含裂紋故障多自由度齒輪系統的動力學分析

馬 銳，陳予恕

（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001）

含裂紋故障多自由度齒輪系統的動力學分析

馬 銳，陳予恕

（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001）

為探討齒輪系統裂紋故障的非線性動力學機理，研究含裂紋故障的四自由度齒輪系統的動力學特性，考慮時變嚙合剛度及非線性間隙的影響，建立含裂紋故障的齒輪四自由度嚙合耦合動力學模型，分析裂紋故障對系統嚙合剛度的影響；采用諧波平衡法給出系統的解析解，分析裂紋故障及齒輪系統參數對齒輪傳動系統的動力學行為的影響.結果表明，裂紋故障能夠引起齒輪系統的幅值跳躍、分岔現象和系統共振，從而為齒輪箱的設計及裂紋故障的診斷提供依據.

齒輪傳動系統；裂紋故障；時變嚙合剛度；非線性間隙；諧波平衡法

0 引言

對齒輪箱故障的研究較多，但多數研究的重點在實測信號的故障識別與檢測［3－8］，而對故障機理的研究較少.另外，對齒輪動力學機理的研究較多，一般在齒輪系統無故障情況下對系統的穩定性、混沌和分岔等機理［9－11］進行研究.文獻［12－13］通過有限元法分析裂紋擴展，研究裂紋對系統模態的影響等動力學行為.Wu Shiyan等［14］分析齒輪裂紋程度對嚙合剛度的影響，并通過剛度的變化分析裂紋演化的故障機理.Fakher C等［15］考慮裂紋對齒輪嚙合剛度的影響.馬銳等［16］建立含裂紋故障的齒輪副扭轉振動模型，分析齒輪裂紋故障引起的動力學特征.

齒輪裂紋故障主要影響系統的嚙合剛度，因此筆者將只考慮剛度的變化，不考慮傳動軸等振動的影響，建立含裂紋故障的齒輪—轉子—軸承模型，利用諧波平衡法獲得系統的各諧波解，分析裂紋故障演化、傳動誤差及非線性間隙對系統動力學行為的影響.

1 裂紋齒輪系統

1.1 嚙合剛度

當輪齒出現裂紋時，勢必影響齒輪的嚙合剛度，以齒輪裂紋擴展（見圖1）為例，采用文獻［15］的嚙合剛度計算方法得到裂紋對輪齒剛度（見圖2）的影響，以裂紋輪齒進入嚙合時為初始.依據圖1定義裂紋程度h＝pc／（2L）×100%，其中pc為裂紋深度，L為裂紋初始點到中心位置的長度.由圖2可以看出，裂紋故障的存在對嚙合剛度的影響很大，這里對裂紋故障僅考慮剛度變化，并為計算方便，將嚙合剛度kg進行傅里葉展開：

圖1 輪齒裂紋的擴展路徑

式中：ωe為嚙合頻率，ωe＝z1ω1＝z2ω2，z1，z2為齒數，ω1，ω2為恒定角速度；al，bl為諧波系數.

圖2 齒輪嚙合剛度隨裂紋的變化

1.2 裂紋齒輪模型

齒輪—轉子—軸承模型簡圖見圖3，軸承及軸可以等效為阻尼和剛度，其中線性阻尼系數為c1及c2，剛度為k1及k2，F1與F2為作用在軸承上的外力.模型考慮靜傳動誤差，將靜傳動誤差e（τ）假設為以嚙合頻率為周期的周期函數：

式中：fm為平均靜傳動誤差；f1為靜傳動誤差諧波系數.

基于假設，非線性齒輪—轉子—軸承系統的嚙合耦合動力學模型表示為

其中傳遞誤差定義為

一是鼓勵并引導礦山企業做大做強，以成品化、產業化、基地化為目標，大力延伸礦產開發產業鏈，重點加強砂石礦產開發與水泥、混凝土等建筑工業的深度融合，推動石料原礦向建筑構件、混凝土等成品化方向延伸發展。

式中：cg為嚙合阻尼系數；kg（τ）為輪齒嚙合的時變剛度；M1，M2為齒輪的扭矩；F1，F2為作用在軸承上的力；m1，m2為齒輪質量；I1，I2為齒輪轉動慣量；r1，r2為齒輪基圓半徑；k1，k2為軸承剛度；c1，c2為軸承阻尼；fg（y）為齒側間隙非線性描述函數，可以擬合為fg（y）＝y＋ny3［17］，其中n為非線性間隙系數.

