一種計算碰撞概率的分析解

林 彥

(中國航天科工衛星技術有限公司，北京100071)

一種計算碰撞概率的分析解

林 彥

(中國航天科工衛星技術有限公司，北京100071)

碰撞概率的大小表征航天器相遇過程的危險程度，碰撞概率是航天器規避機動策略制定的參考依據.如果兩個飛行器的相對速度很大且相遇過程很短，相對運動可近似為線性運動，這樣就可以將三維概率求解問題轉化為二維概率問題.這類的碰撞概率求解通常應用數值計算方法.基于概率積分推導一種碰撞概率計算的分析解，能有效降低計算量并不損失太多精度.最終給出模擬算例驗證分析解的準確性.

碰撞概率;航天器;概率積分

碰撞概率的大小表征了航天器相遇過程的危險程度，是航天器規避機動策略制定的參考依據.如果飛行器與空間碎片的相對速度很大、相遇過程很短，相對運動可近似為線性運動，這樣就可以將三維概率求解問題轉化為二維概率問題.這種情況下的碰撞概率求解即為計算兩個航天器(或空間碎片)相遇過程中最小距離進入等效組合包絡體的概率.對于二維相遇過程的碰撞概率計算方法研究，Patera[1]使用一維路徑積分方法替代二維面積積分，從而提高計算速度，還把相遇航天器的類型從對稱體推廣到非對稱體;Patera[2]通過把一維路徑積分坐標系的原點從組合包絡體的中心轉換為概率密度圓的中心，從而簡化積分表達式.如果相對運動速度很慢且運動軌跡較為復雜，線性相對運動方法不再適用，Patera[3]開發了非線性運動情況下的三維碰撞概率計算方法，把碰撞概率計算從高速相遇過程推廣到低速相對運動;McKinley[4]對三維碰撞概率計算方法給出詳細的數值積分過程，并獲得了與文獻[3]類似的求解精度，白顯宗等[5]使用無窮級數方法來提高碰撞概率計算的快速性.上述方法通常需要的求解精度都以大量的數值積分為代價，不可避免地耗費大量的求解時間，為此本文基于概率積分的計算推導了一種碰撞概率的分析解，能有效降低計算量并不損失太多精度.本文首先描述線性相遇運動下的碰撞概率計算問題，然后闡述基于概率積分的碰撞概率計算方法并推導計算公式，最終給出模擬算例來驗證方法的準確性.這里定義被預測航天器為目標航天器，具備預警能力的航天器為參考航天器.

1 線性碰撞概率計算方法

1.1 假設條件

碰撞概率計算方法通常基于以下假設[1-5]:(1)能夠獲得兩個航天器最接近時刻在慣性系中的位置、速度和位置誤差矩陣;(2)兩個航天器的外形建模為包絡球或其它簡單幾何體的組合;(3)通常把空間兩個航天器的相對位置誤差分布視為三維高斯分布，如果兩個航天器的絕對狀態協方差矩陣不相關，則其和就是相對狀態的協方差矩陣.如果航天器的外形建模為包絡球，則兩個航天器的包絡球合并為一個總包絡球，其半徑大小等于兩個單獨的包絡球之和.(4)把所有隨機因素賦予參考航天器.相對狀態誤差分布的中心設置在參考航天器.

1.2 坐標系定義

當兩個航天器在三維空間內的距離達到最小時，它們的相對位置矢量和相對速度矢量互相垂直.或者說，當兩目標間的距離最近時，它們處在與相對速度矢量垂直的平面內.為了便于描述問題，這個平面通常定義為相遇平面.把兩物體的位置不確定性包絡球投影到相遇平面上，求解碰撞概率的3維積分從而簡化為二維積分.參見圖1所示.據此定義相遇坐標系:原點O在參考航天器的分布中心，z軸指向相對速度方向，χ軸和y軸在相遇平面內，χ軸指向的目標航天器的分布中心在相遇平面內的投影點，y軸在相遇平面內與χ軸垂直.

圖1 相遇平面和積分區域Fig.1 Encountering plane and integral region

1.3 求解方法

三維空間內等方差概率密度函數的碰撞概率定義為[2]

如果相對運動可視為線性運動，則僅需對二維等方差概率密度函數進行積分.碰撞概率簡化為

式中，S描述了總包絡體幾何位置和尺寸.

