擬蒙特卡洛方法中Halton序列的隨機化及其改進

木拉提·吐爾德，胡錫健

(新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊 830046)

擬蒙特卡洛方法中Halton序列的隨機化及其改進

木拉提·吐爾德，胡錫健

(新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊 830046)

Halton序列是簡單并且容易實現的低差異序列。Wang和Hickrnell[1]提出的隨機化Halton序列在高維的情形下會產生高度相關情況，并且在高維情形下估計精度和收斂速度都很差。文章結合隨機化和置亂化方法改善了Halton序列這些缺點。模擬結果表明，改進的隨機化Halton序列在精度和相關性方面都好于隨機化Halton序列。

—Halton序列；低差異序列；置亂化；隨機化；數字積分

0 引言

自1960年Halton提出Halton序列以來，低差異序列在擬蒙特卡洛（QMC）方法中的應用非常廣泛。Halton序列是簡單的非常容易實現的低差異序列，但是最大的缺點是在高維的情況下會產生高度相關的情況，使得模擬的精度和收斂速度都非常差，為了改進Halton序列這個缺點，人們提出了一系列的改進方法。1979年Braaten和weller[2]根據一維偏差率最小的原則提出了的置亂化（scrambling）Halton序列，1995年Owen[3]提出了線性置亂化Halton序列，2000年Wang和Hickrnell[1]提出的隨機化Halton序列，2004年Atanassovet[4]提出了可以使模擬的誤差邊界最小的Halton序列等。

本文擬結合隨機化方法和置亂化方法使對Wang和Hickrnell提出的隨機化Halton序列在高度相關和收斂速度方面進行改進，并且通過實際模擬來說明改進的隨機化Halton序列在高維的情況下估計精度和收斂速度都比文獻[1]的隨機化Halton序列要好。

1 隨機化Halton序列

首先簡單地介紹經典van der corput序列，一維的Halton序列實際上就是Van der corput序列。其次來介紹文獻[1]提出的隨機化Halton序列。

1.1 經典的Van der corput序列

如果b≥2的整數，對于任意的n≥0可以寫成以基為b的展開式

Halton序列是Van der corput序列的擴展，一維的Halton序列是實際上就是Van der corput序列，多維的Halton序列則是由不同的素數為基的Van der corput序列構成?？杀硎緸椋?/p>

1.2 隨機化Halton序列

隨機化Halton序列[1]要從φb(n)得到φb(n+1)，我們只需要給φb(n)加1 b得到φb(n+1)，這個加法不是普通的加減法這叫做向右進位加法⊕（rightward carry addition）。

Van Neumann-Kakutani變換定義：若b≥2的整數，對于x∈[0,1)，我們把x寫成如下形式：

定義向右進位加法（rightward carry addition）⊕，為：

2 置亂化（scrambling）Halton序列

因為Halton序列隨維數的增加會產生高度相關的點列。為了消除這個高度相關現象，人們提出了置亂化（scrambling）方法。第一次正式的提出這個方法的是Braaten和weller[5]

像（1）式中基逆函數φb(n)一樣定義了置亂化的（scrambled）基逆函數Sb(n)：

這里πb是在數集(0,1,…,b-1)中的置換，則確定的置亂化Halton序列記作：

3 改進的隨機化Halton序列

改進的目的是使隨機化Halton序列在高維的情形下相關性得到改善并且在使得隨機化Halton序列分布更均勻更隨機。改進方法如下：

第一步：假設在一維的情況下，基為b。對于任意x0∈[0,1]s，則按照公式（4）得到T(x0)。

第二步：對得到T(x0)進行置亂化變換，由公式（3）可知uk是取自于集合(0,1,…,b-1)的數。我們提出的置換如果uk≠0則把uk用b-uk來代替。即：

則對于任意xn∈[0,1]s一維改進的隨機化halton序列是

如果對于任意xn∈[0,1]s基為b1,b2,…bs的s維多維改進隨機化halton序列是

由定理1可知序列{T(xn)}∞0也是在[0,1]s上均勻分布的隨機向量。并且很容易證明序列Sn(T(xn))的誤差收斂率也是O(N-2(logN)2s)。

如圖1(b)所示，隨機化Halton序列在高維的情況下會產生相關性，這樣均勻性被破壞了并且估計方差也會很大。改進隨機化避免了這種相關性，見圖1（a）。

圖1

4 模擬研究

下面考慮在s維[0,1]s下函數 f(x)的多重積分

表1 隨機化Halton序列和改進隨機化Halton序列模擬結果

表1是隨機化Halton序列和改進隨機化Halton序列在維數s=10,s=20,s=30,s=40,s=50時,并且所取的點數N=5000，N=10000，N=20000時多重積分 I(f)估計值和估計的樣本方差。

隨機化halton序列記作：rhalton，改進隨機化halton序列記作irhalton。

5 結論

從表1可以看出，在維數從10維到50維變化時改進隨機化Halton序列的估計樣本標準差比隨機化Halton序列要小，并且40維以后隨機化Halton序列估計值明顯比改進隨機化Halton序列要差。這時兩種方法都要求計算的函數值個數N要足夠大，才能達到滿意的精度。在估計的同時發現隨著計算函數值的個數N的增大隨機化Halton序列計算估計值的時間也非常長，而改進隨機化Halton序列則比隨機化要短很多。

[1]Wang,X.，Hickernell,F.J.Randomized Halton Sequences[J].Math.Comput.Modeling,2000（,32）.

[2]Braaten,E.,Weller,G.An Improved Llow-Discrepancy Sequence for Multidimensional Quasi-Monte Carlo Integrationp[J].Journal of Com?putational Physics,1979（,33）.

[3]Owen,A.B.Randomly Permuted(t,m,s)-nets and(t,s)-sequences.In Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Comput?ing,H.Niederreiter and P.J.-S.Shiue,Eds.Number 106 in Lecture Notes in Statistics[M].New York：Springer-Verlag,1995.

[4]Atanassov,E.，Durchova,M.Generating and Testing the Modified Halton Sequences[C].In Fifth International Conference on Numerical Methods and Applications,Borovets Springer-Verlag,Ed.Lecture Notes in Computer Science,2002.

[5]Wang,X.,Sloan,I.H.Why are High-dimensional Finance Problems of low Effective Dimension?[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2005（,27）.

O211

A

1002-6487（2012）24-0015-03

新疆大學科學基金資助項目（07020428008）

木拉提·吐爾德（1985-），男，新疆人，碩士，講師，研究方向：概率統計。

（責任編輯/亦 民）