對方程（3）進行化簡得

圖3 彈性支撐齒輪系統的動力學模型

通過線性變換將方程（5）進行變換：

得到2個耦合及1個非耦合方程：

2 動力學分析

由于裂紋動力學方程中的諧波項較多，因此應用諧波平衡法分析多自由度裂紋齒輪系統的動力學行為比較簡便.由于高階諧波的能量較一階諧波的小，因此僅考慮一階諧波的情況.由式（7）可以發現第3個方程對系統動力學的分析無影響，因此只討論前2個方程的解.

設式（7）前2個方程的解是以頻率ω周期變化，展開成傅里葉級數：

將式（8）及式（9）代入式（7），令等式左右兩邊各階諧波系數相等，得到包含已知和未知系數的6階代數方程組.通過Newton－Raphson解未知數u＝［A0，A1，A2，B0，B1，B2］.

圖4 無故障及故障響應曲線

討論系統參數對齒輪傳動系統動力響應的影響，不同F0對系統動力響應的影響見圖5，即齒輪系統傳動誤差的影響.由圖5可以看出，F0較小時，xrms1在Ω2處的幅值較Ω1處的小很多，系統非線性不明顯；當F0增大時，Ω2處的幅值增加較快，逐漸超過Ω1處的幅值，并出現明顯的幅值跳躍，Ω1處僅在較大F0的作用下非線性特性明顯.xrms2在Ω2處的幅值始終比Ω1處的大很多.另外，F0也會引起系統的內共振現象.系統的F0較大，即系統的傳動誤差較大，對系統產生幅值跳躍、內共振等現象，因此在加工及安裝齒輪系統時，要減小傳動誤差的影響.

圖5 F0對系統動力響應影響

非線性間隙系數對齒輪系統的影響見圖6.由圖6可以看出，間隙影響系統的穩定性，也會造成幅值跳躍及內共振現象，因此對齒側間隙要做適當的調整，控制非線性的發生.

圖6 n對系統動力響應的影響

3 結論

（1）考慮裂紋故障對齒輪系統剛度變化引起的內部激勵的影響，建立含裂紋故障的齒輪—轉子—軸承模型，將模型簡化后得到2個耦合及1個非耦合的方程，為解析計算帶來方便.

（2）提出由諧波平衡法獲得齒輪系統的各諧波解，分析裂紋故障的演化對系統動力行為的影響，以及裂紋故障引起系統的不穩定、幅值跳躍及分岔線性，并且隨著裂紋程度的加深，其共振區的幅值增大明顯，引起系統的內共振.

（3）分析傳動誤差及非線性間隙對齒輪系統動力行為的影響，發現非線性間隙及傳動誤差引起系統的非線性.對于部件較多的多自由度系統，設計不合理時將引起系統的內共振現象，在工程中應盡量避免.

（4）對齒輪進行合理設計，控制加工精度，及時發現故障，為齒輪系統裂紋故障的診斷提供依據.

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Dynamic analysis of multi－freedom gear system with cracked failure／2012，36（3）：110－114

MA Rui，CHEN Yu－shu
（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang150001，China）

This study focuses on the dynamic characteristics of the four－freedom gear system with local crack defectto explore the crack nonlinear dynamic mechanism.The dynamic model of the gear system with crack defect，time－variantmesh stiffness and nonlinear clearance are established to investigate the effectof crack defecton mesh stiffness.The dynamic characteristics with the evolvementof crack and other system parameters are studied by employing harmonic balance method，which reveals the amplitude jump，bifurcation phenomenon and internal resonance.The results obtained herein can provide a theoretical basis for the design and crack faultdiagnosis of gearbox.

gear system；cracked failure；time－variantmesh stiffness；nonlinear clearance；harmonic balance method

book=3,ebook=48

TH132.4

A

1000－1891（2012）03－0110－05

2012－03－20；編輯：任志平

國家自然科學基金重點項目（10632040）

馬 銳（1982－），女，博士研究生，主要從事非線性動力學、機械設備故障診斷方面的研究.