一類分數階差分方程邊值問題多重正解的存在性

葛 琦，侯成敏

（延邊大學理學院數學系，吉林延吉 133002）

一類分數階差分方程邊值問題多重正解的存在性

葛 琦，侯成敏

（延邊大學理學院數學系，吉林延吉 133002）

研究一類帶有分數階邊界條件的分數階差分方程多重正解的存在性.分析該方程的Green函數的性質，引入上、下解的概念，并利用Guo－Krasnosel＇skii不動點定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點定理，討論該方程多重正解的存在性.

分數階邊界條件；Green函數；上、下解方法；多重正解

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2012.04.019

0 引言

近年來，分數階微分學作為新興的領域備受關注，人們成功地將其理論應用到各個領域，如計算生物、藥物科學、經濟學、物理學和工程學等方面.隨著分數階微分學的發展，分數階差分方程理論逐漸受到關注，它的基礎理論研究有了很大發展.如在發展關于離散型分數階微積分初值問題的基礎理論后，還研究了有限分數階差分方程的兩點邊值問題［1－2］.Goodrich C S［3］研究了帶有非局部條件的離散型分數階邊值問題解的存在性和唯一性.文獻［4－8］研究了分數階差分方程的邊值問題（簡稱FBVP）.大多數研究成果主要是利用Green函數的性質和不動點定理對FBVP進行討論，而利用上、下解的方法研究FBVP的文獻還未出現.筆者研究FBVP，即

式中：2＜ν≤3，1＜β＜2，ν－β＞1，0＜α＜1，b＞3（b∈N），f（t＋v－1，·）∶［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×R→R是連續函數.將分析Green函數的性質，引入上、下解的概念，并利用Guo－Krasnosel＇skii不動點定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點定理，討論該方程多重正解的存在性.

這里記Na∶＝｛a，a＋1，a＋2，…｝，［a，b］Na∶＝｛a，a＋1，a＋2，…，b｝（b－a∈N1）.

1 預備知識

對于N∈N，0≤N－1＜ν≤N，定義函數f的ν階分數差分：Δνf（t）＝ΔNΔν－Nf（t）（t∈Na＋N－ν）.

定義1.6 如果定義在［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3上的函數τ（t）滿足方程：

其中2＜ν≤3，1＜β＜2，ν－β＞1，0＜α＜1，b＞3（b∈N），f（t＋ν－1，·）∶［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×R→R是連續函數.那么稱τ（t）為FBVP的式（1）和式（2）的一個下解（或上解）.

引理1.8［10］（Schauder不動點定理）假設K是Banach空間B的有界凸閉集，而T：K→K是全連續的，則存在x＊∈K使得Tx＊＝x＊.

（B2）對‖x‖≤a于，有‖Ax‖＜a；

（B3）對于x∈P（θ，b，c）且‖Ax‖＞d，有θ（Ax）＞b.

那么A至少有3個不動點x1，x2，x3滿足‖x1‖≤a，b＜θ（x2），a＜‖x3‖和θ（x3）＜b.

注1.10［9］如果引理1.9中d＝c成立，那么條件（B1）包含條件（B3）.

2 Green函數及其性質

構建帶有邊值條件式（2）的FBVP，即

的Green函數G（t，s），其中h：［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1→R是連續的.

定理2.1 設2＜ν≤3.則FBVP的式（3）和式（2）的唯一解是

這里

證明：由引理1.4有

將邊值條件y（v－3）＝0代入式（6）得出C3＝0.由于

則由邊值條件［Δαy（t）］t＝ν－α－2＝0，得出C2＝0；再由邊值條件

由式（7）知式（4）成立.

定理2.2 Green函數G（t，s）具有性質：

證明：（ⅰ）當0≤t－ν＋1≤s≤b＋2時，顯然有G（t，s）＞0.當0≤s＜t－ν＋1≤b＋2時，

由于ΔβF（t，s，β）＞0，所以F（t，s，β）關于β（1＜β＜2）是遞增的.因此，有

當0≤s＜t－ν＋1≤b＋2時，由（ⅰ）證明過程知ΔGt（t，s）≥0，從而有G（S＋ν－1，s）＜G（t，s）≤G（b＋ν＋1，s）.

注2.3 由定理2.2知，如果定理2.1中h（u）≥0，u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1，那么有解y（u）≥0，u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.

3 正解的存在性

利用引理1.7和上、下解的方法，分別建立FBVP的式（1）和式（2）正解存在的充分條件.先利用引理1.7表明FBVP的式（1）和式（2）正解的存在性.

由定理2.1知，求FBVP的式（1）和式（2）的解，等價于在式（2）條件下求方程

的解.先定義Banach空間B：

并且范數為‖y‖＝max｜y（t）｜，t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3.定義B上的錐P和P0：

這樣y是FBVP的式（1）和式（2）的解，當且僅當y是算子A的不動點.由于算子A是離散的有限集上的和算子，所以A是平凡完全連續算子.為表明算子A存在不動點，首先給出3個假設：

引理3.1 假設條件（D1）成立，那么對于?y∈P有Ay∈P0，特別算子A是錐P0到P0上的映射.

