石英振梁加速度計關鍵結構優化設計技術

裴 榮，王曉鳴，高旭東，于紀言

(1.南京理工大學機械工程學院，210094南京;2.南京理工大學智能彈藥技術國防重點學科實驗室，210094南京)

石英振梁加速度計是一種把力敏石英振動梁作為敏感元件，能直接數字輸出的加速度計.其輸出頻率完全可以由數字電路處理，不再有因模數轉換帶來的速度增量誤差，能與高速數字導航系統兼容，具有精度高、成本低、體積小的特點，在中高精度領域諸如重力測量學、巡航導彈、自主水下導航、石油鉆井等領域中有廣泛的應用前景.雙端調諧音叉石英諧振器是石英振梁高精度加速度計的關鍵部件，目前，高精度的石英振梁加速度計的研究還處于實驗和探索階段，大部分工作圍繞在它的工作機理、結構設計和加工工藝等研究上［1-4］.關鍵部件正確的振動模式與合理的結構尺寸是保證該加速度計優良性能的重要條件，因此需要根據結構優化理論，建立優化問題的數學模型，設計各參量，對結構進行合理細致的優化.

1 優化問題的結構和數學模型

1.1 雙端固定音叉的結構

目前，石英諧振器結構有單音叉式和雙音叉式兩種類型［5-6］.雙音叉式結構可以抵消常值干擾誤差，大大減弱溫度對測量精度的影響，測量精度較高.同時，雙音叉結構為石英諧振器內部提供了動態平衡，省掉了典型單音叉諧振器的笨重隔離系統，使諧振器體積減小，結構簡單，從而降低了制造成本.

本文以圖1所示的雙音叉式石英諧振器為研究對象進行結構優化設計.

圖1 雙端固定音叉石英諧振器

1.2 優化問題的數學模型

優化設計前，必須指定設計變量、狀態變量和目標函數.

設計變量可以用一個列向量表示:

該式稱作設計變量向量，其中x表示設計變量.

一個可行設計必須滿足某種設計限制條件，這些限制條件稱為約束，狀態變量就是設計要求滿足的約束條件，它們是設計變量的函數.約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系;有的則只能表示成隱式形式，需要通過有限元法或動力學計算求得.約束從數學上可分為等式約束h)=0和不等式約束h()≤0.

目標函數f(~x)是評價設計的標準，它是設計變量的函數，優化設計總是使目標函數最小化.因此，在明確設計變量、約束條件和目標函數之后，優化問題可以表示成一般的數學形式:求設計變量

使f)→min，且滿足約束條件:

2 諧振器的優化設計

軸向力F作用下引起的石英諧振器輸出頻率為［7］

式中，

其中:F表示沿長度方向加在雙端石英音叉諧振器上的外力，單位N;f表示雙端石英音叉橫向彎曲振動的固有頻率，單位Hz;ρ表示雙端石英音叉材料的密度，單位kg/m3;l表示單個音叉臂的長度，單位m;w表示單個音叉臂的寬度，單位m;b表示單個音叉臂的厚度，單位m;s表示石英材料的彈性柔順常數，單位m2/N.

從式(1)可以看出，根據石英諧振器數學模型和預期工作頻率，只能得到石英諧振器單個音叉的長、寬尺寸，而音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長度無法確定［7-8］.為了獲得這些參數，可以通過建立石英諧振器的力學模型進行有限元計算，采用基于有限元方法的優化設計，得到滿足性能要求的尺寸.

2.1 參量設計

2.1.1 設計變量

針對圖2，依據石英振梁的加工工藝和設計經驗，音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長度依次尺寸要求為

式中:B、T、L分別為加速度計上的音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長度;B1、B2、T1、T2、L1，L2分別為設計要求的音叉最小、最大厚度、雙音叉最小、最大間距、雙音叉固定塊最小、最大長度.

圖2 雙端固定音叉結構示意圖

2.1 .2狀態變量

1)邊界條件約束.在設計振梁加速度計時，綜合考慮石英器件加工工藝和設計經驗，將結構的主要部分如:結構厚度、音叉的寬度、長度等限制在一定的范圍內.這不僅使設計的結構更具有可行性，同時也可減少優化計算的計算量，提高計算效率.

2)函數約束.以石英振梁加度計的一些性能指標作為約束條件.

①總體尺寸.按照加工工藝與安裝要求，加速度計局部尺寸要合理安排與限制.

②耐沖擊.加速度計工作時會受到一定的沖擊，在此沖擊力的作用下，諧振器應該是安全的，即其最大拉應力σmax不大于許用應力［σ］.