對于一般性的線性運動碰撞概率問題，若要應用式(1)～(2)，如果被積分函數是不等方差概率密度函數，即 σχ≠σy，通常還需要應用變量代換[2，5]的方法;如果概率密度橢圓的對稱軸與坐標系不重合，需要通過坐標轉換方法[1-2]來對齊.

2 分析解

為導出分析解，在圖1所示部分上構造圖2所示的4個積分區域.設總包絡體投影為圓形，則有: S1:χ2+y2≤ (b-r)2，S2:χ2+y2≤ (b+r)2，S3:(χ-b)2+y2≤ r2，S4為部分圓環，即圖 2中角∠AOB定義為β，即β=2arcsin(r/b).

圖2 積分區域與圓環關系Fig.2 Relation between the integral region and the ring

根據概率積分的一般理論可知，對圓心在原點的圓域的概率積分有以下分析解[6]:

由式(3)可知，容易計算 S1、S2區域的碰撞概率.S4區域屬于S1、S2之間圓環的部分區域，根據對稱性可知對于S4區域的碰撞概率為:

由于被積分函數都為正值，且 S4的面積包含S3，所以顯然S4的碰撞概率大于S3的值.為了提高近似程度，需進行修正.假設S4、S3的概率密度均勻且相等，則修正系數取兩者面積比值的倒數:

對式(4)應用修正系數可得S3圓域的碰撞概率近似值的分析解:

3 模擬計算

計算條件:

1)兩個航天器的最小距離取:b=10km;

2)總包絡球的半徑尺寸(RCS)取值范圍: 10m≤r≤100m;

3)概率密度函數的方差取值:σ=3km，5km，9km;

4)數值解法取文獻[2]的式(10)，解記為Q.

圖3 不同尺寸的碰撞概率對比(σ=3km)Fig.3 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=3km)

4 結 論

碰撞概率的計算方法通常都對積分方法有較高的要求，以大量的數值積分為代價來保證求解精度.數值計算不可避免的要耗費大量的求解時間和降低可使用性.按照本文基于概率積分提出的碰撞概率的分析解，能有效降低計算量并不損失太多精度.本文描述的求解方法對總包絡體的外形沒有過高的要求，容易把本方法推廣到任意外形的情況.

圖4 不同尺寸的碰撞概率對比(σ=5km)Fig.4 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=5km)

圖5 不同尺寸的碰撞概率對比(σ=9km)Fig.5 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=9km)

圖6 兩種計算方法的碰撞概率對比(σ=9km) Fig.6 Comparison of two algorithms

[1] Patera R P.Generalmethod for calculating satellite collision probability[J].Journal of Guidance，Control，and Dynam ics，2001，24(4):716-722

[2] Patera R P.Calculating collision probability for arbitrary space-vehicle shapes via numerical quadrature[J]. Journal of Guidance，Control，and Dynam ics，2005，28 (6):1326-1328

[3] Patera R P.Satellite collision probability for nonlinear relativemotion[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(5):728-733

[4] McKinley D P.Development of a nonlinear probability of collision tool for the Earth observing system[R]. AIAA，2006-6295

[5] 白顯宗，陳磊.基于空間壓縮和無窮級數的空間碎片碰撞概率快速算法[J].應用數學學報，2009，32 (2):336-353 Bai X Z，Chen L.A rapid algorithm of space debris collision probability based on space compression and infinite series[J].Acta Mathematicae Applicate Sinica，2009，32(2):336-353

[6] 李銀奎.概率積分的幾種計算方法[J].青海師專學報，2002，22(5):22-23 Li Y K.Several calculated methods of the probability integral[J].Journal of Qinghai Junior Teachers'College(Natural Science Edition)，2002，22(5):22-23

Analytical Solution for Collision Probability Calculation

LIN Yan
(CASIC Satellite Technology Ltd.，Beijing 100071，China)

Collision probability represents the risk of collision between two spacecrafts during the encountering phase.Collision probability calculation is the basis of designing the collision avoidance maneuver strategy.If the relative velocity between two spacecrafts is large and the encountering time is short，the relative motion is approximately linear.Under this assumption，the problem of solving the three-dimensional probability density is reduced to a two-dimensional problem.Numerical integralmethods are usually used to calculate the collision probability.An analytical solution based on probability integral is derived，which can reduce the amount of computation while the decreased accuracy is not so much.A case study is presented to validate the given method.

collision probability;spacecraft;probability integral

V448

A

1674-1579(2012)06-0041-04

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.06.009

林 彥(1976—)，男，高級工程師，研究方向為航天器總體設計.

2012-10-15