展歷史，可以對結構歷史退化過程以及當前安全性能進行評估.

1.2 .3預測結構退化臨界時刻

當前時刻t1觀測應力應該滿足

σmin為觀測允許最小值;σmax為觀測允許最大值.兩者均需要扣除混凝土安裝應變計之前的已存應力.

在當前時刻t1對t1+p時刻的應力預測值仍要滿足式(18)，即

按加法型趨勢函數，根據式(19)，t1+p時刻的應力預測值可以由t1時刻的應力觀測值表示為

其中:β0、β1以及St1+p均由當前時刻t1之前應力觀測值擬合而得.

即式(19)可以寫為當預測應力達到允許應力時，由式(21)，考慮β1不同正負號容易算出此極限時刻所對應的pmax(即結構退化臨界時刻)為

其中:St1+p可視為t1+p在第i個季節所對應的值，若各季節相對應的季節分量記作Si，令

如果p≥L(應力評估是個長期的過程，一般符合這個假設條件)，則式(22)可近似保守改寫為

同加法模型求解，乘法模型的結構退化臨界時刻為

至此，按當前觀測數據依據式(25)或式(26)從理論上可預測出未來結構應力(變)發展過程，找到結構退化臨界時刻(超出允許應力)，以此評估結構未來安全性能，以便采取提前措施.

1.2.4 結構安全評價值確定

完成步驟1至步驟3之后，也可以按以下方法將結構安全性能量化，并同時考慮多測點情況.

某一測點t時刻的應力預測值為σ(t)，當前時刻為t1，在時刻t1+pmax應力預測值達到允許限值.假定一個時間界限T0，當pmax≥T0時，xi=100，當pmax=0時，xi=0，則該測點應力評價值為

其中:xi為應力i測點處的應力評價值.

假定，橋梁結構設置了m個應力測點，各點初始權重相同為1/m，監測之后對其權重進行變權修正，得到各測點新的權重為

其中:α=0.5.

所以橋梁整個混凝土結構的應力綜合評價值為

按照文中介紹的4個步驟以現有大量觀測數據便可以對當前以及未來混凝土結構應力發展進行研究預測，并以此得到或預測整個結構退化過程，推測其退化臨界時刻，進行全壽命安全性能定性以及定量評估.

2 工程實例

2.1 工程概況

招寶山大橋為帶協作體系的獨塔雙索面不對稱預應力混凝土斜拉橋，斜拉橋部分橫截面形式采用雙箱單室，連續梁部分橫截面形式采用雙箱雙室，跨徑布置為75 m+258 m+102 m+83 m+50 m，全長568 m.具體結構布置見圖1.

招寶山大橋混凝土主梁6個截面A～F，共設置了44個應力測點，分布如圖1所示.應力測試可進行實時監測.通過對監測數據分析，可看出以下幾點:1)各點的實測應力值是隨時間而上下波動的曲線，具有一定季節性質;2)月平均應力曲線無論從線型和大小上都和原應力曲線有較好的吻合程度;3)為方便起見，以月平均應力為研究對像進行研究.

圖1 結構以及測點布置圖

2.2 測點布置及應力限值

招寶山大橋應變計安裝是在大橋成橋3 a后，應變計安裝后，增加的混凝土收縮徐變效應均可以忽略不計;但需考慮安置應變計時混凝土結構的初始應力σc0，其可由設計、施工資料，建立有限元模型計算得到，最終得到各測點應力允許值(由于篇幅限制未列出計算結果).

2.3 應力趨勢模擬及預測模型

2.3.1 計算應力季節分量

一個季節的長度L可以按月，季度以及半年來定，即L可取12、4以及2.由于本文按月平均應力為研究對象，所以L=12(偶數).根據1.2節步驟1，應力時間序列季節分量可按下式計算.

加法型季節模型:

乘法型季節模型:

以A截面A1測點為例，式(30)、(31)參數計算數值具體見表1.

表1 季節模型表達式參數數值

2.3.2 季節性統計檢驗

接著對季節分量按照Kruskal-Wallis方法進行季節性統計檢驗.依然以A1測點為例，檢驗的p值0.161 2小于預定的水平顯著性水平α=0.30，則季節之間存在顯著差異(等效于給定顯著性水平α，如果H＞χ2α(L-1)，以(1-α)×100%置信度認為序列具有季節性).對其他所有測點均作上述分析，大部分測點應力均存在季節顯著差異.

2.3.3 擬合趨勢并建立預測模型

繼而，按照式(15)～(17)，采用不斷修正擬合參數的方法，對趨勢函數進行線性加法擬合，同時考慮季節分量，最終得到應力預測模型(曲線)，以A1測點為例，見圖2.

2.4 計算評價值進行退化評估

仍然以A1測點為例，實測得到該測點的監測允許應力值為σmin=-12.69 MPa、σmax=14.52 MPa.由本文可知Tt1=0.071 9、β1=-0.004 7、Smax=0.258 1以及Smin=-0.228 4，代入式(25)可得Pmax=2 666.70月.同樣方法可得到其他測點的退化臨界時刻.

假定時間界限T0=50 a=600月，將每個測點所計算出的退化臨界時刻與T0相比，按照式(27)，可得到各自應力評價值.得到各應力測點評價值后，即可對結構的整體應力狀態進行評估.假定各測點權重相同，橋梁結構共設置了44個應力測點，各點初始權重均為1/44，則按照通常常權綜合模式進行評估.若按式(28)對每一測點的權重進行變權修正，可得到新的權重.繼而得到最終全橋評價值為

圖2 季節分量擬合曲線

至此，對該橋梁混凝土主梁的應力進行了理論預測，并對其安全性(結構退化程度)給出了定量評估.

3 結語

為充分應用海量觀測應力數據，準確觀測或預測結構退化過程，提出一種基于統計理論的新型橋梁應力趨勢預測評估方法.該方法采用時間序列分析，從采集到的帶有季節效應的海量應力數據中，分離季節分量，擬合趨勢函數，并以此得到應力趨勢預測方程，建立結構退化模型，最終對結構應力當前及未來安全性能給出定量評估.該方法簡單合理，理論依據充分，可充分利用每一個監測數據，還可以實時根據新的觀測數據進行評估修正，已成功應用于寧波招寶山大橋，評估結論與實際觀測結果吻合.更多的工程應用以及實驗室驗證將在今后的研究中展開.

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