③工作模態.石英諧振器的工作振型應該是在寬度方向完全對稱振動.

④振動基頻約束.選擇理論諧振頻率為40 kHz，用有限元方法分析了石英振梁加速度計的模態振型和諧響應，得到其固有頻率為39.6 kHz［8］.依據這個結果，對振動基頻要求為

⑤ 敏感加速度的頻率輸出.頻率輸出受振動基頻影響，考慮到測量范圍，設計目標在基頻10%左右，即

式中:fW為諧振器敏感外界加速度的振動頻率輸出.

前期設計的石英諧振器切型是5°［7］，其使用頻率范圍是2～50 kHz［4］，因此fW的制定既滿足了加速度計的測量范圍和標度因數提升的空間，又保證了石英諧振器合理的工作模態.

2.1.3 目標函數

加速度計的標度因數是指其輸出頻率和輸入加速度的比值，是加速度計的重要設計指標.為了通過各結構參數優化標度因數，選擇單個石英擺片的標度因數作為目標函數，找出其最大值，表達式為

式中K為標度因數，通過仿真得到加速度計結構優化前的標度因數值是52 Hz/g.

2.2 優化方法

運用ANSYS中的APDL參數化設計語言將ANSYS中的有限元分析模塊同優化設計模塊有機結合起來，實現完整的參數化建模、有限元分析、參數靈敏度分析和優化設計.ANSYS程序提供了兩種優化方法:零階法和梯度尋優法［9-10］.

1)零階方法(直接法)是一種通用的函數逼進優化方法，不容易陷入局部極值點，消耗的機時較少，但優化精度不高，因此多用作粗優化的手段.

2)梯度尋優法使用偏導數，即使用因變量的一階偏導數.該方法是針對第一種優化方法的缺點而改進的方法.如果第一種方法是C0階、大范圍普適的粗優化方法，那么第二種方法就是C1階、局部尋優的精優化方法.

因此，利用零階方法進行粗優化，初步確定最優解的基本位置，在此范圍內利用一階方法進行精確優化，從而確定更精確的解.

2.3 優化結果

采用零階方法優化的結果如圖3.在雙音叉間距(T)和標度因數的優化曲線中，在T=2×10-4m左右時，標度因數(E)值雖然大，但是由于過小的雙音叉間距會不利于激勵電極的涂敷.在T=3.7×10-4m左右時，標度因數值不穩定，T從4.5×10-4m開始，標度因數值穩定且處于增長趨勢.圖4是雙音叉固定塊長度(L)和標度因數的優化曲線.可以看出，當L=7.2×10-4m及L=1.0×10-3m時，標度因數值達到兩個峰值.從圖5可以看出，綜合考慮雙音叉間距和固定塊長度的改變對標度因數值的影響，選定T=4.5×10-4m、L=1.0×10-3m，此時對應的音叉厚度為2.2×10-4m左右.

圖3 雙音叉間距和標度因數的關系

圖4 固定塊長度和標度因數的關系

圖5 音叉厚度和雙音叉間距、固定塊長度的關系

采用梯度尋優法對目標函數進一步細致優化，結果如圖6，達到峰值點的位置在T=458 μm左右，圖7中在L=1.01×10-3m左右.圖8為三條曲線的對應關系綜合考慮，可以看出，此時音叉厚度值應為2.16×10-4m左右.在得到的15組優化序列中，第5組為最優組合，因此對石英諧振器優化后的結果見表1.

圖6 雙音叉間距和標度因數的關系(梯度法)

圖7 固定塊長度和標度因數的關系(梯度法)

圖8 音叉厚度和雙音叉間距、固定塊長度的關系(梯度法)

表1 優化序列中的最優組合

加速度計的高靈敏度，使得尺寸的微小變化都會影響到輸出，結合實際加工尺寸要求，對前3個設計變量進行了專門的四組分析，結果見表2.取最優分析為第3組.3個變量優化結果為:音叉厚度0.21 mm，雙音叉間距0.45 mm，固定塊長度1 mm.

表2 設計變量優化結果

3 結論

1)對石英振梁加速度計中的關鍵部件進行了優化，從優化設計的角度給出了設計變量、狀態變量和目標函數，構建出結構隱式約束函數，揭示了各設計變量的變化規律及影響.

2)優化后，標度因數從52 Hz/g提高到60.5 Hz/g，提高了16%，這對提高加速度計的穩定性、靈敏度等性能，縮短石英振梁加速度計的研制周期都具有重要理論意義和實用價值.優化后結構尺寸比較合理，滿足了設計目標.

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