參數假設檢驗中的若干基本問題研究

楊桂元，劉德志

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

參數假設檢驗中的若干基本問題研究

楊桂元，劉德志

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

文章對參數統計檢驗中的基本原理、勢函數與兩類錯誤、檢驗的 p值和單邊檢驗的假設與拒絕域等若干基本問題進行了研究，并分析了它們之間的關系，闡明了參數的區間估計和假設檢驗的關系，揭示了參數統計推斷的本質。

參數統計檢驗；兩類錯誤；勢函數；p值；拒絕域

0 引言

隨著科學技術和生產的不斷發展,數理統計的應用更加廣泛。而統計假設檢驗問題在統計推斷中占有很重要的地位。人們常常假設總體為正態分布,在正態總體下衍生出了統計學的三大分布——t分布、F分布和χ2分布,產生了與此相關的抽樣分布，并且研究了正態總體期望和方差的各種統計推斷問題。區間估計和假設檢驗是統計推斷中的重要內容，是兩個不同的統計概念，但它們又有著密切的聯系，在某種意義下是同一問題的兩個方面。這兩種統計推斷方法都是通過對具體問題的隨機抽樣所得到的樣本觀察值，用數理統計學的方法進行統計分析并做出判斷。深刻理解參數假設檢驗中的若干基本問題，了解統計推斷中參數的假設檢驗與區間估計之間的關系、不同類型的假設檢驗適用范圍及應注意的問題，對正確的掌握和應用統計推斷方法是極為重要的。然而這部分內容不易理解，從而初學者和實際應用的工作者在解決具體問題時會遇到一些困難。本文將就此問題展開討論。

1 假設檢驗的定義與基本原理

在假設檢驗中，常把一個被檢驗的假設稱為原假設或者零假設，用H0表示。通常將不應輕易加以否定的假設作為原假設，當H0被拒絕時而接受的假設稱為備擇假設，用H1表示，它們常常成對出現。

由樣本(x1,x2,…,xn)對假設進行推斷總是通過一個恰當的統計量T(x1,x2,…,xn)完成的，該統計量T(x1,x2,…,xn)稱為檢驗統計量。使原假設被拒絕的樣本觀測值所在區域稱為拒絕域，一般它是樣本空間Ω的子集，并用W表示，Wˉ稱為接受域；統計量T(x1,x2,…,xn)的拒絕域記為T(W)。

假設檢驗的基本原理是小概率事件原理，即：概率很小的事件在一次試驗中實際上是不可能發生的；基本方法是“反證法”，若小概率事件發生則拒絕原假設H0從而接受備擇假設H1，否則接受原假設H0。

2 假設檢驗的兩類錯誤

對于給出的拒絕域W，由于抽樣的隨機性，我們做出的判斷不可能絕對正確，它可能會犯兩類錯誤。

第一類錯誤：當H0為真時，但(x1,x2,…,xn)∈W ，從而拒絕H0。這種錯誤稱為第一類錯誤，又稱為“棄真錯誤”，其發生的概率通常記為α，即

就是假設檢驗的顯著性水平。

第二類錯誤：在H0不真時，但(x1,x2,…,xn)∈Wˉ，從而接受H0。這種錯誤稱為第二類錯誤，又稱為“納偽錯誤”或你“取偽錯誤”，其發生的概率通常記為β，即

定義1設檢驗問題 H0:θ∈Θ0vs H1:θ∈Θ1的拒絕域為W，則樣本觀測值(x1,x2,…,xn)落入拒絕域W內的概率稱為該檢驗的勢函數，即

其中，Θ0,Θ1是參數空間兩個互不相交的子集。

由兩類錯誤的概率α、β與勢函數的意義，可知它們之間的關系為：

由此可以看出，當α減小時，c也減小，而c的減小必導致β的增大；當β減小時，c會增大，而c的增大必導致α的增大。故得到兩類錯誤的關系：

（1）在樣本容量n一定時，α與β不能同時減小，α的減小必導致β的增大；β的減小必導致α的增大。

（2）要使α與β同時減小，則只有加大樣本容量n，但又增加了檢驗的成本這在有些情況下又是不現實的。一般情況下控制α，使β盡量小。

定義2對檢驗問題 H0:θ∈Θ0vs H1:θ∈Θ1，如果一個檢驗滿足對任意的θ∈Θ0，都有

則稱該檢驗是顯著性水平為α的顯著性檢驗，簡稱水平為α的檢驗。

可見，顯著性水平α就是用來控制犯第一類錯誤的概率的。最常見的選擇是α=0.05，有時也選擇α=0.1或α=0.01。

3 檢驗的p-值

假設檢驗的結論通常是簡單的，在給定的顯著水平α下，不是拒絕原假設就是接受原假設。然而有時也會出現這樣的情況：在一個較大的顯著水平下得到拒絕原假設的結論，而在一個較小的顯著水平下卻得到相反的結論。檢驗的 p-值是一個非常重要的概念，許多統計應用軟件（如Excel、SPSS、EViews等）檢驗的輸出結果都有檢驗的p-值(p-value)，可以根據 p-值和任意給定的顯著性水平α直接作出接受或拒絕原假設H0的結論。

定義3在一個假設檢驗問題中，利用樣本觀測值能夠做出拒絕原假設的最小顯著性水平稱為檢驗的p值。

引進檢驗的p值的概念有明顯的好處：首先，它比較客觀，避免了事先確定顯著水平；其次，由檢驗的p值與人們心目中顯著性水平α進行比較可以很容易做出檢驗的結論：

（1）如果α≥p，則在顯著性水平α下拒絕H0；

（2）如果α＜p，則在顯著性水平α下應保留H0。

設T為檢驗統計量，T0為由檢驗統計量得到的觀察值，針對原假設和備擇假設由T0為臨界值確定的拒絕域為W0，檢驗的 p值為：

對于正態總體參數的u檢驗和t檢驗等對稱的情形有：

其他檢驗的p值可以類似推出。

4 單側檢驗的設定與拒絕域的確定

對于參數的單側檢驗比較難于掌握的是原假設的設定和拒絕域的確定。單側檢驗原假設H0的設定應遵從以下原則：

（1）H0不能輕易被否定；（2）等號包含在原假設H0內；（3）根據問題的背景來設定原假設。

由于原假設H0中參數的設定不是一個常數，而是一個范圍。在H0成立的條件下，檢驗統計量在拒絕域內取值的概率只能通過不等式來確定，由此可以得到拒絕域是概率不超過α的更小概率得事件。

根據以下兩種單邊檢驗情況具體討論：

①σ已知時的u檢驗

其中，tα(n-1)和 t1-α(n-1)=-tα(n-1)分別表示自由度為n-1的t分布的α和1-α的上側分位數。

另外，單個正態總體方差的檢驗，兩個正態總體均值差和方差比的檢驗都符合以上的結論，即拒絕域是概率不超過α的小概率事件。

5 區間估計與假設檢驗之間的關系

其他的各種情況同理，此不贅述。

[1]茆詩松，程依明等.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]楊桂元.概率論與數理統計[M].北京：電子科技大學出版社，2004.

O212

A

1002-6487（2012）24-0013-02

安徽省高等學校人文社科基金重點項目；安徽財經大學教學研究項目（ACJYZD201213）

楊桂元（1957-），男，安徽蕭縣人，教授，研究方向：數量經濟學。

劉德志（1982-），男，山東濟寧人，講師，碩士，研究方向：隨機分析。

（責任編輯/亦 民）