證明：對于?y∈P，由定理2.2和條件（D1），有（Ay）（t）≥0（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.由定理2.2的（ⅲ）知

定理3.2 假設條件（D1）和（D2）成立，那么FBVP的式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

證明：引入記號：e＝λ2－λ1＋1，W＝maxω（t），ω＝minω（t），t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.

由此，設Ω1＝｛y∈B｜‖y‖＜r｝，則由式（11）知，對于?y∈P0∩?Ω1有‖Ay‖≤‖y‖.

特別，對于?y∈P0∩?Ω2有‖Ay‖≥‖y‖，所以由引理1.7知算子A至少有一個不動點y∈P0∩（ˉΩ2＼Ω1），且r≤‖y‖≤R1，即FBVP的式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

定理3.3 假設條件（D1）和（D3）成立，那么FBVP式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

因此，對于?y∈P0∩?Ω3有‖Ay‖≥‖y‖.可分2種情況構造Ω4：

由此，設Ω4＝｛y∈B｜‖y‖＜R2｝，ˉΩ4為Ω4的閉包，則由式（12）知對于?y∈P0∩?Ω4有‖Ay‖≤‖y‖.

可利用上、下解的方法表明FBVP的式（1）和式（2）正解的存在性.這里假設

證明：由于y（t）是定義在［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3上的函數，所以存在M′＞0使得｜y（t）｜≤M′，t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3.

定理3.5 如果條件（E1）成立，那么FBVP的式（1）和式（2）存在正解.

（E1）f（u，y）：［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×［0，＋∞）→（0，＋∞）是關于y遞增的連續函數，f（u，ρ（u））≠0，且?0＜μ＜1，有kμf（u，y（u））≤f（u，ky（u）），k∈［0，1］.

其次，證明帶有邊值條件式（2）的FBVP，即

由于B是Banach空間，因此B為有界凸閉集.定義算子T：B→B：

由于f（u，y）是關y遞增的，因此對于?y∈B有f（u，τ（u））≤～F（u，y（u））≤f（u，η（u）），u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.又由于算子T是平凡完全連續算子，所以由引理1.8知算子T存在一個不動點，即FBVP的式（15）和式（2）有一個解y＊.

最后將表明FBVP的式（1）和式（2）存在正解.事實上由于f（u，y）是關于y遞增的，因此有

如果設z（u）＝η（u）－y＊（u），u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1，那么

并且z（ν－3）＝［Δαz（t）］｜t＝ν－α－2＝［Δβz（t）］｜t＝ν＋b＋2－β＝0，由注2.3知z（t）≥0，即η（t）≥y＊（t）（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.

同理，可得τ（t）≤y＊（t）（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.因此y＊（t）是FBVP的式（1）和式（2）的一個正解.

4 多重正解的存在性

利用引理1.9表明FBVP的式（1）和式（2）多重正解的存在性.先假設條件（D1）成立.定義Banach空間B如式（9），其范數為‖y‖＝max｜y（t）｜（t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3），并定義B上的錐P1，即

其中q（t）見定理2.2.在錐P1上定義一個凹函數

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有3個正解y1，y2，y3，滿足

推論4.2 假設條件（D1）成立，如果存在常數a1，b1，c1滿足0＜a1≤σb1＜b1＜c1，且滿足條件：

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有3個正解y1，y2，y3，滿足

證明：選擇a＝a1，～b＝σb1，c＝c1，由定理4.1易知推論4.2成立.

定理4.4 假設條件（D1）成立，如果存在常數a′i，b′i，c′i（i＝1，2，…，n）滿足0＜a′1＜σb′1＜b′1＜c′1＜a′2＜σb′2＜b′2＜c′2＜…＜a′n，n∈N且滿足條件：

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有2n－1正解.

同理依次推導可知定理4.4成立.

5 結束語

討論了一類帶有分數階邊界條件的分數階差分方程.分析了該方程的Green函數的性質，首次在分數階差分方程中引入上、下解的概念，利用Guo－Krasnosel＇skii不動點定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點定理，討論了該方程多重正解的存在性.

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Existence of multiple positive solutions to a class of fractional difference equations boundary value problems／2012，36（4）：101－110

GE Qi，HOU Cheng－min
（Departmentof Mathematics，College of science，Yanbian University，Yanji，Jilin133002，China）

In this paper，we study the existence of multiple positive solutions for a class of the fractional difference equations with fractional boundary conditions.This paper analyzes some characteristics of the Green＇s function，and introduces the concepts of the upper and lower solutions.By Guo－Krasnosel＇skiifixed pointtheorem and the upper and lower solution method，we obtain sufficientconditions for the existence of positive solutions to this equation.Lastly we discuss the existence of multiple positive solutions to this equation by using Legget－Williams fixed pointtheorem.

fractional boundary conditions；Green＇s function；upper and lower solution method；multiple positive solutions

book=4,ebook=166

O175.7

A

2095－4107（2012）04－0101－10

2012－04－26；編輯：關開澄

國家自然科學基金項目（11161049）；延邊大學科研項目（延大科合字［2010］第004號）

葛 琦（1975－），女，碩士，副教授，主要從事微分方程理論及應用方面的研究.